Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ."— Sunum transkripti:

1 10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

2 İÇİNDEKİLER GİRİŞ GİRİŞ BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI

3 10.1. GİRİŞ Navier-Stokes denklemlerinin literatürde mevcut bulunan analitik çözümlerinin sayısı fazla değildir. Navier-Stokes denklemlerinin literatürde mevcut bulunan analitik çözümlerinin sayısı fazla değildir. –Bu çözümlerin sayısı birkaç öğrencinin parmaklarının sayısını geçmez. Uygulamadaki akışkanlar mekaniği problemlerinin büyük bir bölümü analitik olarak çözülemez ve Uygulamadaki akışkanlar mekaniği problemlerinin büyük bir bölümü analitik olarak çözülemez ve (1) daha fazla sayıda yaklaştırım (2) bilgisayar yardımı gerektirir.

4 10.1. GİRİŞ Navier-Stokes denkleminin kendisi tam değildir, tersine kendine özel bir takım yaklaştırımları Navier-Stokes denkleminin kendisi tam değildir, tersine kendine özel bir takım yaklaştırımları –Newton tipi akışkan, –Sabit termodinamik ve transport özellikler vb. içeren bir akış modelidir. Mükemmel bir modeldir ve modern akışkanlar mekaniğinin temelini oluşturur. Mükemmel bir modeldir ve modern akışkanlar mekaniğinin temelini oluşturur.

5 10.1. GİRİŞ Tam çözüm: Çözüme NS denkleminin bütününden başlanılır. Tam çözüm: Çözüme NS denkleminin bütününden başlanılır.

6 10.1. GİRİŞ Yaklaşık çözüm: Çözüme başlamadan önce bile NS denklemi akışın bir bölgesinde basitleştirilir: Yaklaşık çözüm: Çözüme başlamadan önce bile NS denklemi akışın bir bölgesinde basitleştirilir: –Akışın bir bölgesinden diğerine farklılık gösterebilen terim(ler) problemin türüne bağlı olarak önceden yok edilir. –Örnek: statik akışkan yaklaştırımında atalet ve viskoz terimleri basınç ve yerçekimi terimlerine kıyasla ihmal edilebilir derecede küçük olduğundan NS denklemi sadece iki terime (basınç ve yer çekimi) indirgenir:

7 10.1. GİRİŞ Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun değilse çözüm yanlış olur: Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun değilse çözüm yanlış olur: –Örneğin bir problemi sürünme akışı yaklaştırımı kullanarak çözdüğümüzde akışın Reynolds sayısı çok büyükse sürünme akışı yaklaştırımı uygun olmaz ve çözüm fiziksel olarak doğru olmaz.

8 10.1. GİRİŞ Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir diğer bölgede uygun olmayabilir. Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir diğer bölgede uygun olmayabilir. Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket denklemindeki çeşitli terimlerin büyüklük mertebeleri karşılaştırılarak belirlenir. Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket denklemindeki çeşitli terimlerin büyüklük mertebeleri karşılaştırılarak belirlenir.

9 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Süreklilik denklemi Süreklilik denklemi Navier-Stokes denklemi Navier-Stokes denklemi

10 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuz değişkenler Boyutsuz değişkenler

11 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuz süreklilik denklemi Boyutsuz süreklilik denklemi Boyutsuz NS denklemi Boyutsuz NS denklemi

12 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Strouhal sayısı: St=fL/V Strouhal sayısı: St=fL/V Euler sayısı: Eu=(p o -p  )/  V 2 Euler sayısı: Eu=(p o -p  )/  V 2 Froude sayısı: Fr=V/(gL) 1/2 Froude sayısı: Fr=V/(gL) 1/2 Reynolds sayısı: Re=  VL/  Reynolds sayısı: Re=  VL/ 

13 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi hiçbir ilave boyutsuz parametre içermemektedir. Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi hiçbir ilave boyutsuz parametre içermemektedir. Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. akış alanının karakteristikleri kullanılarak boyutsuzlaştırılmış iseler bunların büyüklük mertebeleri 1’dir: Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. akış alanının karakteristikleri kullanılarak boyutsuzlaştırılmış iseler bunların büyüklük mertebeleri 1’dir: Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin göreceli önemi, sadece boyutsuz parametreler St, Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine bağlıdır. Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin göreceli önemi, sadece boyutsuz parametreler St, Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine bağlıdır.

14 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Bir model ile bir prototip Bir model ile bir prototip arasındaki dinamik benzerlik bu 4 sayının da eşit olmasını gerektirir: St model =St prototip Eu model =Eu prototip Fr model =Fr prototip Re model =Re prototip

15 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Eğer akış daimi ise f=0 olur ve Strouhal sayısı boyutsuz parametreler listesinden çıkarılır (St=0). Eğer akış daimi ise f=0 olur ve Strouhal sayısı boyutsuz parametreler listesinden çıkarılır (St=0). Strouhal sayısı: St=fL/V Eğer karakteristik frekans f çok küçükse, St<<1, bu durumdaki akış sanki-daimi olarak adlandırılır ve akış daimi kabul edilerek NS denklemindeki bu terim silinir. Eğer karakteristik frekans f çok küçükse, St<<1, bu durumdaki akış sanki-daimi olarak adlandırılır ve akış daimi kabul edilerek NS denklemindeki bu terim silinir.

16 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Yerçekiminin etkisi yalnızca serbest yüzey etkili akışlarda önemlidir: Yerçekiminin etkisi yalnızca serbest yüzey etkili akışlarda önemlidir: –Dalgalar, gemi hareketi, hidroelektrik barajların taşma savakları, ırmak akışları vb. Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez. Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez. –tek etkisi, dinamik basınç alanı üzerine bir hidrostatik basınç eklemekten ibarettir.

17 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Hidrostatik basıncı içerisine alan bir değiştirilmiş basınç tanımlaması P’ yapılır: Hidrostatik basıncı içerisine alan bir değiştirilmiş basınç tanımlaması P’ yapılır: Bu denklemin avantajı herhangi bir yerçekimi terimi bulundurmayan bir NS olmasıdır. Bu denklemin avantajı herhangi bir yerçekimi terimi bulundurmayan bir NS olmasıdır. Değiştirilmiş basınç, serbest yüzeyli akışlarda kullanılmamalıdır. Değiştirilmiş basınç, serbest yüzeyli akışlarda kullanılmamalıdır.

18 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar için Stokes akışı ve düşük Reynolds sayılı akış deyimleri kullanılmaktadır. Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar için Stokes akışı ve düşük Reynolds sayılı akış deyimleri kullanılmaktadır. Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür (Re « 1). Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür (Re « 1). –Reynolds sayısının tanımından Re =  VL/  Sürünme akışı ya çok küçük , V, L değerlerinde ya da çok büyük  değerinde (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya çıkar. Sürünme akışı ya çok küçük , V, L değerlerinde ya da çok büyük  değerinde (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya çıkar.

19 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışına ait örnekler: Sürünme akışına ait örnekler: –Kremayı (çok viskoz bir sıvı) kekin üzerine dökerken –Süte eklemek için bir kaşığı bal (yine viskoz bir sıvı) kavanozuna daldırırken –Tüm çevremizde ve içimizde mikroskobik organizmaların hareketleri –Hidrodinamik bir yatağın çok dar kanallarındaki yağlayıcı yağın akışı Hızlar küçük olmayabilir, ancak aralıklar çok küçüktür (mikronun on katı mertebesinde) ve viskozite göreceli olarak yüksektir (oda sıcaklığında  ~1 N.s/m 2 ). Hızlar küçük olmayabilir, ancak aralıklar çok küçüktür (mikronun on katı mertebesinde) ve viskozite göreceli olarak yüksektir (oda sıcaklığında  ~1 N.s/m 2 ).

20 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI –Mikroorganizmalar tüm yaşamlarını sürünme akışı rejiminde geçirirler. –Boyutları bir mikron mertebesindedir (1  m = l0 -6 m), “yüksek” viskoziteli akışkan sınıfına zor girebilecek havada hareket edebilirler ve suda yüzebilmelerine rağmen çok yavaş hareket ederler. –Suda yüzen salmonella (zehirlenmeye yol açan bir bakteri türü) bakterisinin hareketiyle ilgili Reynolds sayısı 1’den çok küçüktür.

21 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışında Sürünme akışında –Yerçekimi etkileri ihmal edilebilir veya sadece düşey bir hidrostatik basınç bileşeni eklenir. –Akış daimidir veya Strouhal sayısı 1 mertebesinde veya daha küçük olan salınımlı bir akıştır (NS denkleminde daimi olmayan ivmelenme terimi viskoz teriminden daha küçük bir mertebededir). –Advektif terim 1 mertebesindedir. –Sonuç olarak

22 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek yolu Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük mertebesinde olmasıdır. Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek yolu Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük mertebesinde olmasıdır. Bu ikisi eşitlenirse Bu ikisi eşitlenirse Sürünme akışı için basınç ölçeği Sürünme akışı için basınç ölçeği

23 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışının iki ilginç yönü vardır: Sürünme akışının iki ilginç yönü vardır: –Birincisi, atalet bakımından baskın akışlarda  V 2 gibi basınç farkları ölçeği bulunurken, sürünme akışında viskozluğun daha baskın olmasından dolayı  V/L gibi bir basınç farkları ölçeği bulunmaktadır. –İkincisi ise yoğunluğun bir değişken olarak Navier- Stokes denkleminde yer almamasıdır:

24 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Yüzerken Yüzerken atalate atalate güvenirsiniz. güvenirsiniz. Bir kulaç Bir kulaç atarsınız atarsınız ve bir diğer kulacı atmadan önce sudaki belirli bir mesafeyi süzülerek ilerleyebilirsiniz. Yüzerken NS denklemindeki atalet terimleri viskoz terimlerden çok büyüktür, çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir. Yüzerken NS denklemindeki atalet terimleri viskoz terimlerden çok büyüktür, çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir.

