Analitik olmayan ortalamalar

... konulu sunumlar: "Analitik olmayan ortalamalar"— Sunum transkripti:

1 Analitik olmayan ortalamalar
Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar. 1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

2 Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 6 7 Yağışlı gün sayısı Ay sayısı 3 2 4 5 7 6 9 Mod = 5gün Mod= 6 gün

3 Gruplanmış seride modun hesaplanması
Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l1: mod sınıfının alt sınırı 1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı, 2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

4 Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün) Öğrenci sayısı 0 – 0,5 30 l1 = 1 0,5 – 1 50 1 = 100 – 50 = 50 1 – 1,5 100 Mod sınıfı 1,5 – 2 70 2 = 100 – 70 = 30 2 – 2,5 20 s = 0,5

5 Üretim süresi Parça sayısı (fi) mi fimi 5-9 4 7 28 0,571 49 196 9-13
Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52) b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03) d) Kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Üretim süresi Parça sayısı (fi) mi fimi 5-9 4 7 28 0,571 49 196 9-13 10 11 110 0,909 121 1210 13-17 15 105 0,467 225 1575 17-21 19 76 0,211 361 1444 21-25 2 23 46 0,087 529 1058 Toplam 27 365 2,245 5483

6 Modun Grafikle Gösterilmesi
modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

7 Modun özellikleri Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

8 2. Medyan (Ortanca) Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer Medyan = 20,5 olur.

9 Medyanın serideki sırası
Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. Çözüm: Medyanın serideki sırası Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı 10 2 10 ve daha az 12 3 12 ve daha az 5 15 4 15 ve daha az 9 16 6 16 ve daha az 18 18 ve daha az 25 20 21 Toplam (N) 36

10 Gruplanmış seride medyanın hesaplanması
Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. l1 : Medyan sınıfının alt sınırı Nm : Medyan sınıfının frekansı Sm : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

11 Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. sıradaki değer medyandır. Bu değer sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Saat ücreti (Bin TL) İşçi sayısı 500 – 600 10 600 den az l1=700 600 – 700 50 700 den az 60 N/2=150/2=75 700 – 800Medyan sınıfı 40 800 den az 100 Ni= 60 800 – 1000 30 Nm=40 1000 – 1500 20 Sm= = 100 Toplam 150

12 Medyanın grafikle belirlenmesi
Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir. Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımı Ters kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL) fi 500 den az 500 den çok 150 600 den az 10 600 den çok 140 700 den az 60 700 den çok 90 800 den az 100 800 den çok 50 1000 den az 130 1000 den çok 20 1500 den az 1500 den çok

13 Medyanın grafikle gösterilmesi

14 Medyanın özellikleri 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır. Xi-medyan  minimum 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

15 Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler
1- Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur. X = medyan = mod 2- Sağa çarpık serilerde 3- Sola çarpık seride 4- Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.

16 3. Kartil(Q), Desil(D) ve Santiller(C)
Bir serinin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralandığında, seriyi dört eşit parçaya bölen değerlere kartil, on eşit parçaya bölen değerlere desil, yüz eşit parçaya bölen değerlere santil adı verilir. 2.kartil, 5.desile ve 50.santile eşit olup, bu değer seriyi iki eşit parçaya bölen medyana eşittir. Basit ve tasnif edilmiş seride kartil, desil ve santilin hesaplanması Basit ve tasnif edilmiş serilerde kartil, desil ve santilin sıra değerleri formülü ile bulunur. N: Serinin toplam gözlem sayısı h: Q, D veya C nin derecesi r: Bölen değer olup, Q için 4, D için 10, C için 100 değerini alır. Q, D, C nin serideki değeri saymak suretiyle bulunur. Eğer bu değer kesirli ise Q, D, C iki sayının arasına düşer.

