LOGARİTMİK DEKREMAN (LOGARITHMIC DECREMENT) :

... konulu sunumlar: "LOGARİTMİK DEKREMAN (LOGARITHMIC DECREMENT) :"— Sunum transkripti:

1 LOGARİTMİK DEKREMAN (LOGARITHMIC DECREMENT) :
Mekanik bir sistemin sahip olduğu sönüm oranını belirlemenin uygun yöntemlerinden biri, sistemin serbest titreşimlerindeki salınım genliklerinin azalma oranını ölçmektir. Kritik altı sönümlü bir sistem için titreşim cevabı aşağıdaki gibi yazılabilir. Burada A ve  başlangıç şartlarından elde edilebilen değerlerdir. Bu formdaki bir titreşim cevabı eğrisi aşağıda verilmiştir.

2 Salınımlı titreşim cevabı üzerinde ard arda gelen iki tepe noktasının birbirine oranının logaritmasını (doğal logaritma) Logatirmik Dekreman (Logarithmic Decrement) olarak tanımlar ve aşağıdaki şekilde ifade edersek Sinüs fonksiyonu için t anındaki değer ile t+Td anındaki değerler eşit olacağı için ifade aşağıdaki şekle dönüşür. Sönümlü doğal periyot olduğu için olarak elde edilir. Sönüm oranı ζ’nin küçük değerleri için bu ifade

3    ve sisteme ait sönüm oranı
olarak yaklaşık şekilde elde edilebilir. Tam ifade kullanıldığında ise sisteme ait sönüm oranı, deneysel olarak elde edilmiş logaritmik dekreman değeri kullanılarak,    olarak elde edilebilir.

4

5 Logaritmik dekreman ifadesi aralarında n adet tam salınım bulunan tepe noktaları kullanılarak da elde edilebilir. Birbirini takip eden tepe noktaları oranlarının aynı olduğundan hareketle buradan 1. salınım genliği ile n+1. genlik (n. salınım sonundaki) arasındaki oran   olarak elde edilebilir. Burada n tam salınım sayısı, x1 başlangıç salınımı genliği, xn+1 ise n. salınım sonundaki genliktir. Dikkate alınan başlangıç salınımı genliği x0 ile gösterilir ise denklem

6  olarak da ifade edilebilir.
Örnek: Bir titreşim sisteminde titreşim genliğinin %50 azalması için gerekli salınım sayısını sistemin sönüm oranına göre ifade ediniz.  Bu denkleme ait grafik aşağıda verilmiştir. Bu grafik, titreşim genliğinin %50 azalması için gerekli tam salınım sayısının sönüm oranı ile değişimini göstermektedir.

7 COULOMB SÖNÜMÜ: KURU SÜRTÜNME
μkmg kx m k mg μkmg

8 Yarım çevrim Tam Çevrim x1 x2 x-1
x1 ve x-1 noktalarında kinetik enerji sıfır olacağından, iki nokta arasında kinetik enerjilerde bir fark yoktur. İki nokta arasındaki potansiyel enerji farkı, sürtünme kuvveti tarafından yapılan negatif işe eşittir. Yarım çevrim x1 x2 x-1 Tam Çevrim Hareket genliği Δ değerine düştüğünde, bu değerde yay kuvveti statik sürtünme kuvvetini yenemez, titreşim durur. Salınım frekansı sürtünmesiz durumdaki frekansa eşittir.

9 Viskoz Sönümlü Sistemlerde Enerji Yutumu:
Harmonik hareket yapan vizkoz sönümlü bir mekanik sistemde bir çevrimde yutulan enerji aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. X harmonik titreşim genliği ve ω ise titreşim frekansı olmak üzere c k m x(t) f(t) Vizkoz sönüm elemanı nedeni ile bir çevrimde yutulan enerji

10 Bir sistemin sönüm oranı sistemin farklı frekanslardaki harmonik zorlamalara cevabı kullanılarak elde hesaplanabilir. Bir sistemin frekans cevabındaki en büyük genlik değeri HR Quality Factor, Q (Kalite Faktörü) olarak adlandırılır. Sistemin sönüm oranı Yarı Güç Noktası olarak (Half Power Point) olarak adlandırılan (Frekans cevabındaki Maksimum Genliğin 3 dB (0.707*HR) düştüğü noktadaki frekans değerleri ile elde edilebilir. Yukarıda verilen mekanik sistemde m=20 kg, c=98 Ns/m ve k=3000 N/m olarak alınır ise hareket denklemi Olur. Sistemin sönüm oranı dir. Bu değeri Half power yöntemi ile elde etmeye çalışalım.

11 Mekanik sistemin transfer fonksiyonu, başlangıç şartlarının sıfır olduğu durum için hareket denkleminin her iki tarafının Laplace dönüşümü alınarak elde edilebilir. Sistemin sönümsüz doğal frekansı

12 %%%% Frekans Cevabı %%% clc;clear m=20; c=98; k=3000; F0=1; dw=0.0001;
w=0:dw:30; s=i*w; hs=1./(m*s.^2+c*s+k); genlik=abs(hs); plot(w,genlik) [a,b]=max(abs(hs)); b*dw % Rezonans Frekansı Frekans cevabındaki maksimum genlik ve bu genliğin okunduğu frekans değeri rad/s dir. Düşük sönümlü sistemler için dir. olarak elde edilir. Görüldüğü gibi bu değer sistemin gerçek sönüm oranına çok yakın bir değerdir.

13 YAPISAL SÖNÜMLEME (STRUCTURAL DAMPING)
Harmonik zorlama durumu için, titreşim frekansı ω, harmonik titreşim genliği X, sönüm katsayısı c olan bir sistem için bir döngü için (cycle) enerji yutumu aşağıdaki şekilde ifade edilmiş idi. Deneyimler ve deneysel çalışmalar görünür bir sönüm katsayısı (Amortisör) içermeyen sistemlerin de enerji yutumuna sahip olduğunu göstermektedir. Viskoz sönüm ile farklı olarak, malzeme iç sürtünmelerinden kaynaklanan yapısal sönümün titreşim hızı ile ilişkili olmadığı belirlenmiştir. Yapısal sönümleme konusunda yapılan deneyler, bir çevrimde oluşan enerji kaybının titreşim genliğinin karesi ile orantılı olduğunu göstermiştir. Burada α harmonik titreşim frekansından bağımsız bir orantı katsayısıdır. Bu tip sönümlemeye yapısal sönüm adı verilir ve elastik malzemeleredeki değişken gerilmeler ile ilişki olan histerezis olayı ile ilişkilendirilir.

14 Viskoz sönüm durumundaki bir çevrim için enerji yutumu ve yapısal sönüm durumundaki bir çevrim içindeki enerji kaybı eşleştirildiğinde, yapısal sönüm için eşdeğer sönüm katsayısı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Bu durumda tek serbestlik dereceli sistemler için hareket denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. Olarak tanımlanır ise

15 Yapısal sönüm için Kalite Faktörü olarak verilir.
ise yapısal sönüm faktörü olarak adlandırılır. kompleks direngenlik (complex stiffness), Yapısal sönüm için Kalite Faktörü olarak verilir.