25 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda atalet önemsizdir ve bu yüzden hiçbir şekilde süzülme olmaz. Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk mikroorganizmaları hiçbir yere götürmez. Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları (kamçıları) sinüs eğrisi şeklinde hareket ederek mikroorganizmaların ilerlemelerini sağlar. Sperm, hiçbir atalet olmadan kuyruğu hareket etmedikçe ilerleyemez. Kuyruğunun hareketi durduğunda sperm de durur. Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi kat etmek için çok zorlanırlar. Spermin kuyruğu hemen hemen iki tam dalga çevrimi tamamlarken, sperm başı yalnızca iki baş uzunluğu civarında sola hareket edebilir.

26 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Çocuk, küreler arasında Çocuk, küreler arasında yüzmeye çalıştığında, ileriye doğru yalnızca yılanımsı şekilde bir kıvrılma hareketi ile hareket edebilir. Çocuk kıvrılma hareketini Çocuk kıvrılma hareketini durdurduğu anda, ihmal edilebilir düzeyde atalet olduğundan tüm hareket sona erer. Yüzen çocuk ile sürünme Yüzen çocuk ile sürünme akışı şartlarında yüzen bir mikroorganizma arasında zayıf bir analoji vardır.

27 Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Viskozitesi  olan bir akışkan içerisinde V hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir cisme etki eden F D direnç kuvveti: Viskozitesi  olan bir akışkan içerisinde V hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir cisme etki eden F D direnç kuvveti: F D =sabit.  VL F D =sabit.  VL Boyut analizi; cismin şekline, akışkan içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı olduğundan, ifadedeki sabitin değeri hakkında fikir vermez. Boyut analizi; cismin şekline, akışkan içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı olduğundan, ifadedeki sabitin değeri hakkında fikir vermez.

28 Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Sürünme akışında bir küre üzerindeki direnç kuvveti: Sürünme akışında bir küre üzerindeki direnç kuvveti: F D = 3 .  VD

29 Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı şartlarındaki limit hızı, akışkanın yoğunluğundan bağımsız olmasına karşın viskozitesine oldukça bağlıdır. Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı şartlarındaki limit hızı, akışkanın yoğunluğundan bağımsız olmasına karşın viskozitesine oldukça bağlıdır. Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık sabit bir hızla yeryüzüne iner. Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık sabit bir hızla yeryüzüne iner. Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar düşmesi esnasında hava yoğunluğu 10 kattan fazla artış gösterdiği halde bu durum değişmez. Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar düşmesi esnasında hava yoğunluğu 10 kattan fazla artış gösterdiği halde bu durum değişmez.

30 Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler için sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler için sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine F D =sabit.  VL şeklindedir, ancak bu halde denklemdeki sabit 3  olmayıp, - hem cismin şekline - hem de akış alanındaki yerleştirilme biçimine bağlıdır.

31 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM

32 Eğer net viskoz kuvvetler, atalet ve/veya basınç kuvvetlerine oranla çok küçük kalıyorsa, bu durumda Eğer net viskoz kuvvetler, atalet ve/veya basınç kuvvetlerine oranla çok küçük kalıyorsa, bu durumda denkleminin sağ tarafındaki son terim ihmal edilebilir. Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda doğrudur. Dolayısıyla viskoz olmayan akış bölgeleri yüksek Reynolds sayısına sahip bölgelerdir — sürünme akışı bölgelerinin tersi. Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda doğrudur. Dolayısıyla viskoz olmayan akış bölgeleri yüksek Reynolds sayısına sahip bölgelerdir — sürünme akışı bölgelerinin tersi.

33 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi viskoz terimini kaybeder ve Euler denklemi’ne indirgenir: Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi viskoz terimini kaybeder ve Euler denklemi’ne indirgenir: Euler denklemi basit olarak viskoz terimi bulunmayan Navier-Stokes denklemidir ve Navier-Stokes denkleminin bir yaklaştırımıdır. Euler denklemi basit olarak viskoz terimi bulunmayan Navier-Stokes denklemidir ve Navier-Stokes denkleminin bir yaklaştırımıdır.

34 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Euler denklemi, çeperlerden ve art izlerinden uzakta net viskoz kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğu yüksek Reynolds sayılı akış bölgeleri için uygun bir yaklaştırımdır.

35 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen terimi NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen terimi hızın en yüksek mertebeden türevlerini içeren bir terimdir. hızın en yüksek mertebeden türevlerini içeren bir terimdir. Bu terimin ortadan kalkması sınır şartlarının sayısını düşürür. Bu terimin ortadan kalkması sınır şartlarının sayısını düşürür. Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen katı çeperlerde kaymama şartını belirtemeyiz. Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen katı çeperlerde kaymama şartını belirtemeyiz. Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri katı çeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdır, zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir. Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri katı çeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdır, zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir.

36 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Euler yaklaştırımı bir sınır tabaka yaklaştırımında ilk adım olarak sıklıkla kullanılır. Euler yaklaştırımı bir sınır tabaka yaklaştırımında ilk adım olarak sıklıkla kullanılır. İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri hesaba katmak için çeper ve art izleri bölgesine bir düzeltme olarak yerleştirilir. İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri hesaba katmak için çeper ve art izleri bölgesine bir düzeltme olarak yerleştirilir.

37 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI Akışkan parçacıklarının hiçbir net dönmeye sahip olmadığı akış bölgeleri vardır ve bu bölgelere dönümsüz akış bölgeleri denir. Akışkan parçacıklarının hiçbir net dönmeye sahip olmadığı akış bölgeleri vardır ve bu bölgelere dönümsüz akış bölgeleri denir. Dönümsüzlük bir yaklaştırımdır ve akış alanının bazı bölgelerinde uygun olabilir, bazı bölgelerinde de uygun olmayabilir. Dönümsüzlük bir yaklaştırımdır ve akış alanının bazı bölgelerinde uygun olabilir, bazı bölgelerinde de uygun olmayabilir.

38 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme hareketi) durumlar mümkünse de, Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme hareketi) durumlar mümkünse de, –genel olarak katı çeperlerden ve cisimlerin art izlerinden uzak viskoz olmayan akış bölgeleri dönümsüzdür. Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış tipleri için elde edilen çözümler, tam Navier-Stokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdır. Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış tipleri için elde edilen çözümler, tam Navier-Stokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdır. – Matematiksel olarak bu yaklaştırım çevrintinin ihmal edilebilecek kadar küçük olması demektir:

39 Süreklilik Denklemi Eğer bir vektörün curl’ü sıfırsa, bu vektör, potansiyel fonksiyon adı verilen bir skaler  fonksiyonunun gradyeni olarak ifade edilebilir. Eğer bir vektörün curl’ü sıfırsa, bu vektör, potansiyel fonksiyon adı verilen bir skaler  fonksiyonunun gradyeni olarak ifade edilebilir. Akışkanlar mekaniğindeki V vektörü, curl’ü çevri vektörü  olan hız vektörüdür ve bu yüzden  ‘ye hız potansiyeli fonksiyonu adı verilir. Akışkanlar mekaniğindeki V vektörü, curl’ü çevri vektörü  olan hız vektörüdür ve bu yüzden  ‘ye hız potansiyeli fonksiyonu adı verilir.

40 Süreklilik Denklemi Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, hız potansiyeli fonksiyonu adı verilen bir skaler fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir: Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, hız potansiyeli fonksiyonu adı verilen bir skaler fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir: Kartezyen koordinatlarda: Kartezyen koordinatlarda: Silindirik koordinatlarda: Silindirik koordinatlarda:

41 Süreklilik Denklemi Dönümsüz akış bölgelerine potansiyel akış bölgeleri adı da verilir. Dönümsüz akış bölgelerine potansiyel akış bölgeleri adı da verilir. Dönümsüzlük yaklaştırımı üç-boyutlu akışlar için de geçerlidir. Dönümsüzlük yaklaştırımı üç-boyutlu akışlar için de geçerlidir.

42 Süreklilik Denklemi Dönümsüz akış bölgelerinde Laplace denklemi geçerlidir:

43 Süreklilik Denklemi Bu yaklaştırımın çekiciliği Bu yaklaştırımın çekiciliği –bilinmeyen üç hız bileşeninin (koordinat sistemi seçimine bağlı olarak u, v ve w veya u r,,u , ve u z ), bir tane bilinmeyen skaler  fonksiyonunda toplanması ve –böylece çözüm için iki denklemin ortadan kalkmasıdır.

44 Momentum Denklemi Dönümsüz bir akış bölgesinde hız alanı, Navier-Stokes denklemini kullanmadan elde edilebilir. Dönümsüz bir akış bölgesinde hız alanı, Navier-Stokes denklemini kullanmadan elde edilebilir. Ancak, hız potansiyeli fonksiyonunu kullanarak hız alanını belirledikten sonra basınç alanını çözmek için Navier-Stokes denklemini kullanırız. Ancak, hız potansiyeli fonksiyonunu kullanarak hız alanını belirledikten sonra basınç alanını çözmek için Navier-Stokes denklemini kullanırız. Navier-Stokes denklemi, dönümsüz bir akış bölgesindeki iki bilinmeyen,  ve P’nin çözümü için gerekli ikinci denklemdir. Navier-Stokes denklemi, dönümsüz bir akış bölgesindeki iki bilinmeyen,  ve P’nin çözümü için gerekli ikinci denklemdir.

45 Momentum Denklemi Navier-Stokes denklemi dönümsüz akış bölgelerinde Euler denklemine indirgenir:

46 Momentum Denklemi

47 Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Laplace denklemi, potansiyel fonksiyonu  için değil aynı zamanda daimi, sıkıştırılamaz, dönümsüz, düzlemsel akış bölgelerinde, akım fonksiyonu  için de geçerlidir:

48 Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Sabit  değerlerine ait eğriler akışın akım çizgilerini, sabit  değerlerine ait eğriler ise eşpotansiyel çizgilerini tanımlar. Sabit  değerlerine ait eğriler akışın akım çizgilerini, sabit  değerlerine ait eğriler ise eşpotansiyel çizgilerini tanımlar. Düzlemsel dönümsüz akış bölgelerinde akım çizgileri eşpotansiyel çizgilerini dik açıyla keser ve bu durum karşılıklı diklik olarak bilinir. Düzlemsel dönümsüz akış bölgelerinde akım çizgileri eşpotansiyel çizgilerini dik açıyla keser ve bu durum karşılıklı diklik olarak bilinir.

