DİFERANSİYEL DENKLEMLER

... konulu sunumlar: "DİFERANSİYEL DENKLEMLER"— Sunum transkripti:

1 DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Kaynaklar: Samim Dündar, İleri Matematik Ders Notları. Mehmet Sezer ve Ayşegül Daşçıoğlu (2014), Diferansiyel Denklemler 1, Dora Yayın. Steven Holzner (2008), Differential Equations for Dummies, Wiley Publishing. Richard Bronson (2003), Differential Equations, McGraw Hill.

2 Diferansiyel Denklem ve Çözümleri
Bir değişkenin diğer bir değişkene göre değişme oranına (hızına) türev; bağımlı değişken, bağımsız değişken ve türevleri arasındaki bir bağıntıya da diferansiyel denklem denir. Adi Diferansiyel Denklem: Bir diferansiyel denklemde bir tek bağımsız değişken varsa denkleme adi diferansiyel denklem denir.

3 Kısmi Diferansiyel Denklem: Bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin birden fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevlerini içeren diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel denklem denir. Tanım: Bir diferansiyel denklem içinde bulunan en yüksek mertebeli türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi; en yüksek mertebeli türevinin derecesine (yani kuvvetine) de diferansiyel denklemin derecesi denir.

4 Tanım: Bir diferansiyel denklemde her bağımlı değişken ve her mertebeden türevler birinci dereceden ise ve aynı zamanda bağımlı değişkenler veya türevler çarpım halinde yer almıyorlarsa böyle denklemlere doğrusal (lineer) aksi halde doğrusal olmayan (nonlineer) diferansiyel denklemler denir.

5 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması
Bağımsız değişken sayısına göre: Adi veya Kısmi Diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin mertebe ve derecesine göre: n.mertebe m.dereceden gibi. Denklemde bulunan türev ve bağımlı değişkenlerin doğrusallık koşullarını sağlamalarına göre: Doğrusal veya Doğrusal Olmayan diferansiyel denklemler Ayrıca doğrusal denklemde tek başına bağımsız teriminin kalıp kalmamasına göre: Homojen veya Homojen Olmayan diferansiyel denklemler

6 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
Tanım: Bir diferansiyel denklemin çözümü bağımsız değişkenin bütün değerleri için diferansiyel denklemi sağlayan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi ortaya koyan cebirsel bir denklemdir. Elde edilen bir çözümün diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığını belirlemek için, bağımlı değişken ve türevleri diferansiyel denklemde yerine konulur.

7 Bir diferansiyel denklemin çözümleri Genel, Özel ve Tekil olmak üzere 3 ‘e ayrılır. n inci mertebeden bir adi diferansiyel denklem verildiğinde; Bu denklemin n tane keyfi sabit içeren çözümüne genel çözüm denir. Bu genel çözümdeki n keyfi sabite belli değerler verilerek elde edilen çözümüne özel çözüm denir. Genel çözümdeki n keyfi sabitin herhangi bir şekilde seçimi ile elde edilemeyen çözümüne tekil çözüm denir.

8 Başlangıç ve Sınır-Değer Problemleri
Tanım: Bir diferansiyel denklemin belli koşullara göre çözümleri arandığında, eğer ek koşullar bağımlı değişken ve türevlerine göre tek bir noktada verilmişse probleme başlangıç-değer problemi, eğer koşullar en az farklı iki noktada tanımlanmışsa probleme sınır değer problemi denir. Not: Bir başlangıç veya sınır-değer problemindeki koşulların sayısı, diferansiyel denklemin mertebe sayısına (yani genel çözümdeki keyfi sabit sayısına) eşit olur ki o zaman tek bir çözüm elde edilebilir.

9 Diferansiyel Denklemlerin Kurulması (Keyfi Sabitlerin Yok Edilmesi)

10