2.HAFTA İÇERİK YER ÖLÇÜLERİ Aritmetik Ortalama Tartılı Ortalama

... konulu sunumlar: "2.HAFTA İÇERİK YER ÖLÇÜLERİ Aritmetik Ortalama Tartılı Ortalama"— Sunum transkripti:

1 2.HAFTA İÇERİK YER ÖLÇÜLERİ Aritmetik Ortalama Tartılı Ortalama
Geometrik Ortalama Harmonik Ortalama Kareli Ortalama Medyan Mod   

2 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama ham verilerden elde edilebileceği gibi sınıflanmış verilerden de hesaplanabilir. Genel formülü aşağıdaki gibidir: k tane sınıf sayısı için, her bir sınıf değeri ve onun frekansının çarpımının toplamının, toplam frekans değerine bölünmesi ile elde edilir. Sınıflandırılmamış Veriler için Sınıflandırılmış Veriler için

3 Aritmetik Ortalama SINIFLAR SINIF LİMİTLERİ FREKANS (fj)
FREKANS (fj) SINIF DEĞERİ (xj) fjxj ALT ÜST 1 12 22 5 17 85 2 23 33 28 3 34 44 7 39 273 4 45 55 29 50 1450 56 66 61 732 6 67 77 8 72 576 78 88 11 83 913 89 99 94 188 TOPLAM () 75 - 4245

4 Aritmetik Ortalama Hassas bir ortalama olduğu için aşırı gözlem değerlerinden etkilenir. Aritmetik ortalama değerini toplam gözlem sayısı ile çarparsak, gözlem değerlerinin toplamı elde edilir. Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır. Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerin toplamı minimumdur.

5 Tartılı Ortalama Gözlemler farklı değerleri temsil ettiklerinde tartılı ortalama kullanılır.

6 Tartılı Ortalama DERS ADI KREDİSİ(t) GEÇME NOTU (x) TARTI (tx) TÜRKÇE
5 4 20 MATEMATİK FEN VE TEKNOLOJİ 3 12 SOSYAL BİLGİLER YABANCI DİL DİN KÜLTÜRÜ VE AHLAK BİLGİSİ 2 6 GÖRSEL SANATLAR 1 MÜZİK BEDEN EĞİTİMİ TEKNOLOJİ VE TASARIM 10 TOPLAM 27 43 114 ARİTMETİK ORTALAMA 4,3 TARTILI ORTALAMA 4, Bir ilköğretim öğrencisinin kredileri farklı 10 tane derse ait notları tabloda yer almaktadır. Kredilerin farklılığı nedeniyle aritmetik ortalama yanlı sonuç vereceğinden tartılı ortalamaya başvurulur.

7 Geometrik Ortalama Sınıflandırılmamış Veriler için
Sınıflandırılmış Veriler için N tane gözlem değerinin çarpımının n dereceden köküne eşittir. Çarpım söz konusu olduğu için, büyüyen değerler ve kök derecesi nedeniyle, hesaplamalarda kolaylık olması açısından logaritma tekniğinden faydalanır. Gözlemlerdeki anormal değerlere karşı aritmetik ortalamaya göre daha az hassas olduğundan dolayı daha güvenilir sonuçlar verir.

8 Geometrik Ortalama G=Antilog(1,536493)= 34,395 TL. elde edilir
Ders saati ücreti(x) öğretmen sayısı(f) logx flogx 10 6 1 40 7 1, 11,21442 80 5 1, 9,51545 100 2 4 TOPLAM 20 30,72987 Farklı ders saati ücretleri alan 20 öğretmenin çalıştığı bir özel okulda 6 öğretmenin ders saati ücretinin 10 TL., 7 öğretmenin 40 TL., 5 öğretmenin 80 TL., 2 öğretmenin de 100 TL. aldığı tespit edilmiştir. Bu ders saati ücretlerinin geometrik ortalamasını hesaplamak istiyoruz. Eğer aritmetik ortalama alınmış olsaydı 47 TL. lik bir ortalama ders saati ücreti elde edilecekti. G=Antilog(1,536493)= 34,395 TL. elde edilir

9 Harmonik Ortalama Sınıflandırılmamış Veriler için Sınıflandırılmış
Harmonik ortalama, gözlemlerin tersinin aritmetik ortalamasının tersidir. Pek fazla pratikte kullanılmaz. Bu nedenle sadece formüllerini vermekle yetineceğim.

10 Kareli Ortalama Sınıflandırılmamış Veriler için Sınıflandırılmış
Eğer gözlem değerlerinde negatif değerler söz konusu ise başvurulan bir ortalamadır. Ayrıca standart sapmanın kısa hesaplanışında da kareli ortalamadan faydalanılır. Gözlem değerlerinin karelerinin toplamının toplam gözlem sayısına bölümünün kareköküdür.