49 Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Ayrıca  ve  potansiyel fonksiyonları dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; her ikisi de Laplace denklemini sağlar ve herhangi birinden (  veya  ) hız alanını belirleyebiliriz. Ayrıca  ve  potansiyel fonksiyonları dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; her ikisi de Laplace denklemini sağlar ve herhangi birinden (  veya  ) hız alanını belirleyebiliriz.  ve  ’nin çözümlerine matematikçiler harmonik fonksiyonlar adını verirler ve  ve  ’ye birbirlerinin harmonik eşleniği denir.  ve  ’nin çözümlerine matematikçiler harmonik fonksiyonlar adını verirler ve  ve  ’ye birbirlerinin harmonik eşleniği denir.

50 Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Her ne kadar  ve  birbirleriyle ilişkili olsa da kökenleri biraz farklıdır. Her ne kadar  ve  birbirleriyle ilişkili olsa da kökenleri biraz farklıdır. Belki de en iyisi,  ve  ’nin birbirlerinin tamamlavıcısı (tümleri) olduğunu söylemektir: Belki de en iyisi,  ve  ’nin birbirlerinin tamamlavıcısı (tümleri) olduğunu söylemektir: –Akım fonksiyonu süreklilik ile tanımlanır;  için Laplace denklemi dönümsüzlükten elde edilir. –Hız potansiyeli dönümsüzlük ile tanımlanır;  için Laplace denklemi süreklilikten elde edilir.

51 Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri

52 Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri u r ve u z sıfırdan farklı u r ve u z sıfırdan farklı hız bileşenleridir.  açısına bağımlılık  açısına bağımlılıkyoktur.

53 Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri Laplace denklemi: Laplace denklemi: Süreklilik denklemi: Süreklilik denklemi: Akım fonksiyonu: Akım fonksiyonu:

54 Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri Düzlemsel dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi hem  hem de  için geçerlidir. Düzlemsel dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi hem  hem de  için geçerlidir. A ncak eksenel simetrik dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi  için geçerliyken,  için geçersizdir. A ncak eksenel simetrik dönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi  için geçerliyken,  için geçersizdir. –Bu nedenle sabit  ve  eğrileri, eksenel simetrik dönümsüz akış bölgelerinde karşılıklı olarak dik değildir.

55 Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Bölgeleri

56 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Laplace denklemi doğrusal bir homojen diferansiyel denklem olduğundan, bu denklemin iki ya da daha fazla çözümünün doğrusal kombinasyonu da bir çözüm olmalıdır. Laplace denklemi doğrusal bir homojen diferansiyel denklem olduğundan, bu denklemin iki ya da daha fazla çözümünün doğrusal kombinasyonu da bir çözüm olmalıdır. Laplace denkleminin iki çözümü  1 ve  2 ise, bu durumda Laplace denkleminin iki çözümü  1 ve  2 ise, bu durumda –A  1 –(A+  1 ) –(  1 +  2 ) –(A  1 +B  2 ) ifadeleri de bir çözümdür (A ve B keyfi sabittir). Laplace denkleminin birkaç çözümü toplanabilir ve bu kombinasyon da bir çözümdür. Laplace denkleminin birkaç çözümü toplanabilir ve bu kombinasyon da bir çözümdür.

57 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Bilinen iki veya Bilinen iki veya daha fazla çözümün birbirlerine eklenerek daha karmaşık bir üçüncünün elde edilmesi işleminesüperpozisyondenir.

58 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Süperpozisyon kavramı faydalı, ancak yalnızca  ve  ’ye ait denklemlerin doğrusal olduğu dönümsüz akış bölgeleri için geçerlidir. Süperpozisyon kavramı faydalı, ancak yalnızca  ve  ’ye ait denklemlerin doğrusal olduğu dönümsüz akış bölgeleri için geçerlidir. –Örneğin bir jetin (hüzmenin) akış alanı, asla bir giriş veya çıkış serbest-akım akışına eklenmemelidir, çünkü jetin akış alanı viskozitenin şiddetli etkisi altındadır ve dönümsüz değildir. Bu nedenle potansiyel fonksiyonlarla tarif edilemez.

59 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Birleşik akış alanının potansiyel fonksiyonu, her bir akış alanının potansiyel fonksiyonlarının toplamı olduğundan, birleşik akış alanında her bir noktadaki hız, her bir akış alanının hızlarının vektörel toplamıdır: Birleşik akış alanının potansiyel fonksiyonu, her bir akış alanının potansiyel fonksiyonlarının toplamı olduğundan, birleşik akış alanında her bir noktadaki hız, her bir akış alanının hızlarının vektörel toplamıdır:

60 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu

61 Yapıtaşı 1 – Üniform Akım

62 Üniform akım için Üniform akım için Kartezyen koordinat - silindirik koordinat dönüşümü Kartezyen koordinat - silindirik koordinat dönüşümü

63 Yapıtaşı 1 – Üniform Akım u=Vcos  ve v=Vsin  u=Vcos  ve v=Vsin 

64 Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu Çizgisel kaynakta Çizgisel kaynakta akım çizgi parçasına dik tüm yönlerde dışarı doğru yayılır. Çizgisel kuyuda ise Çizgisel kuyuda ise akışkan çizgisel kuyu eksenine dik olan tüm düzlemlerden çizgi içerisine doğru akar.

65 Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu Çizgisel kaynak şiddeti, birim derinlik başına hacimsel debiye eşittir: Çizgisel kaynak şiddeti, birim derinlik başına hacimsel debiye eşittir: r arttıkça u r azalmaktadır. r arttıkça u r azalmaktadır. Orijinde u r sonsuzdur ve bu noktaya tekil nokta veya tekillik adı verilir. Orijinde u r sonsuzdur ve bu noktaya tekil nokta veya tekillik adı verilir.

66 Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu Çizgisel kaynak için Çizgisel kaynak için

67 Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu Akım çizgileri ve Akım çizgileri ve eşpotansiyel çizgileri, tekil bir nokta olan merkez dışındaki her yerde karşılıklı olarak diktir.

68 Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel Kuyu Merkez dışında bir yere çizgisel kaynak yerleştirildiğinde dikkatli bir dönüşüm yapılmalıdır. Merkez dışında bir yere çizgisel kaynak yerleştirildiğinde dikkatli bir dönüşüm yapılmalıdır.

69 Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) z-eksenine paralel çizgisel çevri z-eksenine paralel çizgisel çevri Hız bileşenleri: Hız bileşenleri:  : sirkülasyon veya çevri şiddeti

70 Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) Merkezdeki çizgisel çevri Merkezdeki çizgisel çevri

71 Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks) (a, b) noktasındaki çizgisel çevri: (a, b) noktasındaki çizgisel çevri:

72 Yapıtaşı 4 - İkili İkili İkili eşit şiddette bir çizgisel kaynak ile bir çizgisel kuyunun süperpozisyonundan meydana gelir. Birleşik akım fonksiyonu Birleşik akım fonksiyonu

73 Yapıtaşı 4 - İkili Merkezden kaynağa ve merkezden kuyuya olan a mesafesinin sıfıra yaklaştığını düşünelim. Merkezden kaynağa ve merkezden kuyuya olan a mesafesinin sıfıra yaklaştığını düşünelim. Arctan , çok küçük  değerleri için  ’ya yaklaşır: Arctan , çok küçük  değerleri için  ’ya yaklaşır:

74 Yapıtaşı 4 - İkili Eğer kaynak ve kuyu şiddetlerini koruyarak, a’yı kısaltırsak, a=0 olduğunda kaynak ve kuyu birbirlerini sönümler ve hiçbir akış kalmaz. Eğer kaynak ve kuyu şiddetlerini koruyarak, a’yı kısaltırsak, a=0 olduğunda kaynak ve kuyu birbirlerini sönümler ve hiçbir akış kalmaz. Kaynak ve kuyu birbirlerine yaklaştıkça, V/L olan şiddetleri, a mesafesi ile ters orantılı ve a(V/L) çarpımı sabit kalacak şekilde artar. Kaynak ve kuyu birbirlerine yaklaştıkça, V/L olan şiddetleri, a mesafesi ile ters orantılı ve a(V/L) çarpımı sabit kalacak şekilde artar.

75 Yapıtaşı 4 - İkili Bu durumda merkeze çok yakın olmayan herhangi bir P noktasında r>>a olur: Bu durumda merkeze çok yakın olmayan herhangi bir P noktasında r>>a olur: İkili şiddeti: K=a(V/L)/  İkili şiddeti: K=a(V/L)/  Hız potansiyeli fonksiyonu: Hız potansiyeli fonksiyonu:

76 Yapıtaşı 4 - İkili

77 Süperpozisyon İle Oluşturulmuş Dönümsüz Akışlar Dönümsüz akışlar için olan bir dizi yapıtaşı kullanılarak süperpozisyon tekniği ile daha ilginç dönümsüz akış alanları oluşturulabilir. Dönümsüz akışlar için olan bir dizi yapıtaşı kullanılarak süperpozisyon tekniği ile daha ilginç dönümsüz akış alanları oluşturulabilir. Burada sadece xy- düzlemindeki düzlemsel akışlara ait örnekler verilecektir. Burada sadece xy- düzlemindeki düzlemsel akışlara ait örnekler verilecektir.

78 Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu Her ikisi de merkeze yerleştirilmiş V/L şiddetinde bir çizgisel kuyu ile  şiddetinde bir çizgisel çevrinin süperpozisyonu Her ikisi de merkeze yerleştirilmiş V/L şiddetinde bir çizgisel kuyu ile  şiddetinde bir çizgisel çevrinin süperpozisyonu –Akışkanın çıkışa doğru dönerek ilerlediği bir kuyu veya küvetteki üst akış bölgesini temsil eder.

79 Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu Süperpozisyon: Süperpozisyon: Akım çizgileri: Akım çizgileri: Hız bileşenleri: Hız bileşenleri:

80 Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin Süperpozisyonu Çevrinin radyal hıza hiçbir katkısının olmaması nedeniyle radyal hız bileşeni tümüyle kuyudan kaynaklanmakta, Çevrinin radyal hıza hiçbir katkısının olmaması nedeniyle radyal hız bileşeni tümüyle kuyudan kaynaklanmakta, –benzer şekilde teğetsel hız bileşeni de tamamen çevriden kaynaklanmaktadır.

81 Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış V  hızındaki bir serbest akım ile merkeze yerleştirilen K şiddetinde bir ikilinin süperpozisyonu V  hızındaki bir serbest akım ile merkeze yerleştirilen K şiddetinde bir ikilinin süperpozisyonu r=a için  =0 alınırsa yukarıdaki denklemden ikili şiddeti K= V  a 2 olur. r=a için  =0 alınırsa yukarıdaki denklemden ikili şiddeti K= V  a 2 olur. Böylece akım fonksiyonunun alternatif formu Böylece akım fonksiyonunun alternatif formu elde edilir. elde edilir.

82 Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış

83 Üç boyutsuz parametre tanımlanırsa Üç boyutsuz parametre tanımlanırsa elde edilir. Boyutsuz akım çizgileri: Boyutsuz akım çizgileri:

84 Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış r=a dairesi sıfır akım çizgisidir ve bu akım çizgisi sanki katı bir çepermiş gibi düşünülebilir ve bu akış bir silindir üzerinden olan potansiyel akışı temsil eder. r=a dairesi sıfır akım çizgisidir ve bu akım çizgisi sanki katı bir çepermiş gibi düşünülebilir ve bu akış bir silindir üzerinden olan potansiyel akışı temsil eder. –Daire içerisindeki akım çizgileri çizilmemiştir - gerçekte bu çizgiler vardır ancak bizi ilgilendirmemektedir. –Birisi silindirin burnunda (önünde) diğeri de arkasında olmak üzere iki adet durma noktası vardır. –Durma noktaları civarında akış çok yavaş olduğundan akım çizgileri seyrektir. –Silindir üstü ve altında ise akım çizgileri sıklaşır ve bu durum hızlı akış bölgelerini gösterir.

85 Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış Bir silindir üzerinden gerçek akış, silindir arkasında art izi bölgesi oluşturur ve akım çizgileri simetrik değildir. Bir silindir üzerinden gerçek akış, silindir arkasında art izi bölgesi oluşturur ve akım çizgileri simetrik değildir. Hız bileşenleri Hız bileşenleri Silindir yüzeyi üzerinde Silindir yüzeyi üzerinde

86 Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Üzerinden Akış Dönümsüz akış yaklaştırımı yapılırken katı çeperlerdeki kaymama koşulu sağlanamadığından silindir çeperinde kayma vardır. Dönümsüz akış yaklaştırımı yapılırken katı çeperlerdeki kaymama koşulu sağlanamadığından silindir çeperinde kayma vardır. Gerçekten de silindir üstünde (  =90 o ) çeperdeki akışkan hızı, serbest akım hızının iki katıdır: Gerçekten de silindir üstünde (  =90 o ) çeperdeki akışkan hızı, serbest akım hızının iki katıdır:

87 D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert D’Alembert paradoksu: Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında, üniform bir akım içerisine bırakılan ve kaldırılmayan gelişigüzel şekilli bir cisim üzerindeki aerodinamik direnç kuvveti sıfırdır. D’Alembert paradoksu: Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında, üniform bir akım içerisine bırakılan ve kaldırılmayan gelişigüzel şekilli bir cisim üzerindeki aerodinamik direnç kuvveti sıfırdır. Bu durum yandaki simetrik basınç dağılımından görülmektedir. Bu durum yandaki simetrik basınç dağılımından görülmektedir. –Bu silindirde net basınç direnci sıfırdır yani cismin ön yarısındaki basınç kuvvetleri arka yarısındakiler tarafından tam olarak dengelenmektedir.

88 D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert Gerçek bir akışta bir cismin arka yüzündeki basınç, ön yüzündekinden önemli ölçüde daha düşüktür ve bu da cisim üzerinde sıfır olmayan bir direnç oluşturur. Gerçek bir akışta bir cismin arka yüzündeki basınç, ön yüzündekinden önemli ölçüde daha düşüktür ve bu da cisim üzerinde sıfır olmayan bir direnç oluşturur. Bu basınç farkı cisim küt ise ve akış ayrılması var ise şiddetlenir. Bu basınç farkı cisim küt ise ve akış ayrılması var ise şiddetlenir. Hatta akım çizgili cisimler için bile cismin arkasında basıncın tamamen toparlanması mümkün değildir. Hatta akım çizgili cisimler için bile cismin arkasında basıncın tamamen toparlanması mümkün değildir.

89 D’Alembert Paradoksu Jean-le-Rond d’Alembert Ayrıca cisim yüzeyindeki kaymama koşulu da sıfırdan farklı bir viskoz dirence neden olur. Ayrıca cisim yüzeyindeki kaymama koşulu da sıfırdan farklı bir viskoz dirence neden olur. Kısaca dönümsüz akış yaklaştırımı Kısaca dönümsüz akış yaklaştırımı –Sıfır basınç direnci ve –Sıfır viskoz direnç gibi iki nedenden dolayı aerodinamik direnci hesaplamada başarısız olmaktadır.

90 Sıfır Basınç Noktası Cisim yüzeyinin hemen üzerinde hızın en yüksek, basıncın en düşük olduğu nokta cismin aerodinamik omuzu olarak adlandırılır. Cisim yüzeyinin hemen üzerinde hızın en yüksek, basıncın en düşük olduğu nokta cismin aerodinamik omuzu olarak adlandırılır. Ön durma noktası ile aerodinamik omuz arasında basınç katsayısı sıfır olan bir nokta bulunur (c p =0). Bu noktaya “sıfır basınç noktası” denilir. Ön durma noktası ile aerodinamik omuz arasında basınç katsayısı sıfır olan bir nokta bulunur (c p =0). Bu noktaya “sıfır basınç noktası” denilir. Bu noktada cismin yüzeyine dik yönde etkiyen basınç, cismin akışkan içerisinde ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlı olmaksızın aynıdır (P=P  ). Bu noktada cismin yüzeyine dik yönde etkiyen basınç, cismin akışkan içerisinde ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlı olmaksızın aynıdır (P=P  ).

91 Sıfır Basınç Noktası Balıkların gözü de sıfır basınç noktasına çok yakın yerleştirilmiştir. Balıkların gözü de sıfır basınç noktasına çok yakın yerleştirilmiştir. –Balığın gözü burnuna yakın olsaydı balık ne kadar hızlı yüzerse gözü üzerinde o denli yüksek basınç meydana gelirdi. –Göz daha geriye yani aerodinamik omuz civarına yerleştirilmiş olsaydı balık yüzdüğünde göz göreceli olarak emme basıncına maruz kalırdı. –Ayrıca balıkların solungaçlarının arkası aerodinamik omuza yakın yerleştirilerek buradaki emme basıncının balığın nefes vermesine yardımcı olması, hızlı yüzme esnasında kalbin strok hacmini artırmak için kalpleri de en düşük basınç bölgesine yerleştirilmiştir.

92 Dönümsüz Akış Bölgelerinin Süperpozisyonu Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında herhangi bir akım çizgisi katı bir çeper olarak dönüştürülebilir. Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında herhangi bir akım çizgisi katı bir çeper olarak dönüştürülebilir. Dönümsüz akış yaklaştırımı matematiksel olarak basittir ve bu yolla hız ve basınç alanları kolayca elde edilebilir, ancak uygularken dikkatli olunmalıdır. Dönümsüz akış yaklaştırımı matematiksel olarak basittir ve bu yolla hız ve basınç alanları kolayca elde edilebilir, ancak uygularken dikkatli olunmalıdır. Dönümsüz akış yaklaştırımı özellikle katı çeper yakınları gibi çevrintinin ihmal edilemez olduğu bölgelerde geçersizdir. Dönümsüz akış yaklaştırımı özellikle katı çeper yakınları gibi çevrintinin ihmal edilemez olduğu bölgelerde geçersizdir. –Bunun nedeni, çeperdeki kaymama koşulunun yol açtığı viskoz gerilmelerin akışkan parçacıklarını döndürmesidir.

93 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Navier-Stokes denklemlerindeki viskoz terimlerin ihmal edilebilir olduğu en az iki akış durumu vardır: Navier-Stokes denklemlerindeki viskoz terimlerin ihmal edilebilir olduğu en az iki akış durumu vardır: –Viskoz olmayan akış bölgeleri: Net viskoz kuvvetlerin atalet ve/veya basınç kuvvetlerine göre ihmal edilebilir olduğu bilinen yüksek Reynolds sayılı bölgeler –Dönümsüz veya potansiyel akış bölgeleri: Çevrintinin ihmal edilebilir derecede küçük olduğu bölgeler.

94 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Her iki durumda da NS denkleminden viskoz terimlerin kalkmasıyla Euler denklemi elde edilir. Her iki durumda da NS denkleminden viskoz terimlerin kalkmasıyla Euler denklemi elde edilir. Viskoz terimlerin yok olmasıyla matematiksel işlemler büyük ölçüde basitleşmiş olsa da Euler denkleminin pratik mühendislik akışı problemlerine uygulanması ile ilgili ciddi eksiklikler vardır: Viskoz terimlerin yok olmasıyla matematiksel işlemler büyük ölçüde basitleşmiş olsa da Euler denkleminin pratik mühendislik akışı problemlerine uygulanması ile ilgili ciddi eksiklikler vardır: –Katı çeperlerde kaymama koşulunu tanımlayamama –Katı çeperler üzerinde sıfır viskoz kayma kuvvetleri ve serbest bir akıntıya daldırılmış cisimler üzerinde sıfır aerodinamik direnç

95 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka yaklaştırımı, Sınır tabaka yaklaştırımı, –Euler denklemiyle NS denklemi arasındaki ve –katı çeperlerdeki kayma koşulu ile kaymama koşulu arasındaki boşluğa köprü olur. Sınır tabaka yaklaştırımı 1904 yılında Ludwig Prandtl tarafından ortaya atılmıştır. Sınır tabaka yaklaştırımı 1904 yılında Ludwig Prandtl tarafından ortaya atılmıştır.

