Sunuyu indir
Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz
1
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
DERS:3 DOĞRUSAL MODELLER ve MATRİS CEBRİ Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Piyasa ve ulusal gelir modellerine ilişkin denge çözümleri, İşle 144 dersinde işlediğimiz doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak da çözülebilir. Bu dersimizde doğrusal denklemlerle ifade edilebilen modellerin denge çözümlerinin doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak çözümünü göreceğiz. Bu nedenle İşle 144 dersinde gördüğümüz matrisler ve doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri konularını kısaca hatırlayalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Şeklinde m tane satırı n tane sütunu olan dikdörtgen biçiminde tabloya m×n tipinde bir matris diyoruz ve kısaca şeklinde gösteriyoruz. olarak tanımlanır. Yine olarak tanımlanır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
4
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
olarak tanımlanır. Örnek 1: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
kare matrisine birim matris denir. Örnek 2: Bir A kare matrisinin tersi olarak tanımlanır. Örnek 3: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
7
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
şeklinde n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluşan denklem sistemine doğrusal denklem sistemi demiştik. İşle 144 dersinde böyle bir denklem sisteminin çözüm yöntemlerini detaylı bir şekilde görmüş ve satır işlemlerini kullanarak en genel çözüm yöntemi olarak Gauss Jordan Yoketme Yöntemini elde etmiştik. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
8
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bu denklem sisteminden yazılan matrisine katsayılar matrisi sütun matrislerine sıra ile bilinmeyenler matrisi ve sağ taraf sabitleri matrisi demiştik. Yukarıdaki denklem sistemimiz bir matris denklemi olarak şeklinde yazılabilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
9
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit ise katsayılar matrisi bir karesel matristir. Bu tip denklem sistemlerinin çözümleri için Cramer ve Ters Matris Yöntemlerini öğrenmiştik. Bu durumda olur. Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit ise denklem sisteminin bir çözümünün olabilmesi için A matrisi tekil bir matris olmamalıdır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
10
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir kare matrisin satırları ya da sütunları, aralarında doğrusal (lineer) bağımlı iseler bu matris bir tekil matristir. Katsayılar matrisi tekil olan doğrusal denklem sistemlerinin biricik çözümü yoktur. Bu dersimizde katsayılar matrisi tekil olmayan yani tek çözümü olan denklem sistemleri ile ilgileneceğiz. Bir matriste aralarında doğrusal bağımsız olan satır sayısı r ise r ye bu matrisin rankı denir. Örnek 4: dır. O halde bu karesel matris bir tekil matristir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
11
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bir matrisin rankı o matris indirgenmiş matris şekline getirilerek bulunur. Bir matriste elemanlarının hepsi sıfır olamayan satır sayısı O matrisin rankını verir. rankA=2 dir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
12
Matrislerin İşletme Problemlerinin çözümünde Kullanılması
Örnek: Bir işletme A,B,C gibi üç ayrı mamulün üretiminde kullanılan üç farklı makineyi kıyaslayarak en çok karı sağlayacak makineyi tercih etmek istiyor. Üç mamulden elde edilen karlar sıra ile 300TL, 500TL, 400TL dir. Makinelerin mamullere göre üretim kapasitesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. En çok kar elde edebilmek için üretimin hangi makinede yapılması uygundur? A B C 1. Makine 3 1 2 2. Makine 3. Makine 4 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
13
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm : Karları K sütün matrisi ile, makinelerin üretim kapasitelerini M matrisi ile gösterelim. Buna göre her bir makinenin üretiminden elde edilecek kar miktarları sıra ile olur. En çok kar 3. makineden elde edilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
14
Örnek: Bir işletme satın alacağı x,y,z gibi üç çeşit hammadde için dört ayrı firmadan teklif almıştır. Birinci firma x hammaddesi için 110TL, y hammaddesi için 150TL, z hammaddesi için 140TL fiyat vermiştir. İkinci firma x hammaddesi için 130TL, y hammaddesi için 135TL, z hammaddesi için 160TL fiyat vermiştir. Üçüncü firma x hammaddesi için 120TL, y hammaddesi için 110TL, z hammaddesi için 140TL fiyat vermiştir. Dördüncü firma x hammaddesi için 125TL, y hammaddesi için 120TL, z hammaddesi için 150TL fiyat vermiştir. Söz konusu işletme x hammaddesinden 100br, y hammaddesinden 125br, z hammaddesinden 90br satın alacaktır. Mallar en düşük fiyat veren firmadan alınacağına göre mallar hangi firmadan alınacaktır?
