Sürekli Olasılık Dağılımları

... konulu sunumlar: "Sürekli Olasılık Dağılımları"— Sunum transkripti:

1 Sürekli Olasılık Dağılımları
Bir rassal değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene “Sürekli rassal değişken” adı verilmektedir. Sürekli rassal değişkenin aldığı değerler sayılabilir olmayıp, gerçek sayılar eksenindeki bütün değerleri alabilir. Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Çünkü gerçek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayıda sayı (nokta) mevcuttur. Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı 1/∞=0 dır. O halde sürekli tesadüfi bir değişkenin her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olduğundan, her hangi bir olasılıktan bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.

2 Sürekli Olasılık Dağılımları
X sürekli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) (kümülatif yoğunluk fonksiyonu) olsun. Bunun türevi olan F’(x)=f(x) ’e olasılık fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu ) diyebilmek için şu iki şartın birlikte sağlanması gerekir. 1) 2) 1. şart X’in olasılığının sıfır veya pozitif alacağını 2. şart ise bütün örnek uzayın olasılığının 1’e eşit olacağını ifade eder. Buradan hareketle , a ve b aralığında bulunan X değişkenin olasılığı şöyle tarif edilir.

3 Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için a) k sabiti ne olmalıdır ? b) P(1<X<3)ü hesaplayınız . c) Grafiğini çiziniz. Çözüm: a) fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için şu iki şartı sağlaması gerekli idi Şartlardan 1. si için k>0 şartı yeterlidir. 2. Şart için şu işlem yapılarak k bulunur.

4 Sürekli Olasılık Dağılımları

5 Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: Aşağıda verilen fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için a) k ne olmalıdır. b) P(X>0,5) i bulunuz. Çözüm: a) b)

6 Sürekli Olasılık Dağılımları
Örnek: X tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekildedir. a) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. b) P(X>2) olasılığını, c) P(-3<X<4) olasılığını, d) P(X=5) olasılığını hesaplayınız. Çözüm: a) b) c) P(-3<X<4)=P(0<X<4)=F(4)=

7 Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım
X sürekli değişkeninin tanım aralığındaki olasılıkları eşit ise X in dağılımı uniform dağılım olarak kabul edilir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir. Burada  ve  dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. () Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.

8 Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım
Örnek: X tesadüfi değişkeni -2<X<2 aralığında uniform olarak dağılmıştır. a) P(X<1) olasılığını bulunuz. b) yi hesaplayınız. Çözüm:

9 Düzgün dağılım olasılık fonksiyonu grafikleri

10 Düzgün dağılımın beklenen değer ve varyansı
Düzgün dağılım fonksiyonu: Düzgün dağılımın beklenen değeri:

11 Düzgün dağılımın varyansı
Varyans için önce E(X2) hesaplanır. Düzgün dağılımın varyansı:

12 2. Üstel (Exponential) dağılım
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir. Dağılımın tek parametresi µ olup, dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri). µ>0 olduğundan f(x)>0 olup olasılık fonksiyonunun 1. şartı yerine gelmiş olur. 2. Şart için dağılımın tanım aralığında integrali alınır. Böylece fonksiyonun olasılık fonksiyonu olduğu görülür.

13 Üstel (Exponential) dağılım
Üstel dağılımın olasılık dağılım fonksiyonu Üstel dağılımın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu grafikleri

14 Üstel (Exponential) dağılım
Örnek:Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma sürelerinin (saat cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür ve ortalama arızasız çalışma süresinin 24 saat olduğu hesaplanmıştır. Buna göre a )Rastgele seçilen bir cihazın en az 12 saat arızasız çalışma olasılığını hesaplayınız b) En fazla 36 saat arızasız çalışması olasılığını bulunuz ? c) Seçilen cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı %80 olabilmesi için bu cihazların ortalama arızasız çalışma süresi ne olmalıdır?

15 Üstel (Exponential) dağılım
Çözüm: a) b) c)

16 Üstel dağılımın beklenen değer ve varyansı
Üstel dağılım fonksiyonu: Beklenen değer:

17 Üstel (Exponential) dağılım
Problem: Bir otomobil servis istasyonuna gelen otomobillerin servis süresinin üstel olduğu ve en çok 60 dk servis görme olasılığı %40 olduğuna göre; a) Ortalama servis süresini hesaplayınız

18 Üstel (Exponential) dağılım
b) En az 100 dk. süreyle servis görme olasılığını bulunuz. c) Servis süresinin en az 20dk. ve ortalamasının 70dk olan uniform dağılıma uyması durumunda en fazla servis süresi ve herhangi bir otomobilin 85 dk. dan fazla servis görme olasılığını bulunuz.