96 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka yaklaştırımına göre bir cisim etrafındaki akış iki bölgeye ayrılır: Sınır tabaka yaklaştırımına göre bir cisim etrafındaki akış iki bölgeye ayrılır: – Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz olan Dış Akış Bölgesi. –Bir katı çeper civarında viskoz kuvvetlerin ve dönümlülüğün göz ardı edilemeyeceği çok ince bir akış bölgesi olan Sınır Tabaka Bölgesi olarak adlandırılan iç akış bölgesi

97 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Dış Akış Bölgesinde hız alanını elde etmek için süreklilik ve Euler denklemleri, basınç alanını elde etmek için Bernoulli denklemi kullanılır. Dış Akış Bölgesinde hız alanını elde etmek için süreklilik ve Euler denklemleri, basınç alanını elde etmek için Bernoulli denklemi kullanılır. Eğer dış akış bölgesi dönümsüz ise hız alanını elde etmek için potansiyel akış teknikleri kullanılabilir. Eğer dış akış bölgesi dönümsüz ise hız alanını elde etmek için potansiyel akış teknikleri kullanılabilir. Sınır tabaka bölgesinde Sınır Tabaka Denklemleri kullanılır. Sınır tabaka bölgesinde Sınır Tabaka Denklemleri kullanılır.

98 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka çözümleri, bütün NS çözümlerinin yaklaştırımlarıdır ve bunu uygularken dikkatli olunmalıdır. Sınır tabaka çözümleri, bütün NS çözümlerinin yaklaştırımlarıdır ve bunu uygularken dikkatli olunmalıdır. Sınır tabaka yaklaştırımı, Euler denkleminin bazı önemli eksikliklerini giderir: Sınır tabaka yaklaştırımı, Euler denkleminin bazı önemli eksikliklerini giderir: –Çeperler boyunca viskoz kayma kuvvetleri mevcut hale gelebilir. –Serbest bir akıma daldırılan cisimler aerodinamik dirence maruz kalabilir. –Ters basınç gradyenlerinin olduğu bölgelerdeki akış ayrılmaları daha doğru bir biçimde belirlenebilir.

99 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka kavramı 1900’lü yılların büyük kısmında akışkanlar mekaniğinin lokomotifi olmuştur. Sınır tabaka kavramı 1900’lü yılların büyük kısmında akışkanlar mekaniğinin lokomotifi olmuştur. 20. yüzyılın ikinci yarısında, hızlı, pahalı olmayan bilgisayarların ve hesaplamalı akışkan dinamiği yazılımlarının ortaya çıkışı, karmaşık geometrili akışlar için NS denkleminin sayısal çözümünü mümkün kılmıştır. 20. yüzyılın ikinci yarısında, hızlı, pahalı olmayan bilgisayarların ve hesaplamalı akışkan dinamiği yazılımlarının ortaya çıkışı, karmaşık geometrili akışlar için NS denkleminin sayısal çözümünü mümkün kılmıştır. Artık günümüzde akışı, dış akış bölgeleri ve sınır tabaka bölgeleri olarak ayırmaya gereksinim yoktur. Artık günümüzde akışı, dış akış bölgeleri ve sınır tabaka bölgeleri olarak ayırmaya gereksinim yoktur. –Bunun yerine tüm hareket denklem takımını (süreklilik ve NS) tüm akış alanı boyunca çözmek için HAD’ı (Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği) kullanabiliriz.

100 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Çözüme ulaşmak için çok daha az zaman alması nedeniyle, yine de sınır tabaka teorisi bazı mühendislik uygulamalarında faydalıdır. Çözüme ulaşmak için çok daha az zaman alması nedeniyle, yine de sınır tabaka teorisi bazı mühendislik uygulamalarında faydalıdır. Ayrıca sınır tabakaları incelemek yoluyla akışkanların davranışı hakkında öğrenecek çok şey vardır. Ayrıca sınır tabakaları incelemek yoluyla akışkanların davranışı hakkında öğrenecek çok şey vardır.

101 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka kalınlığı,  : Sınır tabaka kalınlığı,  : Çepere paralel hız bileşeninin sınır tabaka dışında akan akışkan hızının %99’una eşit olduğu noktanın çepere olan mesafesidir.

102 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Verilen bir x konumunda, Reynolds sayısı ne kadar yüksekse sınır tabaka o oranda incedir ve sınır tabaka yaklaştırımı daha güvenilir hale gelir. Verilen bir x konumunda, Reynolds sayısı ne kadar yüksekse sınır tabaka o oranda incedir ve sınır tabaka yaklaştırımı daha güvenilir hale gelir.  <

103 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka profilinin şekli, akışı görselleştirme yoluyla deneysel olarak elde edilebilir. Sınır tabaka profilinin şekli, akışı görselleştirme yoluyla deneysel olarak elde edilebilir.

104 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka yaklaştırımı sadece çeperlerle çevrilmiş akış bölgeleriyle sınırlı değildir. Sınır tabaka yaklaştırımı sadece çeperlerle çevrilmiş akış bölgeleriyle sınırlı değildir. Jetler, art izleri ve karışım tabakaları gibi serbest kayma tabakalarına da sınır tabaka yaklaştırımı uygulanabilir. Jetler, art izleri ve karışım tabakaları gibi serbest kayma tabakalarına da sınır tabaka yaklaştırımı uygulanabilir. –Bu tabakalar ihmal edilemez viskoz kuvvetlerin bulunduğu sonlu çevrintili akış alanlarıdır.

105 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka kalınlığı sabit olmayıp aşağı akım mesafesi x ile değişir. Sınır tabaka kalınlığı sabit olmayıp aşağı akım mesafesi x ile değişir. – Düz plaka, jetler, art izleri ve karışım tabakalarında  (x) kalınlığı x ile artmaktadır. –  (x)’in x ile azaldığı, bir çeper boyunca çabuk ivmelenen dış akışlar da bulunmaktadır.

106 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı  (x) eğrisi bir akım çizgisi değildir.  (x) eğrisi bir akım çizgisi değildir. –Sınır tabaka aşağı akım yönünde kalınlaştıkça, sınır tabakadan geçen akım çizgileri kütle korunumunu sağlamak için hafifçe yukarı doğru sapar. –Yukarı yöndeki bu yer değiştirme  (x)’deki büyümeden daha küçüktür.

107 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Düz plaka üzerindeki laminer akışta sınır tabaka kalınlığı Düz plaka üzerindeki laminer akışta sınır tabaka kalınlığı –V, –x, –  ve –  ’nün fonksiyonudur.  (x), Re x ’in karekökü ile orantılıdır.  (x), Re x ’in karekökü ile orantılıdır.

108 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Serbest akımlı pürüzsüz bir düz plakada türbülansa geçiş süreci, kritik Reynolds sayısında başlar ve geçiş Reynolds sayısında tamamen türbülanslı hale geçinceye kadar devam eder. Serbest akımlı pürüzsüz bir düz plakada türbülansa geçiş süreci, kritik Reynolds sayısında başlar ve geçiş Reynolds sayısında tamamen türbülanslı hale geçinceye kadar devam eder. –Kritik Reynolds sayısı Re x,kritik  1*10 5 –Geçiş Reynolds sayısı Re x,geçiş  3*10 6

109 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Sınır tabaka çok incedir, geçiş bölgesi uzun bir bölgedir: Sınır tabaka çok incedir, geçiş bölgesi uzun bir bölgedir: –Re x,geçiş  30 Re x,kritik Gerçek mühendislik akışlarında türbülansa geçiş genellikle daha ani ve sakin serbest akımlı pürüzsüz düz plaka için verilen değerlerden çok daha önce meydana gelir (daha düşük Re x değerinde). Gerçek mühendislik akışlarında türbülansa geçiş genellikle daha ani ve sakin serbest akımlı pürüzsüz düz plaka için verilen değerlerden çok daha önce meydana gelir (daha düşük Re x değerinde).

110 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Geçişi şu parametreler etkiler: Geçişi şu parametreler etkiler: –yüzey boyunca pürüzlülük, –serbest akım bozuklukları, –akustik gürültü, –akış kararsızlıkları, –titreşimler, –çeper eğriliği, Bir sınır tabakanın büyük olasılıkla laminer (Re x Re x,kritik ) olduğunu belirlemede çoğunlukla Re x,kr =5*10 5 olan mühendislik kritik Reynolds sayısı kullanılır. Bir sınır tabakanın büyük olasılıkla laminer (Re x Re x,kritik ) olduğunu belirlemede çoğunlukla Re x,kr =5*10 5 olan mühendislik kritik Reynolds sayısı kullanılır. –Bu yaklaşımda geçiş bölgesinin ilk kısmı laminer, kalan kısmı da türbülanslı kabul edilir.

111 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı Geçiş süreci çoğunlukla daimi değildir ve modern HAD yazılımlarıyla bile kestirimi zordur. Geçiş süreci çoğunlukla daimi değildir ve modern HAD yazılımlarıyla bile kestirimi zordur. Bazı durumlarda istenen bir konumda akışı geçiş sürecine zorlamak için yüzey boyunca kalın zımpara kağıdı veya engel teli yerleştirilir. Bazı durumlarda istenen bir konumda akışı geçiş sürecine zorlamak için yüzey boyunca kalın zımpara kağıdı veya engel teli yerleştirilir. Engel telinden yayılan girdaplar, daha iyi yerel karışmaya neden olur ve çok hızlı şekilde türbülanslı sınır tabakaya geçişi sağlayan akış bozuklukları meydana getirir. Engel telinden yayılan girdaplar, daha iyi yerel karışmaya neden olur ve çok hızlı şekilde türbülanslı sınır tabakaya geçişi sağlayan akış bozuklukları meydana getirir.

112 10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı

113 Sınır Tabaka Denklemleri Yerçekimi etkileri ihmal ediliyor. Yerçekimi etkileri ihmal ediliyor. Laminer sınır tabaka, Laminer sınır tabaka, Sınır tabaka koordinat sistemi kullanılıyor. Sınır tabaka koordinat sistemi kullanılıyor.

