Computer Engineering Dept.

... konulu sunumlar: "Computer Engineering Dept."— Sunum transkripti:

1 Computer Engineering Dept.
“The approximation interval Bezier curves by a fuzzy rule-based system” ve “The approximation interval Bezier surfaces by a fuzzy rule-based system” Erkan ULKER Selçuk University, Computer Engineering Dept. Konya, Turkey

2 Problem Çok sayıda ölçüm verisinden iyi bir bezier model bulmak için genelde değişkenler olarak düğümlerle ve kontrol noktaları ile ilgileniriz. Çalışmada; verilen dağınık veri noktalarından iyi düğümleri, eğrinin eğriliği ve bükülmesi gibi geometrik bilgiye dayanarak seçtik. Bulanık kural tabanı ile seçilen düğümlere göre kontrol noktalarını bir interval şeklinde tahmin ederek interval Bezier eğrileri ürettik. Bu eğriler ile dağıtık veriyi en küçük kareler ile kıyasladık.

3 Interval Bezier eğriler
Bir interval Bezier, gerçel sayılardan oluşan düğüm vektörü(leri) ve interval katsayılar ile bir Bezier’dir. Derecesi n olan bir interval Bezier eğri için her kontrol noktası bir interval vektör ile temsil edilir

4 Bulanık çıkarım sistemleri
Bir bulanık çıkarım sisteminin temel yapısı dört esas bileşenden oluşur (1) Bir bilgi tabanı, hem kural tabanı olarak bilinen bulanık kurallar topluluğunu hemde veritabanı olarak bilinen üyelik fonksiyonları topluluğunu ihtiva eder; (2) Bir bulanıklaştırıcı, düzgün girişleri bulanık değerlere çevirir; (3) Bir çıkarım makinası, bulanık bir çıktı elde etmek için bulanık muhakeme mekanizması yürütür; (4) Bir durulaştırıcı, bu sonraki çıktıyı düzgün bir değere dönüştürür. Burada bulanık mantık ve bulanık kümeler hakkında temel bilgilerin bilindiği düşünülmüştür.

5 Önerilen Interval kübik Bezier eğri tahmini
Rekonstrüksiyon metotlarının tüm amacı, temel stratejisi aşağıdaki gibi olan bu değerleri tanımlamaktır: Eğri derecesi (k) sabit verilir. Eğrinin eğriliği ve bükülmesi gibi geometrik bilgiye dayanarak düğüm değerleri tj belirlenir ve inşa edilir. Belirlenen tj düğüm değerlerine göre interval kontrol noktaları ve bulanık çıkarım sistemiyle hesaplanır. Chetverikov ve Szabo (1999)

6 Bulanık çıkarım sisteminin Kural tabanının üretilmesi
Girişler: Qi eğri noktası ile P0 ilk kontrol noktası arasındaki açı (QiP0Pn), 1 Qi eğri noktası ile Pn son kontrol noktası arasındaki açı (QiPnP0), 2, ve Qi eğri noktası’nın P0 ve Pn kontrol noktalarına göre uygun geldiği bölge(P0’ın solunda, P0-P3 arasında (solda yada sağda) veya P3’ün solunda), ZONEOUTPUT. Qi eğri noktası’nın P0 ve Pn noktalarından geçen doğruya göre uygun geldiği bölge(P0-P3 doğrusunun üstünde veya P0-P3 doğrusunun altında), DirectionOUTPUT.

