Faktoriyel Kavram Genel Çarpma Kuralları Permütason Test.

... konulu sunumlar: "Faktoriyel Kavram Genel Çarpma Kuralları Permütason Test."— Sunum transkripti:

1 Faktoriyel Kavram Genel Çarpma Kuralları Permütason Test

2 n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyel
Faktoriyel Kavram + n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyel denir. Ve n! şeklinde gösterilir. 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır. n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1 = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir. Örnek: 7!+8! 6!+7! İşleminin sonucu kaçtır? A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! E) 42! ! ! ! çözüm

3 n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyel
Faktoriyel Kavram + n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyel denir. Ve n! şeklinde gösterilir. 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır. n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1 = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir. Örnek: 7!+8! 6!+7! İşleminin sonucu kaçtır? 7! + 8! 7.6! ! 6! + 7! 6! + 7.6! = 6!(7+56) 6!(1+7) 63 olur Cevap C 8 A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! 42! ! ! ! = çözüm =

4 Faktoriyel Kavram Örnek: x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre x! y! in alacağı en küçük değer kaçtır? A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x çözüm

5 Faktoriyel Kavram Örnek: x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre in alacağı en küçük değer kaçtır? A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x çözüm x > y iken en küçük değeri alabilmesi için x = y + 1 olmalıdır. olur. Cevap D

6 Faktoriyel Kavram Örnek: İse n doğal sayısının alabileceği değer- ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2} çözüm

7 İse n doğal sayısının alabileceği değer-
Faktoriyel Kavram Örnek: İse n doğal sayısının alabileceği değer- ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2} çözüm İse n=0 ise n.(n+1) = 0.(0+1) = 0 n=1 ise n.(n+1) = 1.(1+1) = 2 n=2 ise n.(n+1) = 2.(2+1) = 6 Olacağından n nin alabileceği değerler kümesi; {1} olur Cevap D

8 Faktoriyel Kavram Örnek: İşleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 120 çözüm

9 İşleminin sonucu kaçtır?
Faktoriyel Kavram Örnek: İşleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 120 çözüm ise =286-(28+15) =243 olur Cevap D

10 Farklı şekilde elde edilebilir
Genel Çarpma Kuralları Bir işlem a farklı yolla, bunu izleyen her bir işlem, bir önceki işleme bağlı olarak b,c,d ... Farklı yolla elde edilsin. Bu işlemlerin tamamı sıralı şekilde; a.b.c.d.... Farklı şekilde elde edilebilir Buna saymanın temel prensibi veya genel çarpma kuralı denir. A B C D 3 yol yol yol A dan C ye = 12 farklı şekilde A dan D ye = 24 faklı şekilde gidilebilir. 5 ceket, 3 pantolon, 6 gömleği olan bir kişi 5.3.6 = 90 farklı şekilde giyinebilir.

11 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9 farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’ya kaç farklı şekide gidebilir? A) 9! B) 8! C) 72 D) E) 77 çözüm

12 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9 farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’ya kaç farklı şekide gidebilir? A) 9! B) 8! C) 72 D) E) 77 çözüm Ankara Konya Adana 8 farklı yol 9 farklı yol Bir otobüs Akara’dan Adana’ya her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla 8.9 = 72 farklı şekilde gidebilir. (Genel Çarpma Kuralı) Cevap C

13 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir. A)10 B) 20 C) 30 D) E) 50 çözüm

14 6 5 Genel Çarpma Kuralları Örnek:
A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir. A)10 B) 20 C) 30 D) E) 50 çözüm {1,2,3,4,5,6} 6 sayıdan bir tanesi 6 5 Geriye kalan 5 sayı 6.5=30 tane sayı yazılabilir Cevap C

15 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: {1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındaki rakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaç tane doğal sayı yazılabilir? A)12 B) 24 C) 60 D) E) 240 çözüm

16 Cevap B Genel Çarpma Kuralları Örnek:
{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındaki rakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaç tane doğal sayı yazılabilir? A)12 B) 24 C) 60 D) E) 240 çözüm = =24 olur. Cevap B {4} {5} {geriye kalan 1 sayı gelebilir.} {geriye kalan 2 sayıdan biri gelebilir.} {geriye kalan 3 sayıdan biri gelebilir.} {4,5 in dışında geriye kalan 4 sayıdan biri gelebilir}

17 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? A)30 B) 90 C) D) E)8460 çözüm

18 Genel Çarpma Kuralları
Örnek: Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir? A)30 B) 90 C) D) E)8460 çözüm Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmayacağından; 5 matematik kitabı = 5! şeklinde 2 edebiyat kitabı = 2! şeklinde 3 tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır. Burada matematik, edebiyat, tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür, böyle olunca 3! Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse; 3! (5! .2! .3!) = 8640 olur Cevap D MMMMM EE TTT

19 Permütasyon 1.tanım n tane elemanın bir sıra üzerinde r li sıralanışlarından her birine n nin r li bir permütasyonu denir. n elemanının r li permütasyonlarının sayısı, n r olmak üzere; bu formulden şu sonuçlar çıkarılabilir. P(n,r) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır. P(n,n) = n! P(n,1) = n p(0,0) = 1 p(n,0) = 1