114 Sınır Tabaka Denklemleri Daimi olmayan terim ve yerçekimi etkileri ihmal edildiğinde

115 Sınır Tabaka Denklemleri x için uzunluk ölçeği olarak L x için uzunluk ölçeği olarak L y için uzunluk ölçeği olarak  y için uzunluk ölçeği olarak  Tüm akış alanı için karakteristik hız V Tüm akış alanı için karakteristik hız V Sınır tabakalar için karakteristik hız U Sınır tabakalar için karakteristik hız U (U, sınır tabakanın tam üstündeki bir konumda, çepere paralel hız bileşeninin büyüklüğüdür) Büyüklük mertebeleri Büyüklük mertebeleri

116 Sınır Tabaka Denklemleri Süreklilik denkleminden v hız bileşeninin büyüklük mertebesi Süreklilik denkleminden v hız bileşeninin büyüklük mertebesi Bir sınır tabaka içerisinde Bir sınır tabaka içerisinde  /L<<1 olduğundan (sınır tabaka çok ince) v<

117 Sınır Tabaka Denklemleri Boyutsuz değişkenler kullanıldığında: Boyutsuz değişkenler kullanıldığında: Tüm boyutsuz değişkenler 1 mertebesindedir ve normalleştirilmiş değişkenlerdir. Tüm boyutsuz değişkenler 1 mertebesindedir ve normalleştirilmiş değişkenlerdir.

118 Sınır Tabaka Denklemleri y yönündeki momentum denklemi:

119 Sınır Tabaka Denklemleri Re L >>1 olduğundan sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi diğerlerinden daha küçüktür. Re L >>1 olduğundan sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi diğerlerinden daha küçüktür. Aynı nedenle sağdaki son terim sağdaki ilk terimden çok küçüktür. Aynı nedenle sağdaki son terim sağdaki ilk terimden çok küçüktür. Bu iki terim ihmal edilirse geriye soldaki iki terim ile sağdaki ilk terim kalır: Bu iki terim ihmal edilirse geriye soldaki iki terim ile sağdaki ilk terim kalır:

120 Sınır Tabaka Denklemleri L>>  olmasından dolayı basınç gradyeni teriminin büyüklük mertebesi, denklemin solundaki advektif terimlerden daha büyüktür. Bunun sonucunda kalan tek terim basınç terimi olur:

121 Sınır Tabaka Denklemleri Bir sınır tabaka içerisinde Bir sınır tabaka içerisinde sınır tabakaya dik yönde (y-yönü) basınç hemen hemen sabittir.

122 Sınır Tabaka Denklemleri Bu nedenle bir sınır tabakanın dış kenarındaki basınç, çeperin doğrudan altına açılan bir statik basınç deliği ile deneysel olarak ölçülebilir.

123 Sınır Tabaka Denklemleri x- yönündeki NS denklemi

124 Sınır Tabaka Denklemleri Re L >>1 olduğundan Re L >>1 olduğundan –sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi sol tarafta yer alan terimlerinkinden daha küçüktür. sol tarafta yer alan terimlerinkinden daha küçüktür. Sağ taraftaki son terim ihmal edilemez, çünkü ihmal edilirse tüm viskoz terimler atılmış olur ve Euler denklemine geri dönülmüş olur. Sağ taraftaki son terim ihmal edilemez, çünkü ihmal edilirse tüm viskoz terimler atılmış olur ve Euler denklemine geri dönülmüş olur. Diğer tüm terimler 1 mertebesinde olduğundan: Diğer tüm terimler 1 mertebesinde olduğundan:

125 Sınır Tabaka Denklemleri Çeper boyunca verilen bir akımyönü konumunda Reynolds sayısı ne kadar yüksekse, sınır tabaka da o denli ince olur. Çeper boyunca verilen bir akımyönü konumunda Reynolds sayısı ne kadar yüksekse, sınır tabaka da o denli ince olur. Düz bir plaka üzerindeki laminer sınır tabakada , x’in kareköküyle orantılı olarak büyür. Düz bir plaka üzerindeki laminer sınır tabakada , x’in kareköküyle orantılı olarak büyür.

126 Sınır Tabaka Denklemleri x-momentum sınır tabaka denklemi: x-momentum sınır tabaka denklemi: y-hız gradyeni genellikle küçük olan kinematik viskozite değerini dengelemek için yeterince büyük olduğundan, yukarıdaki denklemdeki son terim ihmal edilemez. y-hız gradyeni genellikle küçük olan kinematik viskozite değerini dengelemek için yeterince büyük olduğundan, yukarıdaki denklemdeki son terim ihmal edilemez.

127 Sınır Tabaka Denklemleri Bernoulli denklemi dış akış bölgesine uygulanabilir:

128 Sınır Tabaka Denklemleri Önemli yerçekimi etkilerinin olmadığı, daimi, sıkıştırılamaz, laminer sınır tabaka için hareket denklemleri (sınır tabaka denklemleri):

129 Sınır Tabaka Denklemleri Matematiksel olarak N-S denklemi uzayda eliptiktir. Matematiksel olarak N-S denklemi uzayda eliptiktir. –Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin tüm sınırı boyunca gerekli olduğu anlamına gelir. –Fiziksel olarak akış bilgisi tüm yönlere, hem yukarıakıma hem de aşağıakıma iletilir.

130 Sınır Tabaka Denklemleri x- momentum sınır tabaka denklemi, paraboliktir. –Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin yalnızca üç tarafında belirtilmesi gerektiği anlamına gelir. –Fiziksel olarak akış bilgisi akışa zıt yönde (aşağı akımdan) etkilenmez. –Aşağıakımda sınır şartı belirtilmesi gerekmez. –Sınır şartlarının yalnızca yukarıakımda, akış bölgesinin üstünde ve altında belirtilmesi yeterli olur.

131 Sınır Tabaka Denklemleri Bir çeper üzerindeki tipik bir sınır tabaka problemi için Bir çeper üzerindeki tipik bir sınır tabaka problemi için –Çeperde kaymama koşulu (y=0’da u=v=0) –Sınır tabaka kenarındaki ve uzağındaki dış akış şartı (y  için u=U(x)) –Belirli bir yukarıakım konumunda bir başlangıç profili x=x başlangıç için u=u başlangıç (y)’dir. x başlangıç sıfır olabilir ve olmayabilir.

132 Sınır Tabaka Denklemleri

133 Reynolds sayısı yeterince yüksek Reynolds sayısı yeterince yüksek değilse sınır tabaka yaklaştırımı işe yaramaz. Re L =1000 için  /L~%3 Re L =10000 için  /L~%1 Çeper eğriliği,  ile yakın büyüklükteyse, Çeper eğriliği,  ile yakın büyüklükteyse, y-yönünde sıfır basınç gradyeni kabulü yapılamaz. –Bu tür durumlarda akım çizgisi eğriliğinden kaynaklanan merkezcil ivme etkileri göz ardı edilemez.

134 Sınır Tabaka Denklemleri Reynolds sayısı çok yüksekse, sınır tabaka laminer olarak kalmaz. Reynolds sayısı çok yüksekse, sınır tabaka laminer olarak kalmaz. Akış ayrılması meydana geliyorsa, ayrılan akış bölgesinde sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmaz. Akış ayrılması meydana geliyorsa, ayrılan akış bölgesinde sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmaz. Ayrılan akış bölgesinde ters akış bulunur ve sınır tabaka denklemlerinin parabolik yapısı kaybolur. Ayrılan akış bölgesinde ters akış bulunur ve sınır tabaka denklemlerinin parabolik yapısı kaybolur.

135 Sınır Tabaka Denklemleri

136

137

138 Yerdeğiştirme Kalınlığı Yerdeğiştirme kalınlığı, sınır tabakanın tam dışındaki bir akım çizgisinin sınır tabaka etkisiyle çeperden uzaklaşma mesafesidir. Yerdeğiştirme kalınlığı, sınır tabakanın tam dışındaki bir akım çizgisinin sınır tabaka etkisiyle çeperden uzaklaşma mesafesidir. Yerdeğiştirme kalınlığı Yerdeğiştirme kalınlığı

139 Yerdeğiştirme Kalınlığı Sınır tabaka büyüdükçe, yer değiştirme kalınlığı x ile artar. Sınır tabaka büyüdükçe, yer değiştirme kalınlığı x ile artar. Laminer düz plaka için yer değiştirme kalınlığı (sayısal Blasius çözümü) Laminer düz plaka için yer değiştirme kalınlığı (sayısal Blasius çözümü)

140 Yerdeğiştirme Kalınlığı Yer değiştirme kalınlığı için olan denklem ile sınır tabaka kalınlığı için olan denklem aynıdır: Yer değiştirme kalınlığı için olan denklem ile sınır tabaka kalınlığı için olan denklem aynıdır: –Sadece bu denklemdeki sabit farklıdır. –Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi bir x konumunda, yer değiştirme kalınlığı aynı konumdaki sınır tabaka kalınlığının üçte biridir.

141 Yerdeğiştirme Kalınlığı Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz akış için yer değiştirme kalınlığı, çeper kalınlığındaki hayali veya görünür bir artış olarak düşünülebilir. Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz akış için yer değiştirme kalınlığı, çeper kalınlığındaki hayali veya görünür bir artış olarak düşünülebilir. –Düz plaka örneğinde dış akış, artık sonsuz ince bir düz plaka görmeyecektir. –Tersine sonlu kalınlıkta bir plaka şekli görecektir. Yer değiştirme kalınlığı, büyüyen sınır tabaka etkisiyle, dış akışın çeper kalınlığında gördüğü hayali artıştır. Yer değiştirme kalınlığı, büyüyen sınır tabaka etkisiyle, dış akışın çeper kalınlığında gördüğü hayali artıştır.

142 Yerdeğiştirme Kalınlığı Üst ve alt çeperde sınır tabakalar büyüdükçe, dönümsüz çekirdek akışı kütlenin korunumunu sağlamak üzere ivmelenmelidir. Üst ve alt çeperde sınır tabakalar büyüdükçe, dönümsüz çekirdek akışı kütlenin korunumunu sağlamak üzere ivmelenmelidir. Çekirdek akışı açısından sınır tabakalar kanal çeperlerinin yakınsamasına, yani x arttıkça çeperler arasındaki görünür mesafenin azalmasına neden olur. Çekirdek akışı açısından sınır tabakalar kanal çeperlerinin yakınsamasına, yani x arttıkça çeperler arasındaki görünür mesafenin azalmasına neden olur. Çeperlerden birinin kalınlığındaki hayali artış, yerdeğiştirme kalınlığına eşittir ve çekirdeğin görünür U(x) hızı kütlenin korunumunu sağlamak için artmalıdır. Çeperlerden birinin kalınlığındaki hayali artış, yerdeğiştirme kalınlığına eşittir ve çekirdeğin görünür U(x) hızı kütlenin korunumunu sağlamak için artmalıdır.

