ÜÇGENLER Aylin Karaahmet.

... konulu sunumlar: "ÜÇGENLER Aylin Karaahmet."— Sunum transkripti:

1 ÜÇGENLER Aylin Karaahmet

2 ! TANIM ! A, B ve C doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere [AB], [BC] ve [CA]’nın birleşimine ÜÇGEN denir.

3 ABC = [AB]U[BC]U[CA]’dır.
A, B ve C noktaları üçgenin köşeleridir. [AB], [BC] ve [AC] üçgenin kenarlarıdır. |BC|= a |AC|= b |AB|= c üçgenin kenar uzunluklarıdır. 4. A, B ve C köşeleri üçgenin iç açılarıdır. Köşe A Z X Y B C

4 NOT Matematikte karşımıza en çok çıkan geometrik şekil üçgendir. Çokgenler içinde kenar sayısı en az olan üçgenler. Diğer çokgenlerle ilgili özellikleri de ortaya çıkarır.

5 ÜÇGEN ÇİZME Bir üçgeni çizebilmek için bu üçgene ait bazı elemanların ölçülerini bilmemiz gerekir: üçgenin bütün kenar uzunlukları veya üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı veya üçgenin iki açısı ve bir kenar uzunluğu

6 Örn: Önce [KL]’i çizelim. K noktasını merkez alarak açı ölçerle 70°yi
LKM çizelim. ΙKMΙ = 4 cm olsun. L ve M noktalarınıbir doğru parçası ile birleştirelim. K L M 4 Cm 70° K L 5 Cm

7 ÖDEV… Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan, arasındaki açısı 45° olan üçgen çiziniz.

8 - ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI -
1) Yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına veya karşı kenarının uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. “h” ile gösterilir. h h

9 ! NOT ! 1) Bir ABC üçgeninde üç kenara ait yükseklikler A
a kenarına ait yükseklik ha c ha b hc Diklik Merkezi hb B C a

10 2) Üçgen DİK AÇILI bir üçgense; DİK KENARLARIN İKİSİDE üçgenin yüksekliğidir.
a kenarına ait yükseklik c kenarı A A c kenarına ait yükseklik a kenarı b c ha b B B C a C hc

11 3) Geniş açılı bir üçgende yükseklikler çizildiğinde iki yüksekliğin üçgenin dışında diğer yüksekliğin içinde olduğu görülür.

12

13

14 Örn: A ABC üçgeninde s(C) < s(A) ise |BC|’nin en küçük tam sayı değeri için yükseklikler nasıl sıralanır? 5 br 7 br B C

15 ÇÖZÜM |AB|-|AC|<|BC|<|AB|+|AC| 7-5<|BC|<7+5 2<|BC|<12 Açılara göre |BC|<7 |BC|=8 br. a=8 br, b=5 br, c=7 br ha<hc<hb’dir.

16 YÜKSEKLİK DURUMU ! 1-) Bir ABC ninde a,b ve c kenar uzunlukları olmak üzere a < b < c ise ha > hb > hc dir. Terside doğrudur. EN UZUN KENARA AİT YÜKSEKLİK EN KISADIR.

17 ! 2-) Bir ABC ninde s(A) > s(B) > s(C) ise ha < hb < hc dir. AÇILARLA YÜKSEKLİKLER DE TERS ORANTILIDIR.

18 Örn: Bir ABC ninde s(A) = 63° ve s(B) = 57° ise yükseklikler arasındaki ilişki nasıldır?

