BİR BOYUTLU SCHRÖDİNGER DENKLEMİ

... konulu sunumlar: "BİR BOYUTLU SCHRÖDİNGER DENKLEMİ"— Sunum transkripti:

1 BİR BOYUTLU SCHRÖDİNGER DENKLEMİ

2 Klasik mekanikte parçacığın hareket durumu, parçacığın konum ve hızı ile belirlenir, kuantum mekaniğinde ise hareket durumu dalga fonksiyonu ile belirlenir. Her iki mekaniktede parçacığın durumunun zamanla nasıl değişeceği hareket denklemleriyle verilir.

3 Kuantum Mekaniği Hareket Denklemi
Klasik Mekanik Hareket Denklemi Newton'un 2. yasası F=ma dır Burada t=0 anında parçacığın konum ve hızı biliniyorsa daha sonraki zamanlardaki konum ve hızı Newton'un yasasıyla bulunur. Kuantum Mekaniği Hareket Denklemi Schrödinger denklemi olarak adlandırılır. Dalga fonksiyonu t=0 anında biliniyorsa denklem çözülerek diğer zamanlardaki dalga fonksiyonu bulunur.

4 Kuantum sistemlerinde toplam enerjisi sabit olan sistemler için dalga fonksiyonu bir kararlı dalga (iki ucu sabit bir teldeki dalgalar gibi ) yapısında olur.

5 Kararlı Dalga Dalga mekaniğine göre, belirli bir enerji seviyesinde bulunan elektron “kararlı dalga” gibi kabul edilebilir. Çekirdeğin etrafında sadece belirli dalgalar mevcut olabilir. Bunlara kararlı dalga veya duran dalga adı verilir. Her kararlı dalga belirli bir enerji seviyesine sahiptir. Schrödinger H atomundaki elektronun enerjisini hesaplamak için kararlı dalgaları kullanmış ve bir eşitlik geliştirmiştir.

6 Bir atomik düzende kararlı elektron dalgaları
Düğümler Bir atomik düzende kararlı elektron dalgaları  Kararlı dalga, gitar teli gibi, dalganın ilerlemediği bir harekettir Karalı dalga düğüm noktaları içerir ve bu noktalarda hareket etmez. Dalga boyunun tam veya yarım katları kararlı dalgalara karşılık gelir.  = genlik, dalga yüksekliğİ

7 Bu dalgalarda göze çarpan en önemli özellik dalganın sağa ve sola ilerlememesidir.
Düğüm noktası denilen ve sinkx=0 olan sabit noktalarda ψ(x,t) her zaman sıfır ve tel durgun olmaktadır. Diğer noktalarda tel yukarı-aşağı yönlerde coswt şeklinde titreşim yapıp, genliği her x noktasında Asinkx olmaktadır. Böylece ilerleyen iki dalganın toplamını alarak bir kararlı dalga oluşturmuş oluruz.

8

9 Buradan şu önemli sonuç çırarılır; a uzunluktaki bir telde oluşan kararlı dalgaların dalga boyları 2a nın bir tam sayıya bölündüğü tüm değerleri alabilir; yani kuantalanmıştır. Sistemin sınırlarında belirtilen bu koşula sınır koşulu denir.

10 De Broglie , Bohr’un öngördüğü belirlili yörüngelerin kararlı dalga şartlarını sağlayan yörüngeler olduğunu ileri sürmüştür Birinci harmon Birinci harmonik İkinci harmonik Üçüncü harmonik

11 Kararlı Kuantum Dalgası; Kararlı Durumlar
En genel dalga fonksiyonu Uzay fonksiyonu bir sinüs fonksiyonudur. Herhangi bir t anında ψ(x,t) dalga fonksiyonu ψ(x) ve cosωt çarpımına eşittir.

12 En genel sinüsel kararlı dalga ifadesi
Kuantum mekaniğinde ise ψ(x,t) komplex olabilir, hatta dalganın zamana bağımlı kısmı daima komplextir. Klasik dalgalar için ψ(x,t) reel bir sayıdır.

13 Kuantum mekaniği kararlı dalgası
Euler formülünü kullandığımızda Komplex sayının mutlak değeri Komplex sayısının mutlak değeri şu şekilde bulunuyordu.

14 Özdeşliği karmaşık sayılar diyagramında da gösterebiliriz
cos(-ϴ)=cosϴ sin(-ϴ)=-sinϴ Bir başka ifadeyle dalga fonksiyonu

15 de Broglie bağıntısına göre, enerjisi belli olan bir kuantum sisteminin dalga fonksiyonu
dalga fonksiyonu yapısındadır. gibi bir kuantum dalga fonksiyonuna bağlı olarak tanımlanan olasılık yoğunluğu mutlak değerin karesidir. Olasılık yoğunluğu

16 Kararlı kuantum dalgası için olasılık yoğunluğu zamandan bağımsızdır.

17 Kuyu İçindeki Parçacık
Tek boyuklu kuyuyu tanımlamak için x ekseni üzerinde sonlu bir aralığın dışına çıkamayan, fakat bu aralıkta serbestçe hareket edebilen bir parçacık gözönüne alalım. Bu durum tek boyutlu kuyu olarak bilinir.