11 Kareli Ortalama SINIFLAR FREKANS (f) SINIF DEĞERİ (x) X2 Fx2 1 5 17
289 1445 2 28 784 3 7 39 1521 10647 4 29 50 2500 72500 12 61 3721 44652 6 8 72 5184 41472 11 83 6889 75779 94 8836 17672 TOPLAM 75 264951

12 Medyan Sınıflandırılmamış Veriler için Sınıflandırılmış Veriler için
Orta değer olarak da bilinir. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış olan verilerin ortada kalan gözlem değeridir. Bir başka deyişle gözlemsel değerlerinin yarısı medyan değerinden küçük diğer yarısı da büyüktür. Medyan belirlenirken öncelikle gözlem sayısına bakmak gerekir. Tek ya da çift gözlem sayısı durumuna göre medyan aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir: yukarıdaki formülde, bs; medyanın yer aldığı sınıfın alt sınıf sınırını, n; toplam gözlem sayısını, Fm-1 ; medyanın yer aldığı sınıftan bir önceki sınıfın den daha az yığmalı frekansını, fm ; medyanın yer aldığı sınıfın frekansını ve c ise sınıf aralığını temsil etmektedir. Sınıflandırılmış Veriler için

13 Medyan SINIF SINIF LİMİTLERİ SINIF SINIRLARI FREKANS (f) SINIRLARI F
SINIF SINIRLARI FREKANS (f) SINIRLARI F ALT ÜST ALT SS ÜST SS 11,5 1 12 22 22,5 5 2 23 33 33,5 6 3 34 44 44,5 7 13 4 45 55 55,5 29 42 56 66 66,5 54 67 77 77,5 8 62 78 88 88,5 11 73 89 99 99,5 75 F ile gösterilen sütun, kümülatif frekans sütunudur. Bu sütuna göre medyan sınıfı, tam ortada kalan 4.sütundur. Medyan, aritmetik ortalamanın sağlıksız çalıştığı durumlarda kullanılır. Çünkü anormal gözlem değerlerinden etkilenmez. bs; medyanın yer aldığı sınıfın alt sınıf sınırını(44,5), n; toplam gözlem sayısını (75), Fm-1 ; medyanın yer aldığı sınıftan bir önceki sınıfın den daha az yığmalı frekansını(13), fm ; medyanın yer aldığı sınıfın frekansını(29) ve c ise sınıf aralığını(11) temsil etmektedir.

14 Mod En fazla tekrar eden gözlem değeridir.
ÖRNEK1={2,3,4,5,6,5,6,5,6,6,7,8} için mod=6 dır. Gözlem değerlerine göre tek mod, iki mod ya da çok modluluk söz konusu olabilir. Ancak gözlem kümesindeki birbirinden farklı tüm değerler aynı sayıda tekrarlanıyorsa mod yoktur. ÖRNEK2={2,3,4,5,6,5,6,5,6,6,7,5} için mod1=6 ve mod2=5 dir. ÖRNEK3={7,7,7,5,6,5,6,5,6,6,7,5} için mod yoktur.

15 Mod SINIF SINIF LİMİTLERİ SINIF SINIRLARI FREKANS (f) ALT ÜST ALT SS
SINIF SINIRLARI FREKANS (f) ALT ÜST ALT SS ÜST SS 1 12 22 11,5 22,5 5 2 23 33 33,5 3 34 44 44,5 7 4 45 55 55,5 29 56 66 66,5 6 67 77 77,5 8 78 88 88,5 11 89 99 99,5 Eğer veriler sınıflandırılmış ise bu durumda mod şu formülle hesaplanabilir Buradaki bs değeri modun yer aldığı sınıfın altsınıf sınırını(44,5), 1;mod sınıfı ile bir önceki sınıfın frekansları farkı(29-7=22), 2; mod sınıfı ile bir sonraki sınıfın frekansları farkı(29-12=17) ve c de sınıf aralığını(11) belirtmektedir.

16 Kaynaklar 1.M.,Akar, S.Şahinler, İstatistik, Ç.Ü.Ziraat Fakültesi ,Genel Yayın no:74,Adana,1997. 2. F.,İkiz, H.Püskülcü, Ş.Eren,İstatistiğe Giriş, EÜ Basımevi,İzmir,1996. 3. Ö.,Serper, Uygulamalı İstatistik, Ezgi Kitapevi, Bursa, 2000. 4. Y.,Özkan, Uygulamalı İstatistik I, Alfa Yayınları, İstranbul,1999. 5.N.,Çömlekçi,İstatistik,Bilim Teknik Yayınevi, Eskişehir,1984.