7 Bulanık çıkarım sisteminin Kural tabanının üretilmesi
Çıkışlar: P0 ve Pi kontrol noktaları arasındaki açı (PiP0Pn), 1 Pn ve Pi+1 kontrol noktaları arasındaki açı(Pi+1PnP0),2 Pi kontrol noktasının konumu (P0’ın solunda, P0-P3 arasında (solda yada sağda) veya P3’ün solunda), P1_ZONEINPUT. Pi+1 kontrol noktasının konumu (P0’ın solunda, P0-P3 arasında (solda yada sağda) veya P3’ün solunda), P2_ZONEINPUT. P0 ve Pi+1 kontrol noktaları arasındaki açı (Pi+1P0Pn), 1 Pn ve Pi kontrol noktaları arasındaki açı(PiPnP0), 2

8 Bulanık çıkarım sistemi için üyelik fonksiyonları
Çıkış üyelik fonksiyonları Giriş üyelik fonksiyonları

9 İnterval kontol noktalarının tahmini
Uydurulacak veri noktalarının ilk noktası Q0=(150,170) ve son kontrol noktası Qn=(650,170) olsun Qi=(270,170) noktasına uygun gelen ve interval kontrol noktalarının nasıl bulunur Qi eğri noktasına gore Qi eğri noktası ile P0 ilk kontrol noktası arasındaki açı ( ), 1=14, Qi eğri noktası ile Pn son kontrol noktası arasındaki açı ( ), 2= -5 Qi eğri noktası’nın P0 ve Pn kontrol noktalarına göre uygun geldiği bölge(P0’ın solunda, P0-P3 arasında (solda yada sağda) veya P3’ün solunda), ZONEOUTPUT= 2 elde edilir. Bu Girişler Bulanık Çıkarım Sistemine giriş olarak verildikten sonra elde edilen çıkışlar şunlar olmuştur 1L=66.61, 2L=63.65, ;1u=25.56, 2u=8.53, P1_ZONEINPUT=2, P2_ZONEINPUT=3, 1L =86.21, 2L =84.15, 1 u =2.29, ve 2 u =12.09. Qi=(270,170) noktasına uygun gelen interval kontrol noktaları

10 Deneysel Sonuçlar [P0]=[(150,170), (150,170)], [P1]=[ (581,603), (361,482)], [P2]=[(683,661),(684,703)], ve [P3]=[ (650,250), (650,250)] (a) Düzlemsel kübik interval Bezier eğrinin üst ve alt sınırı, (b) interval Bezier eğri içinde uzanan Ps1(t) örneklem eğrisi, (c) Önerilen algoritma ile tahmin edilen interval Bezier eğri. Kontrol noktaları Düğümler İnterval kontrol noktaları (150,170) (150,170),(150,170) 1 (200,180) (182,199),(213,201) 2 (300,265) (276,284),(321,297) 3 (400,445) (397,461),(404,483) 4 (500,731) (489,752),(509,761) 5 (600,438) (579,458),(617,475) 6 (650,250) (650,250),(650,250) Çizelge 4.3. Şekil 4.18.b için tahmin edilen interval Bezier eğrinin seçilen düğümleri ve hesaplanan kontrol noktaları

11 Deneysel Sonuçlar (a)Düzlemsel derecesi 7 olan interval Bezier eğrinin sınırları, (b) interval Bezier eğri içinde uzanan Ps2(t) örneklem eğrisi, (c) Önerilen algoritma ile hesaplanan control noktaları ve tahmin edilen interval Bezier eğri, (d) Kontrol noktaları ile birlikte tahmin eğrisi ve gerçek eğrinin görünümü Çizelge 4.4. Şekil 4.19.b için tahmin edilen interval Bezier eğrinin seçilen düğümleri ve hesaplanan kontrol noktaları Düğümler Örneklem Kontrol noktaları Tahmin edilen kontrol noktaları 77,51 (85,51),(79,55) 69,65 (61,58),(59,69) (59,61),(55,67) 69,78 (76,96),(68,98) (79,98),(73,100) 77,81 (111,85),(104,92) (113,92),(105,94) 84,81 (125,50),(111,55) (130,53),(120,60) 112,79 (148,54),(141,58) (143,64),(139,170) 124,80 (147,120),(137,123) (161,118),(145,121) 111,118 (111,118),(98,127)

12 Yüzeye genişletme ve yüzey kontrol noktalarının tahmini
Deneylerden görüldüğü gibi önerdiğimiz algoritma eğri derecelerini verilen noktalardan belirleyebilmektedir. Tahmin edilen eğri ise interval-değerli olmaktadır. İnterval Bezier eğriler kullanılarak iki parametrik yön için çapraz gergili interval Bezier yüzeyleride inşa edebiliriz. İnterval Bezier eğri tahmininde anahtar nokta kontrol noktaları ağının tahmin edilmesidir. İnterval Bezier eğri tahmininde kontrol noktalarının tahmini için kullanılan algoritma burada iki boyuta taşınmaktadır. Genel hatları ile interval Bezier yüzey tahmini algoritması şu adımları içerecektir. Veri noktalarını al (MxN grid şeklinde olduğu kabul edilir) Parametrik u yönü için interval Bezier eğri tahmininde kontrol noktalarının bulanık çıkarım sistemi ile tahmini algortimasını çalıştır ve kontrol noktalarını kaydet. Parametrik v yönü için interval Bezier eğri tahmininde kontrol noktalarının bulanık çıkarım sistemi ile tahmini algortimasını çalıştır ve kontrol noktalarını kaydet. Her iki parametrik u ve v yönleri için kontrol noktaları kümelerini birleştir (Birleştirme işleminde interval artimetikteki iki intervalin toplamı kuralı geçerlidir) Kontrol noktaları ağını döndür.

13 Yüzeye genişletme ve yüzey kontrol noktalarının tahmini
Deneysel çalışma Deneysel çalışma olarak matematiksel denklemi olan bir yüzeyden 20x20 lik veri noktaları elde edilmiştir. Daha sonra bu veri noktalarına geliştirdiğimiz interval kontrol noktaları tahmini algoritması uygulanmıştır

14 Yüzeye genişletme ve yüzey kontrol noktalarının tahmini
Deneysel çalışma Şekil 4.21 a) Tahmin edilen Interval Bezier kontrol noktaları ağı ve b) interval Bezier yüzey Çizelge 4.5. f(x,y) yüzeyi için interval Bezier kontrol noktaları hesaplama algoritması ile elde edilen yüzey ve gerçek yüzey arasındaki hata değerleri Sonraki slaytdadır! Hatalar hesaplanırken interval Bezier yüzeyin merkezi (centric) yüzeyi dikkate alınmıştır.

15 Deneysel Sonuçlar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,71 0,98 0,72 0,74 0,85 0,80 0,97 0,91 0,96 0,87 0,93 0,88 0,94 0,83 0,89 0,86 0,75 0,95 0,92 0,82 0,90 0,79 0,99 0,77 0,81 0,84 0,70 1,00 0,73 0,76 0,78

16 Katkı Sonuçları Bu makalede interval Bezier eğriye dayanan yeni bir sağlam eğri-rekonstrüksiyon algoritması sunduk. İlk olarak CAGD ve reverse engineering de üzerinde çalışılan bir problem olan düğüm değerlerinin seçimine yoğunlaştık ve Verilen dağınık veri noktalarından iyi düğümlerini eğrinin eğriliği ve bükülmesi gibi geometrik bilgiye dayanarak seçtik. Düğümlerin parametrizasyonunda centripetal metodunu kullandık. İkinci olarak a fuzzy rule-based system kullanılarak verilen bir noktaya uygun gelen iki interval kontrol noktasının üst ve alt sınır nokta değerinin nasıl hesaplanacağını tanımladık. Üçüncü olarak sınırları iki Bezier eğri parçası olan bir bakıma genelleştirilmiş bir interval Bezier eğri sunduk. İnterval Bezier eğri, verilen dağınık nokta silsilesinin gürültüsünü süzer ve kendisinin centric eğrisi final rekonstre edilmiş eğri olur. Algoritmayı yüzeylerin tahmini amacıyla parametrik ikinci boyuta taşıdık. Algoritma için ürün şekli doğrulama, model tasarımı, NC üretimi, deniz-rota keşfi ve hava tahmini vs de önemli uygulamalar vardır