19 ÇÖZÜM s(C)=180°-(57°+63°)=60° |AD|<|CF|<|BE| s(A)>s(C)>s(B) ha<hc<hb A c b E F B C D

20 2) Kenarortay : Üçgenin bir köşesinden karşı kenarı iki eş parçaya ayıracak şekilde çizilen doğru parçasıdır. “V” ile gösterilir. V // //

21 NOT: Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir
NOT: Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir. Üçgenin ağırlık merkezi Va a kenarına ait kenarortay Vb b kenarına ait kenarortay Vc c kenarına ait kenarortay A / /// Va Vc / /// Vb // // C B

22 Örn: ABC’nde |AD|=12 br. olduğuna göre |AG| kaç br. dir? A / E G / //

23 ÇÖZÜM |AG|=2|GD| |GD|= k ise |AG|=2k |AD|=|AG|+|GD| = 2k + k =3k 12=3k k=4 |AG|= 2k = 2.4 = 8br. dir

24 Örn: ABC ninde I EG I = 2x – 2 br I GC I = 3x+1 br olduğuna göre I EC I = ? Br dir. E

25 I GC I = 2 I EG I 3x+1 = 2. (2x-2) 3x+1 = 4x-4 5 = x I EG I = 2x-2 2
I GC I = 2 I EG I 3x+1 = 2.(2x-2) 3x+1 = 4x-4 5 = x I EG I = 2x – 2= 8 br I GC I = 3x = 16 br I EC I = = 24 br ÇÖZÜM

26 C) Açıortay Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır. “n” ile gösterilir. n Dış açıortay İç açıortay

27 A na a kenarına ait açıortay nb b kenarına ait açıortay na nc nb B C

28 ÇÖZÜM I DA I = I BD I s ( ABD ) = 80° ( ikizkenar) Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüsünün toplamına eşittir. s ( D ) = 80° + 80° = 160° s ( B ) = 10° ve s ( C ) = 10° (ikizkenar üçgen)

29 Üçgenin iç açıları toplamı 180 ° dir
Örn: [CE] [AD] I AE I = I ED I I AB I = I CD I s ( BAC ) = 68° s (CAD ) = ?

30 ÇÖZÜM [CE] , AD nin kenar ortayı olup ACD ikiz kenar olur. Öyle ise I AC I = I CD I dir. s (ABC) = s(ACB) = (180° - 68° ) / 2 = 56° s (ACD) = 180° - 56° = 124° s (CAD) = ( 180° - 124° ) / 2 = 28°

31 KENAR ORTA DİKME TANIM : Bir kenarı dik olarak iki eş parçaya böler. NOT : Bir üçgende kenar orta dikmelerin kesim noktası dış teğet çemberin merkezidir.

32 Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları
Üçgenlerin kenarlarıyla açıları arasında bazı bağıntılar bulunmaktadır. Kenar uzunlukları her istenen değeri alamaz.

33 Açı-Kenar İlişkisi: 1.) Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar vardır. Yada büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı vardır. A a>b>c s(A)>s(B)>s(C) 70° b c 60° 50° C B a

34 2.) Bir üçgende eş uzunluklar karşısında eş açılar ya da eş açılar karşısında eş uzunluklar vardır.
s(B)=s(C)>s(A) b=c>a dır. 40° b c 70° 70° C B a

35 Bir üçgende açılardan biri dik açı ya da geniş açı ise, o açı karşısındaki kenar en büyüktür.
c c 120° C B a B C a

36 En uzun kenar hangisidir?
Örnek: En uzun kenar hangisidir?

37 ÇÖZÜM b > d > e a > b > c En uzun kenar [BC] dir.

38 Örnek: Şekildeki ABC üçgeninde I AB I = 4 cm I AC I = 9 cm I BD I = 12 cm [BC] [CD] olduğuna göre [BC] kenarının alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

39 ÇÖZÜM ABC üçgeni için I BC I nin alabileceği değerler: I 9-4 I < I BC I < I 9+4 I 5 < I BC I < 13 Ayrıca s (BCD) = 90° [BD] → BCD üçgeni için en uzun kenardır. I BC I < 12 Buradan 5 < I BC I < 12 olur. Toplam= = 51 dir.

40 Örnek: Şekilde s ( A ) > s ( B ) I AC I = 18 cm I BC I = 2x + 8 cm I AB I = x + 4 cm x’ in alabileceği tamsayı değerleri ?

41 x – 6 < 10 → x < < 3x – 2 → 12 < 3x → 4 < x s ( B ) > s ( C ) 2x – 4 > 10 2x > 14 → x > 7 7 < x < 16 C = { 8,9,10,11,12,13,14,15 }