20 Permütasyon Örnek: işleminin sonucu nedir? A)14 B)22 C)28 D) E)42 çözüm

21 Permütasyon Örnek: işleminin sonucu nedir? A)14 B)22 C)28 D) E)42 çözüm veya n den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılarak bulunabilir. Olur cevap B

22 Permütasyon ! Permütasyonlarda birbirinden farklı elemanların değişik sıralanışları söz konusudur. Permütasyon olan ifadeler genelde; Kaç türlü sıralanabilir? Dizilebilir? Poz verebilir? Kaç türlü sayı yazılabilir? Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir? Yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir? Şeklindedir. !

23 Permütasyon 2. Dairesel dönel permütasyon n elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin etrafında birbirinden farklı dizilişlerinden her birine, dairesel permütasyon denir. n elemanlı bir çember etrafında; (n-1)! Farklı bir şekilde sıralanır

24 Permütasyon Örnek: 7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire şeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 24 B) 48 C) D) E) 90 çözüm

25 Permütasyon Örnek: 7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire şeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 24 B) 48 C) D) E) 90 çözüm Anne ile baba yan yana oturacağından 1 kişi gibi düşünülür. 6 kişi yuvarlak masa etrafında 5! Değişik şekilde oturur. anne ile baba kendi aralarında 2! Değişik şekilde oturacağından; 5! . 2! = = 240 değişik şekilde oturabilir. Cevap D

26 Permütasyon 3 tekrarlı permütasyon Önce sanki tekrar eden yokmuş gibi sıralanır. Sonra tekrar eden durumların sıralanış sayısı atılır. Çarpım durumundaki ifadeden, fazlalıkların atılması bölme ile yapılır.

27 Permütasyon Örnek: MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir? A) 9! B) 8! C) D) E) 7! çözüm

28 Permütasyon Örnek: MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir? A) 9! B) 8! C) D) E) 7! çözüm M -> 2 tane A -> 2 tane T -> 2 tane tekrar edilmiştir. Olur cevap C

29 Test 1- K={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları tekrarsız farklı çift sayı yazılabilir? A) 30 B) 36 C) 42 D)47 E) cevap A 2- A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin rakamları 500 ile 700 arasında rakamları tekrarsız kaç değişik çift sayı yazılabilir yazılabilir? A) 32 B) 40 C) 44 D)72 E) cevap D 3- A={1,2,3} kümesinin harfleriyle yazılabilecek rakamları tekrarsız 3 basamaklı sayıların toplamı kaçtır? A)1200 B)1332 C)2440 D)2684 E) cevap B 4- Bir lokantadaki 6 çeşit çorba, 4 çeşit tatlı ve 3 çeşit kebapdan birer tane isteyen müşteri üç kaplık yemeği kaç farklı şekilde isteyebilir? A)13 B)72 C) 6!4!31 D) E) cevap B olduğuna göre n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) cevap B

30 Test 6- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek 4 basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile kalansız bölünür ? A) 108 B) 120 C) 240 D)320 E) cevap E 7- 4 matematik, 4 fizik kitabı aynı dersin herhangi iki kitabı yanyana gelmemek şartıyla bir rafa kaç farklı biçimde dizilebilir? A) 120 B) 248 C) 256 D)576 E) cevap E 8- 4 çocuklu bir aile 6 kişilik bir banka anne ile babanın arasına 2 çocuk oturmak şartıyla kaç farklı biçimde oturabilirler? A)66 B)120 C)144 D)240 E) cevap C 9- “KARABAŞ” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesinde A dan sonra B harfi gelir? A)64 B)120 C) 230 D) E) cevap E

31 Test Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir? (Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil) 10- A) 75 B) 85 C) 90 D) 95 E) cevap D Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir? (Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil) 11- A) 256 B) 315 C) 355 D) 395 E) cevap D

32 Test -Zor- 1- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı 400’den büyük, rakamları tekrarsız kaç tek sayı yazılabilir ? A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) cevap E 2- 8 kişilik bir ailede en küçük çocuk anne ile baba arasında olmak üzere yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 2.5! B) 3!.5! C) 2.7! D)3.6! E)6! cevap C 3- “KAPKARA” kelimesinin harfleriyle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesi A ile başlar, fakat A ile bitmez? A) 3! B) 4! C) D) 5! E) 6! cevap D 4- Farklı 3 matematik ve 2 Fizik kitabı, herhangi iki matematik kitabı yanyana gelmemek şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir? A)10 B) 12 C) 16 D) E)24 cevap B sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? A) 220 B) 240 C) 260 D) 280 E) 300 cevap A

33 Test -Zor- 6- Şekildeki noktalardan kaç değişik doğru çizilebilir?
A) 16 B) 21 C) 22 D) 24 E)28 7- Şekildeki 9 noktadan üç tanesini köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir? A) 84 B) 80 C) 72 D) 60 E) 48 cevap C