Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN

Name: Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN
Uploaded: 2017-12-02T12:36:37+00:00
Duration: PTM28S45
Channel: Bayhan Ucuncu
Description: Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN

Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN
Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Notasyonu Gösterimi 2.2. Satır Eşdeğer Matrisler 2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemleri 2.4. Ters Matris 2.5. Matris Tersi Yöntemi Kullanarak Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü

Lineer Sistemlerin Matris Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2 2.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Notasyonu Gösterimi m eşitlik (denklem) ve n bilinmiyenden oluşan Lineer denklem sistemini gözönüne alalım. Daha önce de belirtildiği gibi x1, x2, ..., xn bilinmeyenleri, a’lar ve b’ler ise sabitleri ifade etmektedir.

Bölüm 2 Lineer denklem sistemi matrisler ile katsayılar matrisi, bilinmeyenler Sütun matrisi, sabitler Sütun matrisi, olmak üzere

Bölüm 2 şeklinde ifade edilebilir.

Bölüm 2 Arttırılmış (Augmented) Matris matrisine arttırılmış matris denir.

Bölüm 2 Örnek: 2.1. Lineer denklem sistemi verilmektedir. a) Sisteme ilişkin katsayılar matrisini elde ediniz.

Bölüm 2 b) Arttırılmış matrisi elde ediniz. c) Sistemi matris notasyonu yardımıyla ifade ediniz.

Bölüm 2 Örnek: 2.2. Lineer denklem sistemini matrisler yardımıyla ifade ediniz.

Bölüm 2 Verilen Lineer denklem sistemi matris gösterimi yardımıyla şeklinde ifade edilir.

Bölüm 2 Örnek: 2.3. Lineer denklem sistemini matris notasyonu şeklinde ifade ediniz.

Bölüm 2 Verilen sistem matris gösterimi yardımıyla şeklinde ifade edilir. Verilen lineer denklem sistemine ilişkin arttırılmış matris olarak ifade edilebilir.

Bölüm 2 2.2. Satır Eşdeğer Matrisler Elementer Satır İşlemleri Tanımı Bir A matrisindeki elementer satır işlemleri aşağıdaki işlemlerden biri olarak tanımlanmaktadır. A) A matrisinin herhangi bir satırının (örneğin i’nci satırı) sıfırdan farklı bir sabit (k) ile çarpımı. Ri, i’inci satırı belirtiyorsa bu satırın k sabiti ile çarpımı sonucu i’inci satır Ri  kRi şeklinde olacaktır. B) A matrisinin herhangi iki satırının, örneğin i’inci ve j’inci satırlarının yerlerinin değiştirilmesi. Bu durum Ri  Rj şeklinde gösterilebilir. C) A matrisinin herhangi bir satırının sıfırdan farklı bir k sabiti ile çarpılıp (örneğin j’inci satırının Rj) i’inci satırına (Ri) eklenmesi. Bu durum Ri  Ri + k Rj şeklinde gösterilir.

Bölüm 2 Örnek: 2.4. Elementer satır işlemleri yardımıyla aşağıda verilen lineer denklem sistemini satır eşdeğer denklem sistemleri halinde ifade ediniz.

Bölüm 2 Lineer denklem sistemine ilişkin Arttırılmış matris Lineer Denklem Sistemi

Bölüm 2 Burada A matrisinin 2.satırı 2 sabiti ile çarpılmaktadır (R2  2R2). Oluşan lineer denklem sistemi ile verilen lineer denklem sisteminin çözüm kümeleri aynıdır. Benzer şekilde eğer başlangıç A matrisinin herhangi iki satırı örneğin 1.satır ile 2.satırı yer değiştirecek olursa (R1  R2) yeni arttırılmış matris ve lineer denklem sistemimiz şeklinde olur.

Bölüm 2 Eğer başlangıç A matrisimize 2.satırı –3 ile çarpar 3.satıra eklersek (R3  R3 – 3R2) bu işlemler sonucu verilen arttırılmış matrisimiz ve lineer denklem sistemi olarak elde edilir. Matrislere ilişkin elementer satır dönüşümleri (işlemleri) yapıldığında her defasında A matrisinin başından başlama zorunluluğu yoktur.

Bölüm 2 Örnek: 2.5. lineer denklem sisteminin elementer satır dönüşümleri yardımıyla eşdeğer sistemlerini oluşturalım. Verilen sisteme ilişkin arttırılmış matris ve denklem sistemini aşağıda belirtildiği şekilde yazalım.

Bölüm 2

Bölüm 2 Yukarıda önce R1 R1+ R3 daha sonra R3- R3 elementer satır işlemleri bir önceki matris üzerine gerçekleştirilmiştir.

Bölüm 2

Bölüm 2 Örnekten de görüldüğü gibi her aşamada elde edilen matrisler (dolayısıyla lineer denklem sistemi) birbirine satır eşdeğer olup sistemin aynı çözüm kümesine sahiptirler. Örneğin verilen

Bölüm 2 sisteminin çözüm kümesi ile, son aşamada elde edilen, denklem sisteminin çözüm kümesi aynı olup

Bölüm 2 Bir matrisin satır eşdeğer matris şeklinde ifade edilmesi Bir matris eğer aşağıda belirtilen kurallar sağlanırsa satır eşdeğer matris (Row echelon form) şeklindedir denir. a) Sadece sıfırlardan oluşan satırlar mevcutsa bunlar matrisin en altındadır. b) Sıfırlardan oluşan satırlardan farklı satırlarda ilk sıfırdan farklı eleman değeri 1’dir. c) Her bir satırdaki ilk sıfırdan farklı 1 değeri, bir önceki satırdaki sıfırdan farklı ilk 1 elemanının sağında yer alır.

Bölüm 2 Örnek: 2.6. matrisinin satır eşdeğer matris şeklinde olup olmadığını ifade ediniz. Görüldüğü gibi 1.sıranın ilk sıfırdan farklı elemanı 1’dir. İkinci satırın ilk sıfırdan farklı elemanı 1 olup bu birinci satırda yer alan 1 elemanının sağındadır. Üçüncü satırın ilk sıfırdan farklı elemanı 1 olup, bu ikinci sıradaki 1’in sağında yer almaktadır. Bu şartlar verilen matrisin satır eşdeğer matris şeklinde olduğunu göstermektedir.

Bölüm 2 Örnek: 2.7. matrisinin satır eşdeğer matris şeklinde olup olmadığını ifade ediniz. 1.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1'dir. 2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 olup, bu değer bir önceki satırdaki 1 elemanının sağında yer almaktadır. 3.satırın tüm elemanları sıfır olup matrisin en alt satırını oluşturmaktadır. Dolayısıyla verilen matris satır eşdeğer matris şeklinde ifade edilmiştir.

Bölüm 2 Örnek: 2.8. matrisinde 2. satır elemanlarının tümü sıfır olduğundan ve bu satır matrisin son satırı olarak yer almadığından verilen matris satır eşdeğer matris olarak ifade edilmemiştir. Daha önce belirtilen üç kurala ek olarak eğer bir satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1’in bulunduğu sütundaki diğer elemanlar sıfır ise, verilen matris satır indirgenmiş eşdeğer matris (row reduced echelon) şeklindedir denir.

Bölüm 2 Örnek: 2.9. matrisinin satır indirgenmiş matris şeklinde olup olmadığını kontrol ediniz.

Bölüm 2 1.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu elemanın bulunduğu 1.sütundaki diğer elemanlar sıfırdır. 2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu eleman bir önceki satırdaki 1'in sağında yer almakta ve sütunundaki diğer elemanlar sıfırdır. 3.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu 2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1'in sağında yer almakta ve ilgili sütunun diğer elemanları sıfırdır. Bu durumda verilen matris satır indirgenmiş matris şeklindedir denir.

Bölüm 2 Örnek: 2.10. matrisinde, 2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 fakat bu elemanın bulunduğu sütundaki diğer elemanlar sıfır olmadığından (burada -2 bulunmaktadır) ilgili matris satır indirgenmiş matris şeklinde değildir denir. Elementer satır dönüşümleri yardımıyla verilen bir matris satır indirgenmiş matris şekle dönüştürülebilir.

Bölüm 2 Örnek: 2.11. matrisini elementer satır dönüşümleri yardımıyla satır indirgenmiş matris şekle dönüştürünüz.

Bölüm 2 Görüldüğü gibi verilen matris satır indirgenmiş matris şekle dönüştürülmüştür.

Bölüm 2 2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemleri Lineer denklem sistemlerinin çözümünü elde etmede kullanılan birçok yöntem vardır. İzleyen kısımlarda bu yöntemlerden ikisi olan Gauss ve Gauss-Jordan yöntemleri tanıtılacaktır. Burada nn boyutlu lineer denklem sistemleri ele alınacaktır. Daha sonraki bölümlerde mn boyutlu lineer denklem sistemlerinin çözümlerinden bahsedilecektir.