15
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: Problemimizin çözümü için sıra ile verilen teklifleri ve satın alınacak miktarları matris formunda yazalım. Bu sonuca göre mallar üçüncü firmadan satın alınacaktır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
16
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Bir işletme ürettiği üç tür mamulün altı aylık satış tahminine göre hammadde stoklarını belirlemek istiyor. Her birim mamulün üretimi için gerekli hammadde miktarları ile altı aylık tahmini satış miktarları aşağıda tablolar şeklinde verilmiştir. hm1 hm2 hm3 1.ü 3 1 2 2.ü 4 3.ü 1.ay 2.ay 3.ay 4.ay 5.ay 6.ay 1.ü 85 90 80 100 95 2.ü 220 3.ü 60 70 75 65 Her ay hangi hammaddeden ne kadar stok yapılması gerektiğini bulunuz Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
17
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: Mamuller için gerekli olan hammadde miktarlarını gösteren matris; Aylara göre tahmini satış miktarlarını gösteren matris; Aylara göre stok miktarları Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
18
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: Bir işletme G1, G2, G3, G4 gibi dört tip gömlek üretmektedir. Dört aylık bir dönem için üretmeyi planladığı gömlek sayıları aşağıdaki A matrisinde sıra ile, gömleklerin fiyatları da B matrisinde sıra ile verilmiştir. Dönem sonunda gömleklerin tamamının satılması durumunda firmanın elde edeceği geliri hesaplayınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
19
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Şimdi doğrusal denklemlerle ifade edilebilen modellerin denge çözümlerini doğrusal denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri kullanılarak bulacağız. Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin gauss Jordan Yoketme Yöntemi ile çözümü Kısmi-piyasa denge modelinde tek çeşit mal söz konusu olduğundan birinci dersimizde gördüğümüz gibi modelimiz Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
20
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Denge durumunda olduğundan yukarıdaki doğrusal denklemlerde alabiliriz. O zaman denge denklemlerimiz olur. Burada bulunması gereken içsel değişkenler olan P ve Q dur. Bu denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazarsak olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
21
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Bir malın fiyat talep ve fiyat arz denklemleri , şeklinde verilmiştir. Denge fiyatını ve denge miktarını Gauss Jordan Yoketme Yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
22
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
23
Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin Cramer Yöntemi ile çözümü
Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olur. Buradan olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
24
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bu matris denkleminde dır. Cramer Yönteminde değişkenleri ile gösterirsek olduğunu hatırlayınız. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
25
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
bulunur. Örnek: Bir malın fiyat talep ve fiyat arz denklemleri sıra ile şeklinde verilmiştir.Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
26
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
27
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Bir malın talep-fiyat ve arz-fiyat denklemleri sıra ile şeklindedir. Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
28
Bir ürünün fiyatı 8 TL iken 45 adet satılmıştır
Bir ürünün fiyatı 8 TL iken 45 adet satılmıştır. Fiyat 16 TL ye düşürüldüğünde ise 40 adet satılmıştır. Fiyatı 12 TL olduğunda 5 adet üretilmiştir. Fiyatı 19 TL olduğunda ise 10 adet üretilmiştir. Örnek: a) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerini yazınız. b) Denge fiyatını ve denge miktarını Cramer Yöntemi ile bulunuz. c) Ürünün serbest ürün olması durumunda alınabilecek maksimum miktarı ve satılabileceği maksimum fiyatı, üretime başlanması için gerekli en düşün fiyatı ve talebin bitmesi (0 olması) durumundaki fiyatı bulunuz. d) Talep-fiyat ve arz-fiyat denklemlerinin grafiklerini çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde gösteriniz.
