İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK.

... konulu sunumlar: "İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK."— Sunum transkripti:

1 İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK

2 İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK
5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım. Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur. Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir. AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem denir. İşlemi göstermek için *, +, -, ,,, ... gibi işaretler kullanılır.

3 Örnek : A={ -1,0, 1} AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu; f(x,y)= x.y olsun. Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile gösterirsek, x y =x.y dir. Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0, 0 0=0 olduğunu bulunuz.

4 Örnek : Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor. a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir? b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir? Çözüm : a. 2#3= =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= = -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.

5 İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ : A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun; x, y  A için x  y A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır. x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır. x,y,z  A için (x  y)  z=x (y  z) ise işlemin birleşme özelliği vardır. x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz eleman denir. A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x  A için x  x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in  işlemine göre tersi denir. * A da tanımlı bir işlem olsun. x,y,z  A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

6 Örnek : Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ; x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi kapalımıdır. Çözüm : x,y,z  A için, x x,y,z  A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela; 2,7 z için 2 7= (2+7) /2= 9 / 2 Z dir.

7 A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor.
Örnek :  a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGEN A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. A kümesi  işlemine göre kapalı mıdır?  işlemi değişme özelliğine sahip midir?  işlemine göre etkisiz eleman nedir? b’ nin tersi nedir?

8 Çözüm :  işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.  x,y A için x y=y x olduğundan  işlemi değişmelidir.  x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten a c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir. b’nin tersi olsun. b x=c olmalıdır. x=d olduğu tabloda görülür.

9 Örnek: x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.  işlemi değişmeli midir?  işlemine göre etkisiz eleman nedir?  işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir? Çözüm: x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y x O halde  değişmelidir. Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır. x+e+2xe = x e+2xe =0 e(1+2x) =0 1+2x0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

10 a’nın tersi a-1 olsun. a a-1=0 olmalıdır. a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-a a-1 =-a/(1+2a) bulunur. Örnek : işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m  n2 = m.n ise 4 9 neye eşittir? Çözüm : 4 9= 1/ (1/4)  32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.

11 Örnek : R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir? Çözüm : Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için; (a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır. (a+x,b+y)= (a,b) ise a+x=a ve b+x= b x=0 , y=0 bulunur. Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

12 MODÜLER ARİTMETİK : Z ‘ de  ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y)  için x y (mod m) Örnek : Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm : , farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69) ...  denklik bağıntısı olduğu için x(x,y)   için xy (mod 5) Mesela; (1,6)  olduğu için  (mod 5) (74, 69)   olduğu için 69 (mod 5).....

13 Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları)
oluşturalım. 0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....} 1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....} 2={....., -8 , -3 , 2, 7, } 3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......} 4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......} 5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1 ,2, (m-1)} dir. ÖZELLİKLER : xy ( mod m) ve u= v olsun. x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir. x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.

14 x+ u  y+v (mod m) x-u y-v (mod m) x.u y. v ( mod m) c.x c.y (mod m) , c Z xn y-n ( mod m ) , n Z+ Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma :  x ,y Z/m için x +y = x+y x . y = x.y

15 Örnek : Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir? Çözüm : ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 = = =4+3 =7 = 2

16 Örnek : 71962 x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm : 710= 1 dir. Buna göre , 71964 (710)   5 (mod 11) MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım: A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

17 Kapalılık özelliği; Tanım :
G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun. (G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır. Kapalılık özelliği; Birleşme özelliği; Etkisiz eleman özelliği ; Ters eleman özelliği ; Tanım : (G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin (Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .) (Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

18 Tanım : (H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka adını alır. (H, ) değişmeli gruptur. H kümesi & işlemine göre kapalıdır. & işlemine göre birleşme özelliği vardır. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. (H, ,&) halka olmak şartıyla; & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka

19 Örnek : (Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır. Tanım : (C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını alır. (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur. & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) Sistemi değişmeli cisim adını alır.

20 ÖSS ve ÖYS'YE HAZIRLIK MATEMATİK 1-2
KAYNAKÇA : ÖSS ve ÖYS'YE HAZIRLIK MATEMATİK 1-2 GÜVENDER YAYINLARI SET-2 TÜMAY YAYINLARI