OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI

... konulu sunumlar: "OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI"— Sunum transkripti:

1 OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI

2 Olasılık Sonlu sayıda yinelenebilen bir denemede, olası sonuçların herhangi birinin ortaya çıkma (elde edilme) şansı ilgili sonucun OLASILIĞI olarak adlandırılır Olasılık P( ) simgesi ile gösterilir. ( ) içinde olasılığın hangi sonuca ait olduğu belirtilir. gibi

3 Olasılık Olasılık, ilgilenilen sonucun oransal sıklığıdır.
Bir A denemesine ilişkin olası sonuçlar, Her sonuca ilişkin tekrar sayıları olduğunda

4 Olasılık

5 Olasılık Örnek 1: Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı aşağıdadır. Evre Sayı % E1 (X1) 75 (m1) 62,5 E2 (X2) 25 (m2) 20,8 E3 (X3) 15 (m3) 12,5 E4 (X4) 5 (m4) 4,2 Toplam 120 100 Kliniğe yeni başvuran bir hastanın 1. evrede olması olasılığı

6 Olasılık Örneklem Uzayı
Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye denir. Bir Sonucun Tümleyeni Kendisi dışındaki diğer sonuçların tümüne, ilgili sonucun tümleyeni denir.

7 Olasılık Yığılımlı Olasılık: Olasılıklarına yığılımlı olasılık denir.
olmak üzere ise

8 Olasılık Olasılık Yığılımlı Olasılık: Örnek 1(devam): Evre Sayı %
E1 (X1) 75 (m1) 62,5 E2 (X2) 25 (m2) 20,8 E3 (X3) 15 (m3) 12,5 E4 (X4) 5 (m4) 4,2 Toplam 120 100 Kliniğe yeni başvuran bir hastanın en çok 2. evrede olması olasılığı

9 A B Olasılık Ayrık Olaylar
Aynı anda ortaya çıkması olası olmayan olaylara denir. A B

10 Olasılık Kesişim İki ya da daha fazla ayrık olmayan olayın bir arada ortaya çıkması olayına denir. A B

11 Olasılık Örnek 2: Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verilmiştir. D+ D- T H+ 20 40 H- 15 45 60 35 65 100 D+ H+

12 Olasılık A A B B Birleşim
İki ya da daha fazla olayın herhangi birinin ortaya çıkması olayına denir. Ayrık Olmayan Olaylarda A B Ayrık Olaylarda A B

13 Olasılık Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
Bağımsız Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olmadığı olaylara bağımsız olaylar denir. Bağımlı Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olduğu olaylara bağımlı olaylar denir. ise A ve B olayları bağımsızdır. ise A ve B olayları bağımlıdır.

14 Olasılık Koşullu Olasılık
Aynı anda ortaya çıkması olası, ayrık olmayan olaylardan birinin ortaya çıkması, diğerinin ortaya çıkma olasılığını değiştirir. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.

15 Olasılık Koşullu Olasılık
Örnek 3: Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verildiğine göre bu toplumda 50 yaş üstü hipertansiyonu olan bir kişide diyabet görülmesi olasılığı nedir? D+ D- T H+ 20 40 H- 15 45 60 35 65 100 =0,5

16 Olasılık Bayes Eşitliği
Önsel olasılıklar (önceden bilinen) yardımı ile herhangi bir olaya ilişkin olasılığın bulunmasında kullanılan eşitliktir. Tıpta karar verme sürecinde; herhangi tanı yöntemi ile verilen kararın doğru olma olasılığını bulmada yararlanılan bir eşitliktir. Koşullu olasılığın bir düzenlemesidir.

17 Bayes Eşitliği Örnek 4: Bir hastalığa karar vermek için kullandığımız test sonucu pozitif (hastalık var) olduğuna göre sonucun doğru olma olasılığı P(H+/T+) nedir? Bu olasılığı bulmak üzere, Önsel olasılıklardan toplumda hastalık görülme olasılığı P(H+) P(H-) Önsel olasılıklardan toplumda hastalık görülmeme olasılığı Testin önceden belirlenmiş doğru pozitif sonuç verme olasılığı P(T+/H+) Testin önceden belirlenmiş yanlış pozitif sonuç verme olasılığı P(T+/H-)