143 Momentum Kalınlığı Plaka üzerinde sürtünmeden kaynaklanan direnç kuvveti: Plaka üzerinde sürtünmeden kaynaklanan direnç kuvveti: Momentum kalınlığı , birim plaka genişliği için plaka üzerindeki viskoz direnç kuvveti ile  U 2  çarpımı birbirine eşit olacak şekilde tanımlanırsa: Momentum kalınlığı , birim plaka genişliği için plaka üzerindeki viskoz direnç kuvveti ile  U 2  çarpımı birbirine eşit olacak şekilde tanımlanırsa:

144 Momentum Kalınlığı

145 Momentum kalınlığı, büyüyen sınır tabakanın varlığından ötürü birim genişlik başına oluşan momentum kaybının  U 2 ’ye oranı olarak tanımlanır: Momentum kalınlığı, büyüyen sınır tabakanın varlığından ötürü birim genişlik başına oluşan momentum kaybının  U 2 ’ye oranı olarak tanımlanır:

146 Momentum Kalınlığı Laminer düz plaka için (Blasius çözümü): Laminer düz plaka için (Blasius çözümü): Bu denklem sabiti farklı olmak üzere sınır tabaka kalınlığı ve yer değiştirme kalınlığı denklemleri ile aynıdır. Bu denklem sabiti farklı olmak üzere sınır tabaka kalınlığı ve yer değiştirme kalınlığı denklemleri ile aynıdır. Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi bir x konumundaki ,  ’nın yaklaşık %13.5’udur. Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi bir x konumundaki ,  ’nın yaklaşık %13.5’udur.

147 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı akışlar kendine özgü biçimde daimi değildir ve anlık hız profilleri zamanla değişir. Türbülanslı akışlar kendine özgü biçimde daimi değildir ve anlık hız profilleri zamanla değişir. –Bu nedenle buradaki tüm türbülans ifadeleri zaman ortalamalı değerlerdir.

148 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı düz plaka sınır tabakasının zaman- ortalamalı hız profili için yaygın olan bir ampirik yaklaştırım 1/7’nci kuvvet yasasıdır: , laminer akıştaki tanımından farklı olarak sınır tabaka kalınlığının %99’u değildir ve sınır tabakanın gerçek kenarıdır.

149 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Eğer laminer ve türbülanslı sınır tabakalar aynı kalınlıkta olsaydı, türbülanslı olanın laminer olandan daha dolu olduğu görülür. Eğer laminer ve türbülanslı sınır tabakalar aynı kalınlıkta olsaydı, türbülanslı olanın laminer olandan daha dolu olduğu görülür.

150 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası –Türbülanslı sınır tabaka çepere daha yakın şekilde tutunur ve böylece çepere yakın sınır tabaka daha yüksek hızlı akışla dolar. –Bunun nedeni, sınır tabakanın dış kısmındaki yüksek hızlı akışkanı sınır tabakanın aşağı kısmına (veya bunun tersi) doğru taşıyan büyük türbülans girdaplarıdır.

151 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Başka bir deyişle, bir türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakaya göre çok daha büyük karışma derecesine sahiptir. Başka bir deyişle, bir türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakaya göre çok daha büyük karışma derecesine sahiptir. –Laminer durumda akışkan viskoz difüzyon nedeniyle yavaşça karışır. –Türbülanslı akışta büyük girdaplar çok daha hızlı yayılır ve mükemmel karışma meydana gelir.

152 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Türbülanslı sınır tabakanın yukarıdaki yaklaşık hız profili, çepere çok yakın kısımlarda (y  0) fiziksel olarak bir anlam taşımaz. Türbülanslı sınır tabakanın yukarıdaki yaklaşık hız profili, çepere çok yakın kısımlarda (y  0) fiziksel olarak bir anlam taşımaz. –çünkü y=0 için (∂u/∂y) eğimini sonsuz vermektedir. Türbülanslı bir sınır tabaka için çeperdeki eğim çok büyük olsa da sonsuz değildir. Türbülanslı bir sınır tabaka için çeperdeki eğim çok büyük olsa da sonsuz değildir. –Çeperdeki bu yüksek eğim, çok yüksek bir çeper kayma gerilmesine ve dolayısıyla plaka yüzeyi boyunca yüksek yüzey sürtünmesine yol açar (aynı kalınlıktaki laminer sınır tabakaya oranla).

153 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası

154 Yaygın olan diğer bir yaklaştırım logaritma yasasıdır: Yaygın olan diğer bir yaklaştırım logaritma yasasıdır: Sürtünme hızı: Sürtünme hızı:  = ve B=  = ve B=

155 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Logaritma yasası Logaritma yasası –Yarı-ampirik bir ifadedir. –Yalnızca düz plaka sınır tabakaları için değil aynı zamanda tam gelişmiş boru akışı hız profilleri için de geçerlidir. –Çeperle çevrili hemen hemen tüm türbülanslı sınır tabakalar için uygulanabilir. –Çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0) tanımsızdır. –Sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden sapma gösterir. –Hız profilini çeper kayma gerilmesinin yerel değeriyle ilişkilendirdiği için faydalıdır.

156 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası Tüm çeper için geçerli ifade Spalding çeper yasasıdır: Tüm çeper için geçerli ifade Spalding çeper yasasıdır:

157 Türbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası

158

159 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Mühendisler için Mühendisler için gelişigüzel şekilli çeperler üzerindeki sınır tabakalar daha fazla pratik öneme sahiptir: dış akışlar ve iç akışlar

160 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Basınç gradyeninin sıfır olmadığı sınır tabakalar da laminer veya türbülanslı olabilir. Basınç gradyeninin sıfır olmadığı sınır tabakalar da laminer veya türbülanslı olabilir. Düz plaka sınır tabaka sonuçları, türbülansa geçiş yeri, sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünmesi vb. şeyler için yaklaşık tahmin olarak kullanılabilir. Düz plaka sınır tabaka sonuçları, türbülansa geçiş yeri, sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünmesi vb. şeyler için yaklaşık tahmin olarak kullanılabilir. –Ancak daha fazla doğruluk gerektiğinde, sınır tabaka denklemleri çözülmelidir. –Bu durumda x yönündeki basınç gradyeni terimi (UdU/dx) sıfır olmadığından, yapılacak analiz düz plaka için olandan çok daha zordur.

161 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar, P(x) azalır. Buna elverişli basınç gradyeni denir. Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar, P(x) azalır. Buna elverişli basınç gradyeni denir. –Bu tür ivmelenen bir akışta sınır tabaka genellikle incedir ve çepere sıkıca tutunmuştur. –Çeperden ayrılmayacak bir yapıda olduğundan elverişlidir veya istenir.

162 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) ise artar. Buna elverişsiz veya ters basınç gradyeni denir. Dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) ise artar. Buna elverişsiz veya ters basınç gradyeni denir. –Bu istenilmeyen bir durumdur. –Sınır tabaka genellikle daha kalındır ve çepere sıkıca tutunmamıştır. Dolayısıyla çeperden ayrılması çok daha muhtemeldir. Dolayısıyla çeperden ayrılması çok daha muhtemeldir.

163 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Tipik bir dış akışta Tipik bir dış akışta cismin ön kısmındaki sınır tabaka elverişli basınç gradyenine maruz kalırken, arka kısmı ters basınç gradyeninin etkisindedir. Eğer ters basınç gradyeni Eğer ters basınç gradyeni (dP/dx=-UdU/dx) yeterince büyükse sınır tabakanın çeperden ayrılması olasıdır.

164 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar (a) şeklinde sınır tabaka, kanadın tüm alt yüzeyi boyunca kanada yapışık kalmakta, ancak üst yüzeyin arkasında bir yerde kanattan ayrılmaktadır. (a) şeklinde sınır tabaka, kanadın tüm alt yüzeyi boyunca kanada yapışık kalmakta, ancak üst yüzeyin arkasında bir yerde kanattan ayrılmaktadır. –Ayrılma kabarcıkları denilen sürekli dolanımlı bir akış bölgesi oluşmaktadır. (b) şeklinde ayrılma noktası kanadın ön kısmına doğru hareket etmekte ve ayrılma kabarcığı neredeyse kanadın tüm üst yüzeyini kaplamaktadır (stol durumu) (b) şeklinde ayrılma noktası kanadın ön kısmına doğru hareket etmekte ve ayrılma kabarcığı neredeyse kanadın tüm üst yüzeyini kaplamaktadır (stol durumu) –Stol, beraberinde bir kaldırma kaybı ve aerodinamik dirençte belirgin bir artış meydana getirir.

165 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Ayrılma kabarcığındaki ters akıştan ötürü bir ayrılma noktasının aşağı akımında sınır tabaka denklemleri geçersizdir: Ayrılma kabarcığındaki ters akıştan ötürü bir ayrılma noktasının aşağı akımında sınır tabaka denklemleri geçersizdir: –Bu tür durumlarda sınır tabaka yaklaştırımı yerine bütün Navier-Stokes denklemleri kullanılmalıdır.

166 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle çeşitli basınç gradyeni şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey öğrenilebilir. Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle çeşitli basınç gradyeni şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey öğrenilebilir. Sınır tabaka denkleminden çeperde hız sıfır olduğundan: Sınır tabaka denkleminden çeperde hız sıfır olduğundan:

167 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Elverişli basınç gradyeni şartlarında (ivmelenen dış akış) Elverişli basınç gradyeni şartlarında (ivmelenen dış akış) –dU/dx pozitiftir ve (  2 u/  2 y) y=0 <0 olur. –Sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça  2 u/  2 y negatif kalmalıdır. –Buna göre herhangi bir büküm noktası olmaksızın hız profili yuvarlak bir hal alır.

168 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Sıfır basınç gradyeni şartlarında Sıfır basınç gradyeni şartlarında –dU/dx sıfırdır ve (  2 u/  2 y) y=0 =0 olur. –u, y ile doğrusal büyür.

