Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. Etimolojik (köken.

... konulu sunumlar: "Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. Etimolojik (köken."— Sunum transkripti:

1 Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. Etimolojik (köken bilgisi) olarak “geo – metri”, “yer –ölçümü” anlamına gelmektedir. Mezopotamya ve Mısır’da Nil Nehri’nin taşması sonucu arazi sınırları bozulmakta ya da tamamen silinmekteydi. Arazilerin hemen her yıl ölçülerek yeniden sahiplerine dağıtılması ihtiyacı oluşuyordu.

2 Öklit geometrisi Matematikte ispat yöntemini ilk kullanan kişinin Thales (Tales) (MÖ. 624 – 547) olduğu düşünülmektedir. Euclides (Öklit), ispat yöntemini ince bir ustalıkla geometriye uyarlayarak 13 kitaptan oluşan “Elements” adlı eserini yazmıştır. Bu eser zamanla yeniden düzenlenmiş, postulat ve ispatlara dayalı Öklit Geometrisi kullanılmaya ve öğretilmeye başlanmıştır. Öklit geometrisine, Aksiyomatik Geometri, Sentetik Geometri veya İspatlı Geometri denildiği de olur. Euclides (MÖ 323 – 283)

3 Analitik geometri Fransız filozofu Deskartes, cebir ile geometriyi ilişkilendirerek sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullandı. Şekilleri, fonksiyonlar olarak ele alan Analitik Geometri dalının gelişmesine vesile oldu. Rene Descartes (1596 – 1650) 

4 Tasarı geometri Gaspard Montage, üç boyutlu uzay cisimlerinin, bir düzlem üzerine çizilmesini ya da cismin izdüşümle incelenmesini sağlayan Tasarı Geometrinin gelişmesine vesile olmuştur. Gaspard Montage (1746 – 1818)

5 Öklit dışı geometri 1820 lerin sonunda Lobacevski’nin öklit geometrisinin temelini oluşturan paralel postulatını ispatlamak için girişimleri neticesiz kalmışsa da Öklit Dışı Geometri denilen başlı başına bir geometrinin doğmasına vesile olanların başında gelir. Lobacevski ( )

6 Fraktal geometri İlk olarak 1975'de Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya konulan Fraktal Geometri, kendi kendini tekrar eden, sonsuza kadar küçülen şekilleri ve cismi inceler. Benoit Mandelbrot (1924 – … )

7 Nokta A …………………. Herhangi bir ……………………….. bulunmayan ve yer …………………….. geometrik bir terimdir. İnce uçlu bir kalemin kağıt üzerinde bıraktığı ize, noktanın ……. modeli denir. Alfabenin …………… harfleriyle adlandırılır.

8 Doğru – Eğri d ………………………….. k Doğru; düz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik bir ……………………dir. Düz ……………… modeli ile gösterilir. Alfabenin ……………. harfleri ile adlandırılır. …………………….

9 Düzlem …………………….. ve ………………….., düz sınırsız genişletilebilen fakat ……………. bulunmayan geometrik terimdir. ……………………….. bölge modeli ile gösterilir. Alfabenin …………. harfleri veya R2 ile adlandırılır. E …………………….

10 Uzay ……………….., ……………….. ve ………………., düz sınırsız genişletilebilen geometrik bir terimdir. …………………… modeli ile gösterilir. …………… ile adlandırılır. R3 …………………. R4 Uzayı

11 A B C Doğrusallık …………………. noktaları doğrusaldır.
Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara, ……………………… noktalar denir. A B C …………………. noktaları doğrusaldır.

12 Düzlemsellik Aynı düzlem üzerinde bulunan noktalara, …………………………. noktalar denir. k F n D E m ………………. noktaları düzlemseldir. ………………… doğruları düzlemseldir.

13 B A A B A B A B A B Doğru parçası …….. doğrusu ……… doğru parçası
AB : AB doğru parçasının ……………….

14 B A A B A B Yarı doğru - Işın …….. doğrusu ……… açık yarı doğrusu
………. kapalı yarı doğrusu (ışın) A noktasına, …………………. noktası denir.

15 Ödev 1

16 Ödev 2

17 Ödev 3

18 Ödev 4

19 Ödev 5

20 Ödev 6

21 Ödev 7

22 Ödev 8

23 Ödev 9

24 Ödev 10

25 Ödev 11 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

26 Koordinat doğrusu ………………. yön ………………. yön A B C D E P x O 1 x
x koordinat doğrusu … … … … Doğru üzerindeki her noktaya karşılık, reel sayılar kümesinin bir elemanı eşleştirilmiş doğrulara ……………………………………. veya ……………………………………. veya ……………. denir. Sıfır sayısı ile eşleşen noktaya, koordinat doğrusunun …………………….……… noktası veya …….....…… denir. P noktası ile eşleşen …. reel sayısına, P noktasının …………………………… denir ve ………… ile gösterilir.

27 Alıştırma x koordinat doğrusunda verilen noktaların koordinatlarını söyleyiniz ve yazınız.

28 Araştırma - İnceleme A ile C noktaları arasındaki uzaklık ………………….. birimdir. B’ ile C noktaları arasındaki uzaklık ………………….. birimdir. Koordinatları verilen iki nokta arasındaki uzaklığın bulunması için, hangi matematiksel işlem yapılıyor? …………… Uzaklık değerleri negatif olabilir mi? ………….. En küçük uzaklık kaç birimdir? ………….. Matematikte negatif değerlerden kurtulmak için ……………….. ………………. işlemi kullanılır.

29 İki nokta arasındaki uzaklık
A(a) ile B(b) noktaları arasındaki uzaklık; d(A, B) = ……………….. AB = ………………..

30 Alıştırma 1 Koordinat doğrusunda verilen noktalara uygun koordinatlar yazınız. B noktasının orijine uzaklığını bulunuz. ………………… B noktasına uzaklığı 5 birim olan noktaların koordinatlarını bulunuz. C’B kaç birimdir? ………………..

31 Alıştırma 2 Sayı doğrusunda A(– 4) ve B(7) olduğuna göre AB kaç birimdir? Sayı doğrusunda A(3 – x) ve B(– 4 – x) olduğuna göre AB kaç birimdir?

32 Doğru parçasının uzunluğu
Uç noktaları A(a) ile B(b) olan [AB] doğru parçasının ……………………….. A ile B noktaları arasındaki ……………..….. eşittir. ………………………………………..

33 Alıştırma 1 Uç noktalarının koordinatlarını verip bir doğru parçası belirleyiniz ve uzunluğunu bulunuz.

34 Alıştırma 2 C(x) noktası, A(5) ile B(3) noktaları arasında ise x hangi aralıktadır? C(x) noktası, A(4) ile B(6) noktaları arasında ise AC + CB toplamın kaç birimdir?

35 Alıştırma 3 Uç noktaları A(3) ve B(5) olan [AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatını bulunuz. A(3) noktasının B(5) noktasına göre simetriği olan noktanın koordinatını bulunuz.

36 Alıştırma 4 A(– 1), B(5) olmak üzere, [AB] doğru parçasını
oranında dıştan bölen C(x) noktasının koordinatını bulunuz.

37 Ödev B  [AC] olmak üzere aşağıda verilen oranları şekle aktarınız.

38 Ödev 1

39 Ödev 2

40 Ödev 3

41 Ödev 4

42 Ödev 5

43 Ödev 6

44 Ödev 7

45 Ödev 8

46 Ödev 9

47 Ödev 10

48 Ödev 11

49 Ödev 12 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

50 Yönlü doğru parçası A noktası Ankara, B noktası Bursa’yı temsil etmektedir. Bu iki şehir arasında uçan bir kuşun kaç farklı hareket yönü olabilir? [AB] doğru parçasına yön vermek istenilirse bu nasıl ifade edilebilir? A B A B A B ………………… ……………….. AB doğrusuna AB veya BA yönlü doğru parçasının …………………….. denir.