Bölüm 2 Gauss Yöntemi şeklinde verilen bir lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi A’nın

Bölüm 2 ve arttırılmış matrisin ’nin şeklinde tanımlandığı önceki bölümde ele alınmıştı.

Bölüm 2 Elementer satır dönüşümleri yardımıyla arttırılmış matris ’nin A katsayılar kısmı asal köşegen elemanları 1 olan bir üst üçgen matris haline dönüştürülürse matrisi şeklini alır. Verilen katsayılar matrisinin elementer satır dönüşümleri yardımıyla yukarıda belirtilen eşdeğer bir matrisine dönüştürülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi işlemi Gauss Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.

Bölüm 2 Örnek: 2.12. Gauss Eliminasyon yöntemini kullanarak lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 2 Sisteme ilişkin arttırılmış matrise elementer satır dönüşümleri uygulanırsa matrisinin A katsayılar kısmı,

Bölüm 2 asal köşegen elemanları 1 olan bir üst üçgen matris haline dönüşür.

Bölüm 2 matrisinin satır dönüşümleri İle elde edilen eşdeğer matrisi gözönüne alınırsa, bu matris lineer denklem sistemi haline dönüştürülür.

Bölüm 2 x3 değeri, ikinci eşitlikte yerine konursa, elde edilir. ve değerleri birinci eşitlikte yerine konursa, eşitliğinden, elde edilir. Dolayısıyla verilen Lineer denklem sisteminin çözüm kümesi olarak bulunur.

Bölüm 2 Örnek: 2.13. Gauss Eliminasyon yöntemi yardımıyla lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 2 Bir önceki örnekte olduğu gibi arttırılmış matris yazılır ve elementer satır dönüşümleri uygulanırsa elde edilir.

Bölüm 2 Bu matristen lineer denklem sistemi elde edilir. x3 = 0 ve x2 = -3 değerleri elde edildiğinden bu değerler birinci satırda yerine konursa, x = 3 eşitliğinden x1 = 6 elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümemiz (6, -3, 0) şeklinde olur.

Bölüm 2 Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi artırılmış matrisinin, elementer satır dönüşümleri yardımıyla, asal köşegen elemanları 1 olan matrise dönüştürüldüğünü varsayalım.

Bölüm 2 Verilen katsayılar matrisinin elementer satır dönüşümleri yardımıyla yukarıda verilen eşdeğer bir matrise dönüştürülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi işlemi Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.

Bölüm 2 Örnek: 2.14. Gauss-Jordan eliminasyon yöntemi yardımıyla lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.

Bölüm 2 Sisteme ilişkin arttırılmış matris dir. Bu matrise elementer satır dönüşümleri uygulanırsa,

Bölüm 2 elde edilir.

Bölüm 2 Elde edilen bu eşdeğer matris yardımıyla yazılabilir. Buradan , ve elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümemiz (2, 2, 0)’dır.

Bölüm 2 2.4. Ters Matris Matris tersinin tanımı A ve B n n boyutlu matrisler olsun. A ve B matrisleri bağıntısını sağlıyorsa B’ye A’nın tersi denir ve ile gösterilir. A da B’nin tersidir ve yazılır. Her nn boyutlu bir kare matrisin tersinin mevcut olması gerekmez.

Bölüm 2 Örnek: 2.15. ve matrislerinin birbirinin tersi olduğunu gösteriniz.

Bölüm 2 matrisi matrisinin tersidir. Bu durum şeklinde gösterilir. yani olduğundan

Bölüm 2 Benzer şekilde matrisi matrisinin tersi olup şeklinde gösterilir.

Bölüm 2 Bir kare matrisin örneğin nn boyutlu A matrisinin tersi matrisini elde etmek için matrisi elementer satır dönüşümleri yardımıyla matrisi haline dönüştürülür. Burada I, n x n boyutlu birim matris olup ’dir.

Bölüm 2 Örnek: 2.16. matrisinin tersini yöntemini kullanarak elde ediniz.

Bölüm 2

Bölüm 2 Görüldüğü gibi matrisi elementer satır dönüşümleri yardımıyla matrisine dönüştürülmüştür.

Bölüm 2 Bu işlemler sonucunda A matrisinin tersi olarak elde edilir.

Bölüm 2 Örnek: 2.17. yöntemini kullanarak matrisinin tersini elde ediniz.

Bölüm 2

Bölüm 2 İşlemler sonucundan da görüldüğü gibi elementer satır dönüşümleri sonucunda A matrisinin tersi A-1 olarak elde edilir.

Bölüm 2 Ters Matrislerin Özellikleri Özellik 1. Her ne kadar genelde matris çarpımı komütatif değilse de (yani ABBA), eğer ise, ’dır. Özellik 2. Bir matrisin tersi mevcut ise, bu bir tanedir. Özellik 3. A ve B aynı boyutlu tersi alınabilir matrislerse, (AB)’nin tersi elde edilebilir ve ’dir.

Bölüm 2 Örnek: 2.18. ise tersinin olduğunu doğrulayınız.

Bölüm 2 Eğer , A matrisinin tersi ise kuralı gerçekleşmelidir. elde edilir. Dolayısıyla verilen A matrisinin tersidir.

Bölüm 2 Örnek: 2.19. olduğunu doğrulayınız.

Bölüm 2 Bir önceki örnekte olduğu gibi BB-1 = I olduğunun doğrulanması gerekmektedir. olduğundan B-1, B matrisinin tersidir.

Bölüm 2 Yukarıdaki örneklerde verilen A, A-1, B, B-1 matrislerini kullanarak a) AB çarpımını elde ediniz.

Bölüm 2 b) B-1 A-1 çarpımını elde ediniz.

Bölüm 2 c) [AB]-1 matrisini elde ediniz. AB çarpımının sonucu olarak elde edilmişti. Bu çarpımın tersini elde etmek için yöntemi kullanılırsa

Bölüm 2 matrisine elementer dönüşümler uygulanırsa sonuçta elde edilir.

Bölüm 2 Buradan olup, dolayısıyla (AB)-1 = B-1 A-1 doğrulanır.

Bölüm 2 Özellik 4. Eğer A tersi alınabilir bir matris ise aşağıdaki özellikler geçerlidir. i) A-1 tersi alınabilir bir matristir ve (A-1)-1 = A'dır. ii) AT tersi alınabilir bir matristir ve (AT)-1 = (A-1)T'dir. iii) Ak tersi alınabilirdir (k = 1, 2, 3, ...) ve (Ak)-1 = (A-1) k'dir. iv) Sıfırdan farklı bir skala için sA tersi alınabilirdir ve 'dir.

Bölüm 2 Örnek 2.20. matrisi verilmektedir.

Bölüm 2 Örnek 2.20. matrisi verilmektedir. i) A matrisinin tersini (A-1) elde ediniz.

Bölüm 2 Buradan olduğu görülür.

Bölüm 2 ii) Buradan doğrulanır.

Bölüm 2 iii)

Bölüm 2 Buradan elde edilir.

Bölüm 2 iv) A A

Bölüm 2 Bu sonuçlar karşılaştırılırsa olduğu görülür.

Bölüm 2 v) şeklinde yazılabilir.

Bölüm 2 2.5. Matris Tersi Yöntemi Kullanarak Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü n eşitlik ve n bilinmeyenden oluşan lineer denklem sisteminin AX=B şeklinde gösterildiğini varsayalım. Eğer A matrisi tersi alınabilir bir matris ise dir. Bu bize çözüm kümesini verir. B'nin tüm elemanlarının şimdilik sıfır olmadığı varsayılmaktadır.

Bölüm 2 Örnek 2.21. lineer denklem sisteminin çözümünü matris tersi yöntemini kullanarak elde ediniz.

Bölüm 2 Örnek 2.21. lineer denklem sisteminin çözümünü matris tersi yöntemini kullanarak elde ediniz. Verilen sistem AX=B şeklinde yazılabilir. Burada, dir.

Bölüm 2 yöntemi yardımıyla A matrisinin tersi elde edilebilir.

Bölüm 2

Bölüm 2 Buradan veya olarak elde edilir.

Bölüm 2 İlgili değerler X=A-1B eşitliğinde yerine konursa elde edilir. Dolayısıyla ve ’dir.

Bölüm 2 Örnek 2.22. lineer denklem sisteminin çözümünü X=A-1B eşitliği yardımıyla elde ediniz.

Bölüm 2 Verilen sistemin çözümüne ilişkin matris gösterimi ve şeklinde elde edildiğinden

Bölüm 2 X=A-1B eşitliği olup, buradan elde edilir. Dolayısıyla verilen denklem sisteminin çözümü x1 = 1, x2 = –1 ve x3 = 2’dir.

Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim