Matematikte Resimle İspat

... konulu sunumlar: "Matematikte Resimle İspat"— Sunum transkripti:

1 Matematikte Resimle İspat
ÜnalUfuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi

2 “Bir resim bin kelimeye bedeldir” İngiliz Atasözü
(A picture is worth more than a thousand words)

3 P. Halmos: “S. Lefshets, matematiği mantık olarak değil, resim olarak görürdü.”
G. Polya: “Bir resim çiz `` A. Einstein, H. Poincaré: Hayal gücü . . . J. Venn , H. Hasse : Diyagramlar . . .

4 “. . . Görmek . . .” = “ Anlamak . . .”

5 Resimle ispat da mantıksal ve matematiksel temele dayandırılmalıdır.
Bazen, salt resim yanıltıcı olabilir.

6 1. Casselman, B. , Pictures and Proofs, Notices , Amer. Math. Soc
1. Casselman, B., Pictures and Proofs, Notices , Amer. Math. Soc. , Vol. 47, No. 10, 2000, 2. Dubnov, J. S., Geometrik İspatlarda Hatalar (Çeviren: A. Nazmi İlker) , Türk Matematik Derneği Yayınları, No. 5, İstanbul , 1962. 3. Nelsen, R. B., Proofs Without Words, The Mathematical Association of America, Washington, 1993.

7 Geometride Resimle İspat Örnekleri
Pisagor Teoremi (M.Ö. 570) b a a2 + b2 = c2 c

8 Öklid’in ispatı(M.Ö. 295) . . a b c a2 + b2 c2 a b c a2 + b2 = c2

9 Chou pei suan ching’in ispatı(M.Ö. 200 ?):
a2 + b2 = c2 a b c a2 b2 c2 b2 a2 c2 b a

10 c b a c2 b2 a2 2 1 5 3 4 a2 + b2 = c2

11 20. Amerikan başkanı James A. Garfield’in ispatı(1876) . .
c Alan = 2.(1/2) ab + (1/2). c2 = (1/2).(a+b)2 a2 + b2 = c2 a c b

12 Dairenin Kareye Dönüşümü
. A B . . A B r r  r a  r . r = a2

13 Aritmetikte Resimle İspat Örnekleri
= ?

14 1 2 3 ... 98 99 +100 + 100 +99 +98 ... +3 +2 +1 ... C. F. Gauss x x 100  101 x = = (1/2)  100  101 = 5050

15 x = 1+2+3+ . . . +n = (1/2). n .(n+ 1) 1 + n . . . . . n+1 2 + n-1 3
... n-2 n-1 n x n + n-1 + n-2 ... x n+1 n+1 C. F. Gauss n . (n+ 1) x = n = (1/2). n .(n+ 1)

16 Resim Bunun Neresinde? . . .

17 1 2 3 n-1 n n-1 n n+1 x = n = (1/2). n.(n+1) Bu ispatın eski Yunan’da bilindiği söylenir...

18 Aynı Sonuç İçin Başka Bir Resim:
1 2 3 n-1 n n = (n2/2) + n.(1/2) = (1/2).n.(n+1) (n2/2) n.(1/2)

19 Tek sayıların toplamı ... (2n-1) = ?

20 1+3+5+7+ . . . +(2n-1) = n2 2 3 n-1 n Nicomachus (M.Ö. 100) 1 2 3 n 1

21 Aynı sonuç için başka bir resim . . .

22 n 1 2 3 2n (2n)2 tane küçük kare

23 (2n-1) = (1/4).(2n)2=n2

24 = Kareye Tamamlama (x+a)2 x2+2ax – a2 x2+2ax = (x+a)2 – a2 x2 x2 2ax +

25 Aritmetik Geometrik Ortalama Eşitsizliği
b

26 Yanıltıcı Resimler . . . Kırmızı doğru parçalarından hangisi daha uzundur?

27  [(25/4) - 4]  9/4 Çapları birer birim artarak büyüyen çemberler... Boyalı alanlardan hangisi daha büyük?

28 Kenar uzunluğu 21 cm olan bir kareyi aşağıdaki gibi parçalara ayıralım:
13 8 8 B D 13 A 13 C 8

29 C B D A 8 13 D A B C 13 13 21 2121 = 441 1334 = 442 A D B C

30 Leonardo Davinci’nin İspatı (1452-1519) . .
B` A` G F E D C B a b c a b c a b c CBB`C`+CAA`C`= c2 +2ABC ABED + FGDE = a2 + b2 + 2ABC a2 + b2 = c2

31 Perigal(1873) . . b a c b a c2 b2 a c a2 a2 + b2 = c2

32 Bir Cebir Formülü Daha .. (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab a+b a+b a-b a-b b a

33 Başka Bir Cebir Formülü:
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2 ) b b b a + a-b a b a-b = + (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2 )

34 Geometrik Dizinin Toplamı
1+r+r2+r rn = ? 1-r r 1-r (1/r) = 1+r+r2+r rn r (1/r)-1 1 r r2 r3 1 1+r+r2+r rn = 1-r