17 Örnek: Xi:5,8,9,12,18,22,23,28,32,45,54,67,71,75,84 seri değerleri verilmiştir. Bu verilerden hareketle; a)Q1’i (1.kartili) b)D8’i (8.desili) c)C38’i (38.santili) bulunuz. Çözüm a) N= Q1’in sıra değeri 4. sıradaki değer 12 olduğundan Q1 =12 olur. b) D8’in sıra değeri : olup D8 değeri; olur. D8=70,2 c) C38’in sıra değeri olur. bulunur. C38=22,08

18 Gruplanmış seride kartil, desil ve santillerin hesaplanması
Gruplanmış serilerde önce ile Q, D veya C’nin ait olduğu sınıf bulunur. Bu sınıf içerisinde değerlerin eşit aralıklarda dağıldıkları kabulüne göre medyanın hesaplanmasında kullanılan formül tatbik edilir. l1: Q,D veya C sınıfı alt sınırı : Q,D veya C’nin sıra değeri : Q,D veya C sınıfından önceki frekanslar toplamı NQ,D,C : Q,D veya C sınıfının frekansı SQ,D,C : Q,D veya C sınıfının sınıf aralığı

19 Örnek Bir lisede ÖSYS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre; a) Q3 ü b) D2’yi c) C65’i bulunuz d) Puanı en düşük olan 29. Öğrencinin puanını tahmin ediniz e) Puanı en fazla olan 32. Öğrencinin puanını f) 273’den az puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz. g) 287’den fazla puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz h) En yüksek puana sahip %28’lik öğrenci grubunun en düşük puanını tahmin ediniz. Puanlar Öğrenci sayısı Küm. Frekans fi 180 – 220 20 220 – 240 30 50 240 – 260 40 90 260 – 290 25 115 290 – 350 135

20 Çözüm a) Q3 ün sıra değeri olup bu değer – 290 sınıfındadır. b) D2 değeri sıradaki değer olup, bu değer sınıfındadır. e) Puanı en fazla olan 32. öğrenci; puanı en az olan =104. öğrenci demektir. O halde olup bu değer 260 – 290 sınıfındadır. Puanı en fazla olan 32.öğrencinin puanı=

21 Örnek: Bir doğum evinde yapılan 7 günlük gözlemde doğan çocuk sayıları aşağıda verilmiştir.
Gol sayısı 5 7 9 10 11 13 Doğum evinde günlük doğan çocuk sayısının a) Aritmetik b) Geometrik c) Harmonik d) Kareli ort. d) Mod f) Medyanı bulunuz.

22 Örnek: Bir X malının piyasadaki fiyatı üzerine yapılan araştırmada aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Malın fiyatının a) Aritmetik f) Medyanını b) Geometrik g) 1. Kartilini c) Harmonik h) 8. desilini d) Kareli ort. ı) 43. santilini e) Modunu j) Fiyatı en düşük olan %36 lık grubun en yüksek fiyat düzeyini tahmin ediniz Malın fiyatı Satıcı sayısı 20 – 22 3 22 – 24 5 24 – 26 9 26 – 28 6 28 – 30 1

23 Örnek: Basit bir seri için aşağıda bazı veriler verilmiştir
Örnek: Basit bir seri için aşağıda bazı veriler verilmiştir. Bu verilerden hareketle; a) Gözlem sayısını b) Aritmetik ortalamayı c) Harmonik ortalamayı d) Medyanı tahmin ediniz. e) Geometrik ortalaması en az ve en fazla ne olur? f) Medyan serideki kaçıncı elemandır? g) Serinin asimetrisi hakkında ne söyleyebilirsiniz?

24 Örnek: Simetrik bir seride medyan=12 ∑Xi=132,
∑Xi2=1859, ∑1/Xi=1,06 olarak verilmiştir. a) Gözlem sayısını bulunuz, b) Serinin modunu bulunuz, c) Kareli ortalamayı bulunuz, d) Harmonik ortalamayı bulunuz, e) Serinin 5. desilini bulunuz, f) Serinin geometrik ortalaması en az ne olur.

25 Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs A 10 15 18 20 8 71 B 12 16 25 75 C 24 22
Örnek: Bir işletmede bulunan 4 tezgahın 5 aylık üretim miktarları ile ilgili veriler aşağıda sunulmuştur. Yukarıdaki tabloyu analiz ediniz ( Üretim in tezgahlara ve aylara göre yüzde dağılımı, aylara göre üretimin değişimi vs.) Tezgahlar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Toplam A 10 15 18 20 8 71 B 12 16 25 75 C 24 22 14 92 D 23 13 6 62 50 60 70 80 40 300

26 KAYNAKLAR 1. Yüksel, İ., ‘İstatistik ve Olasılık Ders Notları’, 2011.