18 Bayes Eşitliği Örnek 4 (devam):
Önsel olasılıklardan toplumda hastalık görülme olasılığı P(H+)=0,12 P(H-)=0,88 Önsel olasılıklardan toplumda hastalık görülmeme olasılığı P(T+/H+)=0,17 Testin önceden belirlenmiş doğru sonuç verme olasılığı Testin önceden belirlenmiş yanlış pozitif sonuç verme olasılığı P(T+/H-)=0,09

19 OLASILIK DAĞILIMLARI İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine OLASILIK DAĞILIMI adı verilir. İstatistiksel çözümlemeler belirli bir olasılık dağılımına dayandırıldığından çözümlemede kullanılan değişken(ler)in bu olasılık dağılımına uyması gerekir.

20 OLASILIK DAĞILIMLARI Herhangi olasılık dağılımı , y = f(x) biçiminde tanımlanan matematiksel bir fonksiyondur. y, x değerlerinin ortaya çıkma sıklığını gösterir. f(x), yoğunluk fonksiyonu olarak da adlandırılır.

21 OLASILIK DAĞILIMLARI f(x), x değişkeninin sürekli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır. f(x), x değişkeninin kesikli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır.

22 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal dağılım Binom dağılımı Poisson dağılımı
Çok sayıda olasılık dağılımı bulunmaktadır. Bunlar arasından en sık kullanılanları: Normal dağılım Binom dağılımı Poisson dağılımı

23 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
İstatistik çözümlemelerde en çok yararlanılan olasılık dağılımıdır. µ, kitle ortalamasını ve 2 kitle varyansını göstermek üzere dağılım (yoğunluk) fonksiyonu,

24 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Dağılım grafiği, aşağıdaki gibidir.

25 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Dağılım ortalamaya göre simetriktir. Alanın % 50’si ortalamadan geçen dikey çizginin sağına, % 50’si soluna düşer. Eğri altında kalan toplam alan bir birim karedir. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine eşittir.

26 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım %68,26

27 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım %95,44

28 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım %99,74

29 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Ortalamaları farklı, standart sapmaları aynı olan NORMAL dağılımlar 40 50 60

30 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Ortalamaları aynı, standart sapmaları farklı olan NORMAL dağılımlar 35 40 45 50 55 60 65 70 75

31 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Normal dağılımda yığılımlı olasılıklar, işlemi ile, herhangi [a b] aralığına ilişkin olasılık işlemi ile bulunabilir. Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay olmadığından ; bu hesaplamalar için standart normal dağılım yaklaşımından yararlanılır.

32 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Standart Normal Dağılım: Normal Dağılımın özel bir biçimidir. Normal dağılıma dayalı hesaplamalarda kullanıcılara kolaylık sağlar. µ=0 ve =1 dir. Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

33 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Eğer bir x değişkeninin normal dağıldığı biliniyorsa eşitliği ile elde edilen z değerleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma uyar. Dağılımın grafiği aşağıdadır.

34 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Bu özellik, ortalama ve standart sapmanın değerine bağlı değildir. Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun x değişkeninin normal dağılması bu özelliğin geçerliği için yeterlidir. Çeşitli z değerleri için 0 ile z arasında kalan alanı gösteren z tablosu geliştirilmiştir. Bu tablodan yararlanarak normal dağılıma dayalı hesaplamalar yapılabilir.

35 Standart Normal Dağılım Tablosu

36 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım Örnek 5: ? 190 200
10000 yetişkin üzerinde yapılan kolesterol tarama testi sonucunda kolesterol değerlerinin 190 ortalama ve 50 standart sapma ile normal dağıldığı görülmüştür. Kolesterol normal sınırlarının olduğu bilindiğine göre kaç kişinin kolesterolü yüksektir? ? 190 200

37 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Standart Normal Dağılım yaklaşımını ve bulunur. eşitliğini kullanarak ? 0,2

38 OLASILIK DAĞILIMLARI Normal (Gauss) Dağılım
Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak z=0,2 değerine karşılık gelen olasılık değeri:

39 OLASILIK DAĞILIMLARI 0,07932 ? 0,2 Yetişkinlerin %42’sinin kolesterolü yüksektir. Çalışma kişi üzerinde yapıldığından 0,42068 * = 4207 kişinin kolesterolü yüksektir. 39