18 Kuyu İçindeki Parçacık
Klasik Mekanikte; Bir ip üzerinde iki düğüm arasında sürtünmesiz kayabilen bir bilezik düşünebiliriz. Bilezik düğümler arasında serbestçe hareket edebilir ama düğüm dışına çıkamaz. Kuantum Mekaniğinde; İnce bir iletkenken çubuk içinde bir elektron düşünebiliriz. Elektron çubuk içinde serbesttir ama dışarı çıkamaz.

19 Tek boyutlu kuyu için parçacığın alabileceği enerji değerleri eşitlikle bulunur.

20 Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi
Tek doğrultuda (x) hareket eden (1D), kütlesi m olan bir taneciğin enerjisi Hamiltonian operatörü Toplam enerji özdeğeri E = taneciğin özdeğer (eigenvalue) enerjisi Ψ = özfonksiyonlar (eigenfunction) m = kütle x = konum Ћ ( h-bar) = h/2π

21 Schrödinger in Dalga Eşitliği
kinetik enerji potansiyel enerji

22 Potansiyel Kutusu

23

24

25 Kare Kuyu

26 Kare kuyu ve bununla aynı genişlikteki sonsuz kuyuda en düşük üç enerji düzeyi ve dalga fonksiyonları

27

28 Kuantum Mekaniği 1.Varsayım: Bir fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumu (x,t) dalga fonksiyonu ile belirlenir. İlerleyen dalgaya bir dalga fonksiyonu eşlik eder. (x,t) = yer ve zamanın fonksiyonu olarak dalganın genliği

29  ışık ile mukayese edildiğinde, mutlak değerinin karesi 2, tanecik
sayısı veya benzeri bir şey olmalıdır. Uzayda bir yerde fotonların bulunma olasılığı E2 ile orantılıdır. Uzayda bir yerde taneciklerin bulunma olasılığı 2 ile orantılıdır. ||2 = * bir taneciğin belirli bir yerde bulunma olasılığığı Karalı dalga Tanecik (elektron) 2(xyz)  elektronun (x,y,z) de bulunma olasılığı 2(xyz), her zaman pozitiftir,  negatif olsada

30  (psi), ışık ile mukayese edilebilir;
Işık dalga gibi düşünülürse, ışık şiddeti elektrik alan şiddetinin karesi ile orantılıdır. Işık bir tanecik akımı gibi düşünülürse, ışık şiddeti foton sayısı ile orantılıdır. Foton sayısı ve alan şiddetinin karesi birbiri ile orantılıdır

31 nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar…
 nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar… 1.  dalga fonksiyonu tek değerli olmalıdır. Uzayın herhangi bir noktasında bir elektron için iki olasılık mevcut olmaz. 2.  dalga fonksiyonu ve onun birinci türevi sürekli olmalıdır. Uzayın tüm noktalarında olasılık tanımlı olmalıdır ve bir noktadan diğerine geçişte âni bir şekilde değişemez. 3. r sonsuza giderken  dalga fonksiyonu sıfıra yaklaşmalıdır. Çekirdekten uzak mesafelerde, olasılık gittikçe küçülmelidir.

32 4. Uzayın herhangi bir yerinde elektronun toplam bulunma olasılığı 1 dir.
Buna dalga fonksiyonunun normalizasyon şartı denir.  . * d = 1 tüm uzay 5. Bir atomdaki tüm orbitaller birbirleriyle ortogonal olmalıdır. ∫A.B d =0 Örneğin, px, py pz orbitalleri birbirine diktir.

33 Harmonik Salınıcı* Bir boyutta bağlı parçacığa ikinci bir örnek olarak basit harmonik salınıcıyı verebiliriz. Gerek klasik ve gerek kuantum mekaniğinde basit harmonik salınıcı Hooke yasasına uyan bir kuvvetin etkisiyle denge konumu etrafında hareket eden parçacıktır.

34 Rezonans: rezonans mühendislikte teorik olarak; “genliğin sonsuza gitmesi” şeklinde açıklanır. Periyodik bir etkinin altında olan sistemde salınımlar olduğunu biliriz. Salınımlar esnasında sistemin normal durumuna göre yaptığı yer değiştirme miktarına genlik denir. Genliğin sonsuza gitmesi sonucu rezonans oluşur Bu salınımlar eğer sistemin doğal frekansına eşit olursa, sistemin genliği sonsuza dek artma eğilimi gösterir; bu olaya rezonans denir. Genliğin sonsuza gitmesiyle yıkıcı sonuçlar oluşabilir.

35 Örneğin; 1940 yılında ABD'nin Washington eyaletinde yapılmış olan Tacoma Asma Köprüsü'nün ulaşıma açıldıktan birkaç ay sonra rüzgarın etkisiyle yıkılması rezonansın varlığını işaret eder. O zamana kadar sistemlerde rezonans olayı hesaplaması bilinmediğinden bu Tacoma olayından sonra daha çok dikkat edildi.Askerler köprülerden geçerken uygunadımda yürümezler; çünkü adımların oluşturacağı frekansla köprünün doğal frekansının çakışarak rezonans olayının meydana gelmemesi içindir.

36

37 Schrödinger'in Kedisi Deneyde kapalı bir kutunun içinde bir düzenek ve başlangıçta canlı olan bir kedi vardır.(Kutunun içinin hiçbir şekilde gözlenmemesi çok önemlidir)Düzeneğin içeriği Şöyledir:Bozunma olasılığı %50 olan bir parçacık, bu parçacığın bozunmasıyla ortama yayılcak olan zehirli gazdır.

38

39 BURSA TEKNİK ÜNİVERSİTESİ METALURJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