169 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Ters basınç gradyeni şartlarında Ters basınç gradyeni şartlarında –dU/dx negatiftir ve (  2 u/  2 y) y=0 >0 olur. –Ancak sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça  2 u/  2 y’nin negatif olması gerektiğinden, sınır tabaka içerisinde bir yerde bir büküm noktası (  2 u/  2 y=0) olmalıdır.

170 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Çeperde u hızının y’ye göre birinci türevi doğrudan çeper kayma gerilmesi  w ile orantılıdır [(  w =  u/  y) y=0 ] Çeperde u hızının y’ye göre birinci türevi doğrudan çeper kayma gerilmesi  w ile orantılıdır [(  w =  u/  y) y=0 ]  w elverişli basınç gradyenleri için en yüksek, ters basınç gradyenleri için en düşüktür.  w elverişli basınç gradyenleri için en yüksek, ters basınç gradyenleri için en düşüktür. Sınır tabaka kalınlığı basınç gradyeni işaret değiştirdiğinde artmaktadır. Sınır tabaka kalınlığı basınç gradyeni işaret değiştirdiğinde artmaktadır.

171 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Ters basınç gradyeni yeterince yüksekse (  u/  y) y=0 sıfır olabilir. Ters basınç gradyeni yeterince yüksekse (  u/  y) y=0 sıfır olabilir. Çeper boyunca bunun gerçekleştiği konum ayrılma noktasıdır. Çeper boyunca bunun gerçekleştiği konum ayrılma noktasıdır. –Bu noktanın ötesinde ters akış ve ayrılma kabarcığı vardır. –Ayrılma noktasının ötesinde  w negatiftir.

172 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar

173 Sınır tabaka yaklaştırımı sadece dış akış çözümünün başarısı kadar iyi sonuç verir. Sınır tabaka yaklaştırımı sadece dış akış çözümünün başarısı kadar iyi sonuç verir. –Eğer ayrılma noktası dış akışı önemli ölçüde değiştiriyorsa, bu durumda sınır tabaka yaklaştırımı hatalı olacaktır. Türbülanslı sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır tabakalara kıyasla akış ayrılmasına karşı daha dirençlidir. Türbülanslı sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır tabakalara kıyasla akış ayrılmasına karşı daha dirençlidir.

174 Basınç Gradyenli Sınır Tabakalar Pürüzsüz bir golf topu, yüzeyindeki laminer sınır tabakayı korur ve sınır tabaka bu şekilde rahatça yüzeyden ayrılarak yüksek aerodinamik dirence neden olur. Pürüzsüz bir golf topu, yüzeyindeki laminer sınır tabakayı korur ve sınır tabaka bu şekilde rahatça yüzeyden ayrılarak yüksek aerodinamik dirence neden olur. Türbülansa erken geçiş sağlamak için golf toplarının üzerinde çukurcuklar (bir tür yüzey pürüzlülüğü) vardır. Türbülansa erken geçiş sağlamak için golf toplarının üzerinde çukurcuklar (bir tür yüzey pürüzlülüğü) vardır. Golf topu yüzeyinden akış yine ayrılır ancak bu defa ayrılma, sınır tabakadaki aşağı akımın çok daha uzağında gerçekleşir ve aerodinamik direncin önemli ölçüde düşmesine neden olur. Golf topu yüzeyinden akış yine ayrılır ancak bu defa ayrılma, sınır tabakadaki aşağı akımın çok daha uzağında gerçekleşir ve aerodinamik direncin önemli ölçüde düşmesine neden olur.

175 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Momentum integral tekniği, yüzeyler boyunca sıfır veya sıfır olmayan basınç gradyeni altındaki sınır tabakalara ait sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünme katsayısı gibi özelliklerin niceliksel yaklaştırımlarını elde etmede bir kontrol hacmi yaklaştırımı kullanır. Momentum integral tekniği, yüzeyler boyunca sıfır veya sıfır olmayan basınç gradyeni altındaki sınır tabakalara ait sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünme katsayısı gibi özelliklerin niceliksel yaklaştırımlarını elde etmede bir kontrol hacmi yaklaştırımı kullanır. Momentum integral tekniği hem laminer hem de türbülanslı sınır tabakalar için kullanılabilir. Momentum integral tekniği hem laminer hem de türbülanslı sınır tabakalar için kullanılabilir.

176 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Karman integral denklemi (KİD): Karman integral denklemi (KİD): Karman integral denklemi, alternatif form: Karman integral denklemi, alternatif form: Şekil faktörü: Şekil faktörü: Yerel yüzey sürtünme katsayısı: Yerel yüzey sürtünme katsayısı:

177 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Bir yüzey boyunca gelişen, sıfır olmayan basınç gradyenli bir sınır tabakanın söz konusu olduğu genel bir durum için H ve C f,x, x’in bir fonksiyonudur. Bir yüzey boyunca gelişen, sıfır olmayan basınç gradyenli bir sınır tabakanın söz konusu olduğu genel bir durum için H ve C f,x, x’in bir fonksiyonudur. KİD, laminer, türbülanslı veya geçiş bölgesindeki bir çeper boyunca daimi sıkıştırılamaz bir sınır tabaka için geçerlidir. KİD, laminer, türbülanslı veya geçiş bölgesindeki bir çeper boyunca daimi sıkıştırılamaz bir sınır tabaka için geçerlidir. Düz plaka sınır tabakası için KİD: Düz plaka sınır tabakası için KİD:

178 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği KİD’in önemli bir eksiği vardır: KİD’i uygulayabilmek için sınır tabaka profilinin şeklinin bilinmesi (veya tahmin edilmesi) gereklidir. KİD’in önemli bir eksiği vardır: KİD’i uygulayabilmek için sınır tabaka profilinin şeklinin bilinmesi (veya tahmin edilmesi) gereklidir. Basınç gradyenli sınır tabakalarda sınır tabaka şekli x ile değişir ve bu da analizi daha karmaşık hale getirir. Basınç gradyenli sınır tabakalarda sınır tabaka şekli x ile değişir ve bu da analizi daha karmaşık hale getirir.

179 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Re L =0.1 ve sürünme akışı yaklaştırımı Re L =0.1 ve sürünme akışı yaklaştırımı Akış alanı önden arkaya hemen hemen simetriktir. Akış alanı önden arkaya hemen hemen simetriktir. Plaka sanki sonlu bir kalınlığa sahipmiş gibi akış plaka etrafında ıraksamaktadır Plaka sanki sonlu bir kalınlığa sahipmiş gibi akış plaka etrafında ıraksamaktadır –Bunun nedeni viskozite ve kaymama koşulundan kaynaklanan büyük yer değiştirme etkisidir. Plakanın etkisi, akışın geri kalan kısmı içerisine doğru tüm yönlerde plaka boyunun on katına kadar yayılır. Plakanın etkisi, akışın geri kalan kısmı içerisine doğru tüm yönlerde plaka boyunun on katına kadar yayılır.

180 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Re L =10 Re L =10 –Bu Reynolds sayısı sürünme akışı oluşturmayacak kadar yüksek, buna karşın sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmayacak kadar da çok düşüktür. Akım çizgileri büyük miktarda yer değiştirir. Akım çizgileri büyük miktarda yer değiştirir. Plaka önünde ve arkasında önemli y-hız bileşeni bulunur. Plaka önünde ve arkasında önemli y-hız bileşeni bulunur. Yerdeğiştirme etkisi şiddetli değildir ve akış önden arkaya simetrik olmaktan çıkmıştır. Yerdeğiştirme etkisi şiddetli değildir ve akış önden arkaya simetrik olmaktan çıkmıştır. Akışkan plakayı terk ederken ataletin etkisi akışkanın düz plaka arkasında büyüyen art izi içerisine doğru süpürülmektedir. Akışkan plakayı terk ederken ataletin etkisi akışkanın düz plaka arkasında büyüyen art izi içerisine doğru süpürülmektedir.

181 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Re L =1000 Re L =1000 Atalet etkileri akış alanının çoğu boyunca viskoz etkilere baskın olmaya başlamaktadır ve buna (oldukça kalın olsa da) sınır tabaka denilebilir. Atalet etkileri akış alanının çoğu boyunca viskoz etkilere baskın olmaya başlamaktadır ve buna (oldukça kalın olsa da) sınır tabaka denilebilir. Sınır tabaka kalınlığı plaka boyunun yaklaşık %15’idir. Sınır tabaka kalınlığı plaka boyunun yaklaşık %15’idir. Yerdeğiştirme etkileri büyük ölçüde azalmış ve herhangi bir izin önden arkaya simetrisi kalmamıştır. Yerdeğiştirme etkileri büyük ölçüde azalmış ve herhangi bir izin önden arkaya simetrisi kalmamıştır.

182 Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniği Re L = Re L = Bu yüksek Reynolds sayısında sınır tabaka yaklaştırımı uygundur. Bu yüksek Reynolds sayısında sınır tabaka yaklaştırımı uygundur. Dış akış üzerinde kayda değer bir etkiye sahip olmayan son derece ince bir sınır tabakadır. Dış akış üzerinde kayda değer bir etkiye sahip olmayan son derece ince bir sınır tabakadır. Akım çizgileri hemen hemen her yerde paraleldir ve plaka arkasındaki art izi bölgesini görmek için yakından bakmak gerekir. Akım çizgileri hemen hemen her yerde paraleldir ve plaka arkasındaki art izi bölgesini görmek için yakından bakmak gerekir. Art izi içerisindeki akım çizgileri, akışın öteki kısımlarına kıyasla birbirlerinden hafifçe daha uzaktır. Bunun nedeni art izi bölgesinde hızın serbest akım hızından oldukça düşük olmasıdır. Art izi içerisindeki akım çizgileri, akışın öteki kısımlarına kıyasla birbirlerinden hafifçe daha uzaktır. Bunun nedeni art izi bölgesinde hızın serbest akım hızından oldukça düşük olmasıdır. Çok ince bir sınır tabaka içerisinde, yerdeğiştirme kalınlığı çok küçük olduğundan y-hız bileşeni ihmal edilebilir. Çok ince bir sınır tabaka içerisinde, yerdeğiştirme kalınlığı çok küçük olduğundan y-hız bileşeni ihmal edilebilir.


"10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları