DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ

DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
DETERMİNANTLAR: Determinant kare matrisler kümesinden reel sayılar kümesine bir fonksiyondur. Kare matrisler kümesini K ile, determinant fonksiyonunu ile gösterirsek, olarak tanımlanır. 2×2 Tipinde Bir Kare Matrisin Determinantı: Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3×3 Tipinde Bir Kare Matrisin Determinantı: (SARRUS KURALI)
Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

n×n Tipinde Bir Determinantın i. Satıra Göre Açılımı
n×n tipindeki bir kare matriste i. satır ile j. sütün silindikten sonra geriye kalan (n-1)×(n-1) tipindeki matrisi Mij ile gösterelim. Mij matrisine aij elemanının minörü, sayısına da aij elemanının kofaktörü denir. olur. Tekil Matris: Determinantı sıfır olan matrise tekil matris denir. Tekil matrislerin tersleri yoktur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: Aşağıdaki determinantı birinci satıra göre açalım. Örnek: Aşağıdaki determinantı hesaplayınız.. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Determinantını 2. satıra göre açalım. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Determinantların Bazı Özellikleri 1. Bir matrisin herhangi bir satırındaki (ya da sütunundaki ) tüm elemanlar sıfır ise bu matrisim determinantı sıfırdır 2. Bir matrisin herhangi iki satırının (ya da iki sütununun) yerleri değiştirilirse determinantının işareti değişir. 3. Bir matrisin herhangi bir satırı (ya da sütunu) bir k sayısı ile çarpılırsa determinantı bu k sayısı ile çarpılmış olur. 4. Bir matrisin herhangi iki satırı (ya da iki sütunu) eşit ise ya da satırlarından (ya da sütunlarından) biri diğerinin belli bir katı ise determinantı sıfırdır. 5. Bir matrisin herhangi bir satırına (ya da sütununa) diğer bir satırın (ya da sütunun) belli bir katı eklenirse determinantının değeri değişmez 6. Bir matrisin determinantı transpozunun determinantına eşittir. 7. İki matrisin çarpımının determinantı bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5. özellikten yararlanarak determinantların hesaplanmasında kolaylıklar sağlanabilir. Örnek: veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

veya Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir Matrisin Transpozu: Bir A matrisinin satırları aynı numaralı sütunlar, sütunları da aynı numaralı satır yapıldığında elde edilen matrise A matrisinin transpozu denir ve AT ile gösterilir. A matrisi mxn tipinde bir matris ise doğal olarak AT nxm tipindedir. AT = A ise (aij = aji ) A matrisine simetrik matris, AT = -A ise (aij = -aji ) A ya antisimetrik matris denir. A-1=AT ise A matrisine ortogonal matris denir. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Transpozla İlgili Özellikler: 1. (AT)T= A 2. (kA)T= kAT 3. (A+B)T = AT+BT 4. (AB)T = BTAT 5. (A-1)T=(AT)-1 Teorem: A bir kare matris ise, olmak üzere A=S+Q biçiminde yazılabilir. Burada S bir simetrik matris, Q ise bir anti simetrik matristir. Gerçekten: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Matrisinin her bir elemanı yerine o elemanın kofaktörü yazılarak elde edilen matris C olsun. olsun. olur. Bu eşitlikten; “Bir kare matrisin tersinin olabilmesi için determinantı sıfırdan farklı olmalıdır.” denilebilir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

olmak üzere Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Matrisinin tersini Kofaktör Yöntemi ile bulunuz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Gerçekten bulunur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Matrisinin tersini Kofaktör Yöntemi ile bulunuz. Örnek: Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Cramer Yöntemi: Doğrusal denklem sistemi verilsin. Bu denklem sistemi A matrisinde olmak üzere şeklinde yazılabilir. i. sütun yerine B matrisi yazıldığında elde edilen matrisin determinantı ile gösterilirse olur. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Bir denklem sisteminin çözümünün olabilmesi için katsayılar matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması gerekir. Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Örnek: denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözünüz. Çözüm: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

ÖDEVLER 1. Aşağıda verilen matrislerin terslerini kofaktör yöntemi ile bulunuz. 2. Aşağıda verilen denklem sistemlerini Cramer Yöntemi ile çözünüz ve sağlamasını yapınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "DERS 3 DETERMİNANTLAR ve CRAMER YÖNTEMİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim