Diferansiyel Denklemler

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Bölüm Homojen Eşitlikler:

2 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.

3 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır.

4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır. Her iki tarafın x’e göre türevi alınırsa, (1.23) elde edilir.

5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur.

6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25) elde edilir.

7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25) elde edilir. Bunun sonucu olarak değişkenlerine ayrılan eşitliği elde edilir. Her iki tarafın integrali alınır ve ilgili değişkenler yerine konursa verilen homojen diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur.

8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Önce bu diferansiyel denklem türünü belirlemeye çalışalım.

10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür.

11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür. ifadesinin x’e göre türevi alınırsa (v, x’in bir fonksiyonudur) elde edilir.

12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, (1.26) bulunur.

15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27)

16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir.

17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir. Bu eşitlikte konursa, (1.29) elde edilir. (1.29) nolu eşitlik verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. (1.30) olduğundan, y = v x diyelim. ifadesi (1.30) nolu eşitlikte yerine konursa,

20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Her iki tarafın integrali alınırsa,

25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
bu son eşitlikte yerine konursa,

31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Bu ifade verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.