31
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
İki Mallı Piyasa Modelinin Cramer Yöntemi ile çözümü Birbiriyle ilişkili olduğunu kabul ettiğimiz iki mallı bir piyasa modelinde her iki malın arz ve talep fonksiyonunun parametreler cinsinden aşağıdaki gibi doğrusal fonksiyonlar olarak yazılabileceğini görmüştük. Bu modeli biçiminde yazmıştık. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
32
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Buradan Denklemimizdeki parametreleri daha kısa ve basit hale getirebilmek için diyelim. O zaman yukarıdaki denklem sistemi şeklini alır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
33
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bu denklem sisteminde, katsayılar matrisi değişkenler matrisi sağ taraf sabitleri matrisi dır. dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
34
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Cramer Yönteminde dır. Buna göre determinantlarını hesaplamalıyız. olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
35
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Buradan bulur. Aşağıda verilmiş olan iki mallı piyasa modelinin denge değerlerini Cramer Yöntemi ile bulunuz ve çözümünüzü grafik üzerinde gösteriniz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
36
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
37
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Kısmi Piyasa Dengesinde Doğrusal Modellerin Ters Matris Yöntemi ile çözümü Tek mallı piyasa modelimizde, Talep fonksiyonu Arz fonksiyonu Denge koşulu olsun. Denge durumunda olduğundan yukarıdaki doğrusal denklemlerde alabiliriz. O zaman denklemlerimiz olur. Burada bulunması gereken içsel değişkenler olan P ve Q dur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
38
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bu denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazarsak olur. Bu doğrusal denklem sistemini matris denklemi olarak şeklinde yazabiliriz. Ters Matris Yönteminde matris denkleminin çözümünün şeklinde olduğunu hatırlayınız. Yukarıdaki denklem sistemimizde dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
39
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Bir malın talep-fiyat ve arz-fiyat denklemleri sıra ile şeklinde verilmiştir. Malın denge fiyatını ve denge miktarını Ters Matris Yöntemi ile bulunuz. Denge durumunda olacağından doğrusal denklem sistemimizi şeklinde yazabiliriz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
40
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Gerçekten bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
41
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
42
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Aşağıda denklemleri verilen iki mallı bir piyasada denge fiyatlarını ve denge miktarlarını Ters Matris Yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Piyasada denge sağlandığında olacağından dır. Buradan Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
43
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
44
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
45
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: İkinci derste gördüğümüz basit ulusal gelir modelinin denge çözümlemesini Cramer Yöntemini ile yapalım. (a>0, 0<b<1) Y ulusal geliri, C tüketimi, yatırım ve kamu harcamalarını gösteriyor. Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
46
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
47
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Aşağıda verilen ulusal gelir piyasa modelinde Cramer Yöntemini kullanarak denge değerlerini belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
48
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
49
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
50
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Aşağıda verilmiş olan ulusal gelir modelinde Ters Matris Yöntemini kullanarak denge çözümlemesini yapınız. Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
51
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
olsun. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
52
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Gerçekten dır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
53
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Aşağıda verilmiş olan ulusal gelir modelinde verilen sayısal değerleri yerlerine yazınız ve Ters Matris Yöntemini kullanarak denge çözümlemesini yapınız. a>0, 0<b<1 d>0, 0<t<1 Y ulusal gelir, C tüketim, T vergiler içsel değişkenleri ve yatırım ve kamu harcamaları, t gelir vergisi oranı dışsal değişkenleri gösterir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
54
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm: Verilen denklemleri doğrusal denklem sistemi formunda yazalım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
55
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
56
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
57
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: denkleminin, (1-b)’nin marjinal tasarruf eğilimini, g’ nin yatırımın faiz haddine duyarlılığını, A’nın bütüncül bir dışsal değişkeni temsil ettiği bir denklem şeklinde tanımlandığını varsayalım. k ve l sıra ile para talebinin gelir ve faiz duyarlılıklarını göstermek üzere denkleminin de şeklinde tanımlandığını varsayalım. Burada olduğuna göre Y ve i içsel değişkenlerini Ters Matris Yöntemi ile belirleyiniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Benzer bir sunumlar
© 2024 SlidePlayer.biz.tr Inc.
All rights reserved.