İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

... konulu sunumlar: "İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER"— Sunum transkripti:

1 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İbrahim KOCA

2 İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Tanım: olmak üzere ve biçimindeki açık önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi doğrulayan (eğer varsa) x değerlerinin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm kümesinin her bir elemanına denklemin bir kökü denir. a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir. İbrahim KOCA

3 2.dereceden bir bilinmeyenli denklemin en genel yazılışı:
kat sayı kat sayı kat sayı denklemin derecesi denklemin değişkeni veya bilinmeyeni İbrahim KOCA

4 Örnek1) Aşağıda verilen 2.dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin katsayılarını yani a, b ve c değerlerini ifade ediniz. İbrahim KOCA

5 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Çözümleri
şeklinde ki denklemlere 1.dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Örnek2) Aşağıda verilen 1.der.bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. İbrahim KOCA

6 Verilen denklemi genel duruma göre düzenlersek:
Örnek2) ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, n kaçtır? Çözüm2) Verilen denklemi genel duruma göre düzenlersek: İbrahim KOCA

7 Örnek3) denklemi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? Çözüm3) İbrahim KOCA

8 Önce doğruyu bilmek gerekir, doğru bilinirse yanlışta bilinir
Önce doğruyu bilmek gerekir, doğru bilinirse yanlışta bilinir. Ama önce yanlış bilinirse doğruya ulaşılamaz. Farabi İbrahim KOCA

9 Örnek4) ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m, k ve n değerlerini bulunuz. Çözüm4) İbrahim KOCA

10 İkinci Dereceden Denklemin Çözüm Kümesinin Bulunuşu
İkinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi iki yolla bulunabilir. Bunlar çarpanlara ayırarak veya diskriminant bularak yapılan çözümlerdir. 1-) Çarpanlarına Ayırarak Denklem Çözme: Örnek5) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm5) veya veya İbrahim KOCA

11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek6) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm6) veya veya İbrahim KOCA

12 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek7) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm7) veya veya İbrahim KOCA

13 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek8) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm7) -2 -2 İbrahim KOCA

14 İnsanı tembelliğe alışması mahveder. (Hint atasözü)
İşlemeyen demiri kendi pası mahveder. İnsanı tembelliğe alışması mahveder. (Hint atasözü) İbrahim KOCA

15 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek9) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm9) 2 3 İbrahim KOCA

16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek10) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm10) -5 2 İbrahim KOCA

17 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek11) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm11) 2x 1 2x.(-5)+x.1=-10x+x=-9x x -5 İbrahim KOCA

18 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek12) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm12) 5x -1 5x.20+x.(-1)=100x-x=99x x 20 İbrahim KOCA

19 Hiç kimse, başarı merdivenlerine elleri cebinde tırmanmamıştır.
İbrahim KOCA

20 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek13) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm13) 2m -m İbrahim KOCA

21 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek14) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm14) -3n 2n İbrahim KOCA

22 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek15) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm15) karesi -4 olan reel sayı yoktur. İbrahim KOCA

23 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek16) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm16) İbrahim KOCA

24 Hayatta muvaffak olmak için üç şey lazımdır: Dikkat, intizam, çalışma.
İbrahim KOCA

25 2-) Diskriminantı Bularak Denklem Çözme:
denkleminde, olmak üzere, denklemin kökleri dir. veya İbrahim KOCA

26 denklem diskriminant kökler İbrahim KOCA

27 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek17) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm17) İbrahim KOCA

28 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek18) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm18) İbrahim KOCA

29 Bir insanın zekâsı, vereceği karşılıklarla değil, soracağı sorulardan anlaşılır.
İbrahim KOCA

30 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Örnek19) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm19) İbrahim KOCA

31 şeklinde de ifade edilir. kökler
denkleminde ise şeklinde de ifade edilir. kökler Örnek20) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm20) İbrahim KOCA

32 Kural denkleminde olsun 1-) ise, denklemin farklı iki reel kökü vardır
2-) ise, denklemin reel kökü yoktur. ise, denklemin iki kökü vardır ve bunlar eşittir. 3-) dır. Bu kökler, Bu durumda denklem tam karedir. İbrahim KOCA

33 denkleminin R’ de çözüm kümesini bulunuz.
Örnek21) denkleminin R’ de çözüm kümesini bulunuz. Çözüm21) olduğundan, bu denklemin reel kökü yoktur. O halde, İbrahim KOCA

34 denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır?
Örnek22) denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır? Çözüm22) İbrahim KOCA

35 denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği
Örnek23) denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm23) 4 den büyük olan en küçük tam sayı 5 tir. İbrahim KOCA

36 denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği
Örnek24) denkleminin reel kökü olmadığına göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? Çözüm24) den küçük olan en büyük tam sayı -2 dir. İbrahim KOCA

37 denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır?
Örnek25) denkleminin eşit iki reel kökü olduğuna göre, m kaçtır? Çözüm25) İbrahim KOCA

38 denkleminde kökler olduğunu biliyoruz,
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR denkleminde kökler olduğunu biliyoruz, Kökler Toplamı: Sonuç: İbrahim KOCA

39 denkleminin kökleri ise kaçtır?
Örnek1) denkleminin kökleri ise kaçtır? Çözüm1) Yol: denkleminin köklerini çarpanlarına ayırarak bulabiliriz. 2.Yol: İbrahim KOCA

40 Kökler Çarpımı: Sonuç: İbrahim KOCA

41 denkleminin kökleri ise kaçtır?
Örnek2) denkleminin kökleri ise kaçtır? Çözüm1) Yol: denkleminin köklerini çarpanlarına ayırarak bulabiliriz. 2.Yol: İbrahim KOCA

42 Köklerin Mutlak Değerce Farkı:
Sonuç: İbrahim KOCA

43 denkleminin köklerinin farkının mutlak değerini bulunuz.
Örnek3) denkleminin köklerinin farkının mutlak değerini bulunuz. Çözüm3) denkleminin kökleri olsun, İbrahim KOCA

44 Köklerin Mutlak Değerce Farkı:
denkleminde Kökler Toplamı: Kökler Çarpımı: Köklerin Mutlak Değerce Farkı: İbrahim KOCA

45 denkleminin kökleri olsun, Köklerin Kareleri Toplamı:
Köklerin Küpleri Toplamı: Köklerin TerslerininToplamı: İbrahim KOCA

46 Örnek4) Çözüm4) kökler ise
denkleminin kökler toplamını, kökler çarpımını ve köklerin terslerinin toplamını bulunuz. Çözüm4) kökler ise İbrahim KOCA

47 Örnek5) denkleminin kökler toplamını, kökler çarpımını ve köklerin mutlak değerce farkını bulunuz. Çözüm5) İbrahim KOCA

48 Örnek6) Çözüm6) denkleminin kökleri dir. ise
ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm6) İbrahim KOCA

49 Örnek7) Örnek8) denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa m kaçtır?
Çözüm7) Örnek8) denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa n kaçtır? Çözüm8) İbrahim KOCA

50 Örnek9) denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa m kaçtır? Örnek10) denkleminin kökleri arasında bağıntısı varsa kaçtır? İbrahim KOCA

51 Örnek11) Örnek12) denkleminde, ise, m kaçtır?
denkleminin köklerinden biri, diğerinin karesine eşittir. Buna göre, m kaçtır? İbrahim KOCA

52 Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Kurma:
Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem, dir. Örnek1) Kökleri 2 ve 3 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz. Çözüm1) veya İbrahim KOCA

53 Örnek2) Kökleri 3 ve -2 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz. Çözüm2) İbrahim KOCA

54 Örnek3) Kökleri -1 ve -4 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz. Çözüm3) İbrahim KOCA

55 Örnek4) Çözüm4) Kökleri ve 3 olan ikinci dereceden denklemi kurunuz.
her iki tarafı ile çarpalım: İbrahim KOCA

56 Örnek5) Çözüm5) Çözüm kümesi olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
İbrahim KOCA

57 Örnek6) Çözüm6) Çözüm kümesi olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
İbrahim KOCA

58 İkinci Dereceye Dönüştürülebilen Denklemler
1-) Polinomların Çarpımı veya Bölümü Şeklindeki Denklemler: ise, veya dır. ise, veya dır. Örnek1) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm1) İbrahim KOCA

59 Örnek2) Çözüm2) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

60 Örnek3) Çözüm3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ise ve dır.
İbrahim KOCA

61 Örnek4) Çözüm4) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ve dır. 22.11.2010
İbrahim KOCA

62 Örnek1) Çözüm1) 2-) Değişken Değiştirilerek Çözülen Denklemler
denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm1) olsun İbrahim KOCA

63 Örnek2) Çözüm2) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. olsun 22.11.2010
İbrahim KOCA

64 Örnek3) Çözüm3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. olsun 22.11.2010
İbrahim KOCA

65 İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
a, b, c, d, e, f birer reel sayı ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere, biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. En az bir tanesi ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olan iki ya da daha fazla denklemden oluşan sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. İbrahim KOCA

66 Örnek1) olduğuna göre, farkını bulunuz. İbrahim KOCA

67 Örnek2) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

68 Örnek3) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

69 Örnek4) olduğuna göre, x kaçtır? İbrahim KOCA

70 Örnek5) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

71 Örnek6) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

72 Örnek7) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

73 Örnek8) denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 22.11.2010
İbrahim KOCA

74 Köklü Denklemler a) b) Ders kitabımızda sayfa 70 deki alıştımalar:
Örnek: Aşağıda verilen köklü denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) b) İbrahim KOCA

75 c) ç) İbrahim KOCA

76 d) e) İbrahim KOCA

77 f) g) İbrahim KOCA

78 Mutlak Değerli Denklemler
Ders kitabımızda sayfa 71 deki alıştımalar: Örnek: Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) b) İbrahim KOCA

79 c) d) İbrahim KOCA

80 e) f) İbrahim KOCA

81 g) ğ) İbrahim KOCA