51 Yönlü doğru parçasının uzunluğu
A(a) B(b) AB yönlü doğru parçasında; A noktası, …………………….. noktası, B noktası, …………………….. noktası olarak isimlendirilir. Bu noktalar arasındaki uzaklığa yönlü doğru parçasının ……………….. denir.

52 Eş yönlü doğru parçaları - Vektör
B C D Uzunluğu ve yönü aynı olan doğru parçalarına, …..… yönlü doğru parçaları denir. Eş yönlü doğru parçalarının kümesine …………………… denir. Uzunluğu 1 birim olan vektöre, ………………… vektör denir. Uzunluğu 0 olan vektöre, ………………… vektörü denir.

53 Yer vektörü O A Başlangıç noktası orijin olan vektörlere, ………… ……………………………. denir. A noktasının yer vektörü denildiğinde; başlangıç noktası ………. ve bitim noktası ………. olan …………………………… yer vektörü anlaşılmalıdır.

54 Yer vektörünün koordinatı
A(a) yer vektörünün koordinatı a dır biçiminde gösterilir. vektörünün uzunluğu;

55 Öteleme P(k) A(a) B(b) O(0)
Bir vektörün doğrultusu, yönü ve boyu değişmeden konum değiştirmesine …………….. denir. A noktası, O noktasına ötelendiğinde vektörün değişmemesi için B noktasının da P noktasına ötelenmesi gerekir. Böylece ………….. vektörü …….……. vektörünün konumuna ötelenmiş olur.

56 Alıştırma A(2) B(3) C(5) O(0) O(3 – ?) A(5 – ?)
Sonuç olarak, bir vektörün hem başlangıç hem de bitim noktasına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa vektör sadece konum değiştirir. Doğrultusu, …..…… ve ………….. değişmeyeceği için vektör ötelenmiştir.

57 Bir vektörün koordinatı
A(a) B(b) AB vektörüne eşit olan yer vektörünün koordinatına, AB vektörünün …….………… denir. P(?) A(a) B(b) O(0) O(a – a) P(b – a)

58 İki vektörün eşitliği Koordinatları eşit olan vektörlere, ……………. vektörler denir.

59 Alıştırma

60 İki vektörün toplamı

61 Alıştırma

62 Bir vektörün bir sayı ile çarpımı
Bir vektörünün ………………. k sayısı ile çarpımına, o vektörün k sayısı ile ……………… denir.

63 Alıştırma 4. k = 2 ise 1. k = 1 ise 5. k = – 2 ise 2. k = – 1 ise

64 İki vektörün farkı - den + ya

65 Alıştırma

66 Bir vektörün yer vektörleri türünden yazılışı

67 Alıştırma 1

68 Alıştırma 2

69 Alıştırma 3

70 Ödev 1

71 Ödev 2

72 Ödev 3

73 Ödev 4

74 Ödev 5

75 Ödev 6

76 Ödev 6 A D C B E Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

77 Koordinat düzlemi O x y 1 2 3 -1 4 -2 -3 -4
Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme, dik koordinat ………………… denir. Üzerinde bir dik koordinat sistemi seçilen düzleme analitik ……………………. veya koordinat ……………………… denir. R2 veya RxR ile ifade edilir. x koordinat doğrusuna, x ekseni veya yatay ………………. veya apsisler …………….. denir. y koordinat doğrusuna, y ekseni veya düşey ………………. veya ordinatlar ….…….. denir. Eksenlerin kesiştiği noktaya …………………. veya koordinat düzleminin …………….. noktası denir.

78 Noktanın koordinatları
P noktasından x eksenine inilen dikmeye karşılık gelen sayıya, P noktasının ……………. denir. P noktasından y eksenine inilen dikmeye karşılık gelen sayıya, P noktasının ……………. denir. P noktasının eşleştiği (x, y) ikilisine, P noktasının …………………………………. denir. P(x, y) yazılır. O x y (x, y) P

79 Alıştırma Analitik düzlemde; A(-18, 18) , B(24, -12), C(-6, 9), D(0, 18), E(6, 0) noktalarını gösteriniz. x y O 18 -12 -6 -18 9 24 6 x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları ………………. dır. y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri ………………. dır.

80 Noktanın eksenlere uzaklığı
y A (-1, 3) noktasının x eksenine uzaklığı |AB|= ……….. birimdir. y eksenine uzaklığı |AC|= ……….. birimdir. A(-1, 3) C B x O Dikdörtgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. Sonuç: K(x, y) noktasının; x eksenine uzaklığı …….. birimdir. y eksenine uzaklığı ……… birimdir. [AC] doğru parçasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü ……………. doğru parçasıdır. [AB] doğru parçasının y ekseni üzerindeki dik izdüşümü …………. doğru parçasıdır.

81 Noktanın orijine uzaklığı
A (3, 4) noktasının orijine olan uzaklığı; AO = ………………… birimdir. y A(3, 4) Pisagor bağıntısı c2 = a2 + b2 x O Sonuç: K(a, b) noktasının orijine uzaklığı; KO = …………………… birimdir. [AO] doğru parçasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü ………., y ekseni üzerindeki dik izdüşümü ise ……….. dır.

82 Öteleme Analitik düzlemde verilen bir şeklin tüm noktalarının aynı yönde aynı miktar ötelenmesine geometrik şeklin ötelenmesi denir. Şekillerin ötelenmesinde geometrik özellikler açılar ve uzunluklar korunur ve karşılıklı kenarları paraleldir. ABC dik üçgeninin A2 1 noktası orijin olacak şekilde ötelenmesi için şeklin tüm noktalarının apsislerine 2 ordinatlarına 1 eklenmelidir.

83 İki nokta arasındaki uzaklık
Bir noktanın orijine olan uzaklığını pisagor bağıntısıyla hesaplamayı öğrenmiştik AB doğru parçasını A veya B noktalarından birini orijine öteleyerek A ile B noktalarının arasındaki uzaklığı bulabiliriz.

84 Yönlü doğru parçaları – Vektör
Boyu, yönü ve doğrultuları aynı olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir. Düzlemde paralel olan yönlü doğru parçalarının doğrultuları aynı kabul edilir. x y O Eş yönlü doğru parçalarının her birine ………………………… denir. Şekilde hangileri birim vektördür.

85 Yer vektörü Başlangıç noktası orijin olan vektöre ………… ……………….. denir. Hem başlangıç hem de bitiş noktalarının koordinatlarına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa vektör ötelenmiş olur. y x O A(x1, y1) ve B(x2, y2) olmak üzere; vektörün bileşenleri (koordinatları) ve uzunluğu:

86 Alıştırma x y O 1) A(-5, -2), B(-3, 1), C(4, -3) ve D(4, -2) olan noktaları koordinat düzleminde işaretleyiniz. 2) AB ile CD vektörlerini çiziniz ve bileşenlerini bulunuz. 3) Bu vektörlerin 1. bileşenlerinin toplamını 1. bileşen, ikinci bileşenlerinin toplamını 2. bileşen olarak kabul eden vektörü bulunuz. 4) CD vektörünün bileşenlerinin 3 katı olan vektörü çiziniz.

87 İki vektör arasındaki işlemler
İlkin başlangıcından Sonun bitimine Çıkanın bitişinden diğerinin bitişine (- den + ya)

88 Alıştırma 1 x y O

89 Alıştırma 2 x y O

90 Alıştırma 3 Alıştırma 1 ve 2 yi inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız. İki vektörün toplamı yine bir vektör müdür? (kapalılık özelliği) İki vektörün toplanmasında vektörler yer değiştirebilir mi? (değişme özelliği) Toplama işleminde sıranın önemi var mıdır? (birleşme özelliği) Toplama işleminin birim elemanı var mıdır? Toplama işleminde ters eleman var mıdır?

91 Alıştırma 4 Vektörleri kullanarak ABCD dörtgeninin paralelkenar olması için köşe koordinatları arasında bir bağıntı yazınız.

92 Alıştırma 5 G noktası, [AB] doğru parçasının orta noktası olduğuna göre; G noktasının koordinatlarını bulunuz.

93 Ödev 1

94 Ödev 2

95 Ödev 3

96 Ödev 4

97 Ödev 5

98 Ödev 6

99 Ödev 7

100 Ödev 8

101 Ödev 9

102 Ödev 10

103 Ödev 11

104 Ödev 12

105 Ödev 13 A B C D

106 Ödev 14

107 Ödev 15

108 Ödev 16 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

109 Birim çember Düzlemde sabit bir noktadan 1 birim uzaklıkta olan noktaların kümesine, …………………. …………………... denir. Çap : Merkez : Yarıçap : Yay : Yay uzunluğu : Çemberin çevresi : 1 br

110 Açı Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimine ………………….. denir. Açının köşesi : ………….. Açının kenarları : ………., ……….. Açının ölçüsü : ……….……..  …… = ……….

111 Radyan açı ölçüsü Merkezi, açının köşesi olan birim çember çizilir.
Birim çember ile açının kenarlarının kesiştiği noktalar arasındaki yay uzunluğu 1 birim ise, açının ölçüsü 1 radyan kabul edilir. 1 br x br 1 br ……. açısının ölçüsü : ……………. ……. açısının ölçüsü : …………….

112 Derece açı ölçüsü Merkezi, açının köşesi olan birim çember çizilir.
Birim çember ile açının kenarlarının kesiştiği noktalar arasındaki yay uzunluğu çemberin çevresinin 360 da birine eşitse , açının ölçüsü 1 derece kabul edilir. 1o ile gösterilir. 1 br 1 br ……. açısının ölçüsü : ……………………… ……. açısının ölçüsü : ………………………

113 Alıştırma – Ödev 1) 1 radyan yaklaşık olarak kaç derecedir?
2) 30o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 3) 360o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 4) 180o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 5) 108o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 6) radyanlık açının ölçüsü kaç derecedir?

114 Açı çeşitleri 4. Ölçüsü 0o ile 90o arasında olan açıya …………… denir.
1. Ölçüsü 90o olan açıya …………… denir. 2. Ölçüsü 180o olan açıya ………….…… denir. 5. Ölçüsü 90o ile 180o arasında olan açıya …………… denir. 3. Ölçüsü 360o olan açıya ………….…… denir.

115 Yönlü açı Açının bir kenarından diğer kenarına saatin ters yönünde gidildiğinde açı pozitif yönlü, aksi halde negatif yönlüdür.

116 Trigonometrik oranlar 1
Sinüs : karşı / hip komşu karşı hipotenüs Kosinüs : komşu / hip Tanjant : karşı / komşu Kotanjant : komşu / karşı a b c  sin  = tan  = cos  = cot  =

117 Trigonometrik oranlar 2
y 0o ≤  ≤ 90o 0 ≤ sin  ≤ 1 (0, 1) 0 ≤ cos  ≤ 1 P sin kosinüs ekseni  x (-1, 0) O cos (1, 0) (0, -1) sinüs ekseni

118 Alıştırma 1 30o ve 60o lik açının trigonometrik oranlarını bulunuz.

119 Alıştırma 2 45o lik açının trigonometrik oranlarını bulunuz.

120 Ters açılar .......... ile …….... ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri neden eşittir?

121 Açıortay Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına ………………………. denir.
 …….... = …….... açısının açıortayı ………….

122 Alıştırma D DAC açısının ölçüsü 40 derece,
B C D DAC açısının ölçüsü 40 derece, CAB açısının ölçüsü 20 derecedir. DAC ile CAB açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir? 40o 20o A B C D

123 Ödev D C DAC açısının ölçüsü 90o , CAB açısının ölçüsü 20o dir.
DAB ile CAB açılarının açıortaylarını kenar kabul eden açının ölçüsü kaç derecedir? 40o A B D C 40o A B

124 Yöndeş – İç ters – Dış ters – Karşı durumlu açılar
Yöndeş açılar İç ters açılar (Z) Karşı durumlu açılar(U) Dış ters açılar

125 Alıştırma AB // CD AB  EF = {K} CD  EF = {L}

126 Ek çizimler 1 A B C D E F A B C D E F Yöndeş açılara benzetmek A B C D
Paralelkenar

127 Ek çizimler 2 İç ters açılara benzetmek
Karşı durumlu açılara benzetmek

128 Ek çizimler 3 Karşı durumlu açılara benzetmek Genel U kuralı

129 Alıştırma 1 A B C D E AB // DE

130 Alıştırma 2 A B D C E AB // DE

131 Alıştırma 3 A B D E C AB // ED

132 İlişki kurma 1 a b c d e a b c x y

133 İlişki kurma 2 a b x y z t a x y z

134 İlişki kurma 3 a b c d e a b d c

135 İlişki kurma 4 Açıortay Açıortay x y x

136 İlişki kurma 6 İç açılar toplamı a b c d a b c

137 İlişki kurma 7 x a y b x a b

138 Ödev 1 Ölçüsü 2x – 10 derece olan açı dar açı olduğuna göre, x in en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz. 72 derecelik açının bütünlerinin ölçüsü kaç radyandır?

139 Ödev 2

140 Ödev 3

141 Ödev 4

142 Ödev 5

143 Ödev 6

144 Ödev 7

145 Ödev 8

146 Ödev 9

147 Ödev 10

148 Ödev 11

149 Ödev 12 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

150 Temsilci nokta – Denklem
Herhangi bir geometrik şekil üzerindeki tüm noktaları temsil eden değişken nokta (temsilci nokta) vardır ve genellikle P harfi ile gösterilir. P noktası hareket ettirildikçe (değiştikçe) bir geometrik şekil oluşturur. Değişken noktayı içeren bağıntılara geometrik şeklin denklemi denir. P P P

151 Araştırma – İnceleme A(2, 3) noktasından geçen, vektörüne paralel olan doğrunun denklemini bulunuz. A(2, 3) Doğrunun temsilci (değişken) noktasını kullanarak verilen şartlara uygun bir bağıntı yazılabilir mi? P Her …… reel sayısı için bir P noktası elde edildiği için …… ya parametre denir. ……. vektörüne doğrunun doğrultman vektörü veya kısaca doğrultmanı denir.

152 Doğru denklemi 1 A(x1, y1) noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü olan d doğrusunun denklemleri: A(x1, y1) P(x, y) d d doğrusunun ……………………. denklemi: d doğrusunun …………………. denklemi: d doğrusunun …………………. denklemidir. d doğrusunun ……….. dir. d doğrusunun …………………. denklemidir.

153 Alıştırma 1 A(-2, 5) noktasından geçen, doğrultman vektörü olan doğrunun; vektörel denklemini bulunuz. kapalı denklemini bulunuz. k parametresine bağlı parametrik denklemini bulunuz.

154 Alıştırma 2 A(-2, 5) noktasından geçen, doğrultman vektörü olan doğrunun; d) kartezyen denklemini bulunuz. e) eğimini bulunuz.

155 Alıştırma 3 A(2, 3) ve B(3, -1) noktalarından geçen doğrunun vektörel, parametrik, kartezyen denklemlerini ve eğimini bulunuz. A(2, 3) B(3, -1)

156 Doğru denklemi 2 A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen AB doğrusunun denklemleri; AB doğrusunun vektörel denklemi: AB doğrusunun kapalı denklemi: A(x1, y1) B(x2, y2) AB doğrusunun kartezyen denklemi: AB doğrusunun eğimi:

157 Doğru denklemi 3 A(x1, y1) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi: A(x1, y1)

158 Alıştırma y = 2x + 6 doğrusu üzerinde olan noktalar bulunuz.
Doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulunuz. Doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulunuz. Doğrunun grafiğini çiziniz. Doğrunun eğimini bulunuz. x y O

159 Eğimin incelenmesi 1 y B(x2, y2) A(x1, y1) K  x O
Doğru üzerinde iki nokta alarak eğim ile alfa açısı arasındaki ilişkiyi bulunuz. Yol gösterme: AB doğrultman vektöründen ve AKB dik üçgeninden faydalanınız. Bir doğrunun, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya …………… açısı denir. Eğim açının tanjantına da …………. denir.

160 Eğimin incelenmesi 2 y x y O u v x O v x y O u x y O v

161 Eğimin incelenmesi 2 y x O d2 d1 d1 d2
Eğimleri çarpını -1 olan doğrular birbirine ………….tir. d1 d2 Eğimleri eşit olan doğrular birbirine ……………………. dir.

162 Alıştırma 1 A(1, 2) noktasından geçen ve y = 2x -7 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulunuz.

163 Alıştırma 2 A(1, -2) noktasından geçen ve y = 3x -2 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz. Bulduğunuz denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayı ile çarptığınızda veya böldüğünüzde elde edilen denklemleri ilk denklemle karşılaştırıp yorumlayınız.

164 Alıştırma 3 2x + 3y – 11 = 0 ile 3x + 2y – 4 = 0 doğrularının varsa kesişim noktasını bulunuz.

165 İki doğrunun birbirine göre durumları 1
1. Kesişme d1: a1x + b1y + c1 = 0 d2: a2x + b2y + c2 = 0 K(x0, y0)

166 İki doğrunun birbirine göre durumları 2
2. Paralel d1: a1x + b1y + c1 = 0 d2: a2x + b2y + c2 = 0 3. Çakışma d1: a1x + b1y + c1 = 0 d2: a2x + b2y + c2 = 0

167 Alıştırma x + ay – 3b = 0 ve 3x + 12y + 18 = 0 doğruları çakışık olduğuna göre, a + b =? (k + 2)x + 2y + 6 = 0 ve kx + 3y + 1 = 0 doğruları paralel olduğuna göre, k kaçtır? (k + 1)x + 2y + 6 = 0 ve kx + 3y + 1 = 0 doğruları kesiştiğine göre, k hangi değeri alamaz?

168 Ödev 1

169 Ödev 2

170 Ödev 3

171 Ödev 4

172 Ödev 5

173 Ödev 6

174 Ödev 7

175 Ödev 8

176 Ödev 9

177 Ödev 10

178 Ödev 11

179 Ödev 12

180 Ödev 13

181 Ödev 14

182 Ödev 15

183 Ödev 16

184 Ödev 17

185 Ödev 18

186 Ödev 19

187 Ödev 20

188 Ödev 21

189 Ödev 22

190 Ödev 23

191 Ödev 24

192 Ödev 25 A) -8 B) -6 C) -4 D) -2 E) 0

193 Ödev 26 A) -7 B) -6 C) 0 D) 6 E) 7

194 Ödev 27 A) 5x + 3y + 2 = 0 B) 5x + 3y - 2 = 0 C) 5x - 3y + 2 = 0
D) 3x + 5y + 2 = 0 E) 3x + 5y - 2 = 0

195 Ödev 28 A) -7/2 B) -3 C) -5/2 D) 5/2 E) 7/2

196 Ödev 29 A(-3, 1) ve B(-5, 2) noktalarından geçen
doğrunun parametrik denklemi nedir? A) x = -3 + k , y = 1 + k B) x = -3 + k , y = 1 + k C) x = -3 + k , y = 1 + k D) x = -3 + k , y = 1 + k E) x = -3 + k , y = 1 + k Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi: