Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI

Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI “Örnek Uygulamalar” Eğiticiler: Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Doç. Dr. Sedat KELEŞ Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI

Örnek 1: Problem Maçka Orman Üstü Planlama Biriminde yer alan iki adet bölmenin üretim (kesme, sürütme ve taşıma) işlerini gerçekleştirmek için orman ürünleri hammaddesi işleyen TİMBER adlı özel bir şirket ile Maçka Orman İşletmesi anlaşmıştır. Şirketin amacı, sahip olduğu üç adet kaynağı (işçi, dal kesme makinesi ve kamyon) bu iki bölmede yapılacak üretim işine tahsis ederek net geliri eniyilemektir. 2 numaralı bölme 1 numaralı bölmeye göre yetişme ortamı verim gücü açısından daha iyi olduğu için, bu bölmeden elde edilen birim odun üretimi net geliri 20 TL iken, 1 numaralı bölmeden sağlanan odun üretiminin net geliri 10 TL olarak gerçekleşmektedir. Odun üretiminin gerçekleştirilmesi için şirket 4 işçi, 3 dal kesme makinesi ve 2 adet kamyona sahiptir. Her bir kaynak günde en fazla 9 saat çalışabilmekte olup bu süre, iki bölme arasında herhangi bir oranda bölünebilmektedir. Bir m3 ürün üretmek için gerekli olan kaynak her bir bölme için değişmekte olup ilgili veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre şirketin problemini çözecek doğrusal programlama modelini kurunuz. Tablo. Bir m3 odun üretimi için ihtiyaç duyulan kaynak süreleri (saat) Bölme No İşçi Dal Kesme Makinesi Kamyon 1 0.10 0.30 0.50 2 0.20 0.40 0.60

Örnek 1: Çözüm Karar Değişkenleri
x1: 1 numaralı bölmeden üretilecek tomruk üretimi (m3) x2: 2 numaralı bölmeden üretilecek tomruk üretimi (m3) Amaç: Zmax = 10x1 + 20x2 Kısıtlar: 0.10 x x2 <= 36 (4*9)  İşci zaman kısıtı 0.30 x x2 <= 27 (3x9)  Dal kesme zaman kısıtı 0.50 x x2 <= 18 (2x9)  Kamyon yükleme zaman kısıtı

Örnek 2: Problem Trabzon Orman Bölge Müdürlüğüne bağlı iki işletmede üç çeşit tomruk üretilmektedir. Bu üç farklı tomruk çeşitlerinin satışından elde edilen birim satış gelirleri sırasıyla şöyledir: Kaplamalık tomruk için $80, Kerestelik tomruk için $60 ve Sanayi odunu için $54 dır. İki işletmenin amenajman planlarındaki eta miktarları, emek ve makine güçleri dikkate alındığında,1 nolu işletmede 800 m3 ve 2 nolu işletmede ise 650 m3 tomruk ancak üretilebilmektedir. İşletmelerin üretim işlerine ayrılacak yıllık bütçeleri de daha önceden belirlenmiştir. Buna göre, 1 nolu işletmenin bütçesi $1400 ve 2 nolu işletmenin bütçesi ise $1250 dolardır. Kaplamalık tomruk için birim üretim giderleri $20, Kerestelik tomruk için üretim giderleri $15 ve Sanayi odunu için üretim giderleri $10 dır. Pazarlama bölümünün tahminlerine göre, işletmeler yılda kaplamalık tomruktan 800 m3, kerestelik tomruktan 900 m3 ve sanayi odunundan 600 m3 ancak satabilmektedir. Öte yandan, Orman Bölge Müdürlüğü’nün talimatına göre, her iki işletmede üretilecek tomruk (toplam ürün çeşitleri) miktarlarının eşit olması gerekmektedir. Trabzon Orman Bölge Müdürlüğü kârını eniyileyebilmek için iki işletmede her bir tomruk türünden ne kadar ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Problemin doğrusal programlama modelini kurunuz.

Örnek 2: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç Denklemi Model Kısıtlayıcılar
X1=1 nolu işletmede üretilecek kaplamalık tomruk üretim miktarı (m3) X2=1 nolu fabrikadaki kerestelik tomruk üretim miktarı (m3) X3=1 nolu işletmede sanayi tomruk üretim miktarı (m3) X4=2 nolu işletmede kaplamalık tomruk üretim miktarı (m3) X5=2 nolu fabrikadaki kerestelik tomruk üretim miktarı (m3) X6=2 nolu işletmede sanayi tomruk üretim miktarı (m3) Amaç Denklemi Zmax=60x1+60x4+45x2+45x5+44x3+44x6 Model Zmax=60x1+45x2+44x3+60x4+45x5+44x6 x1+x2+x3<=800Üretim kısıtı x4+x5+x6<=650 20x1+15x2+10x3<=1400Bütçe kısıtı 20x4+15x5+10x6<=1250 x1+x4<=800Satış kısıtı x2+x5<=900 x3+x6<=600 x1+x2+x3-x4-x5-x6=0Denklik kısıtı xi>=0Pozitiflik şartı Kısıtlayıcılar Üretim kısıtı Bütçe kısıtı Satış kısıtı Denklik kısıtı

Üretim zamanı saat/birim
Örnek 3: Problem AlfaMasa firması ofis mobilya imalatında uzmanlaşmış olup yönetici ve sekreter tipinde iki masa üretmektedir. Bu masaları kendisinin sahip olduğu iki fabrikada üretmektedir. Birinci fabrika (Eski) iki vardiya olarak haftada 80 saat çalışmaktadır. İkinci fabrika (Yeni) ise tam kapasitede çalışamamaktadır. Ancak, firma yönetimi bu fabrikanın da iki vardiya olarak çalışmasını planlamış ve buna göre operatörler iki vardiya çalışacak şekilde işe alınmışlardır. Yeni fabrikadaki her bir vardiya haftada 25 saat çalışmaktadır. İkinci vardiyada çalışanlara ek ücret verilmemektedir. Aşağıdaki tabloda birim üretim zamanı ve birim standart maliyetler gösterilmektedir. Firma geçmişte üretim giderlerinde problemlerle karşılaştığı için haftalık bütçesini daha şimdiden belirlemiştir. Yönetici tip masaya ayrılan haftalık bütçe $2,000 iken Sekreter tip masa için ayrılan bütçe $2,200 dolardır. Ayrıca firma yönetim kurulunun aldığı karara göre, yönetici tip masa ile sekreter tip masa arasında 1:2 oranı korunacaktır. Firma yönetiminin amacı, net kârını eniyileyecek şekilde her iki fabrikada üretilecek masa miktarlarını bulmaktır. Firmanın problemini çözecek şekilde Doğrusal programlama modelini kurunuz. Tablo. Masa üretiminde üretim zamanı ve standart maliyetler Ürün tipi Üretim zamanı saat/birim Standart Maliyet $/birim Satış Fiyatı Eski Fabrika Yeni Fabrika Yönetici 7 6 250 260 350 Sekreter 4 5 200 180 275

Örnek 3: Çözüm Karar Değişkenleri Kısıtlayıcı Koşullar
x1 = Eski fabrikada üretilecek Yönetici tipi masa sayısı x2 = Eski fabrikada üretilecek Sekreter tipi masa sayısı x3 = Yeni fabrikada üretilecek Yönetici tipi masa sayısı x4 = Yeni fabrikada üretilecek Sekreter tipi masa sayısı Kısıtlayıcı Koşullar Üretim zamanı kısıtı: 7x1 + 4x2 <= 80 6x3 + 5x4 <= 50 Bütçe kısıtı: 250x x3 <= 2000 200x x4 <= 2200 Ürün dengelenmesi kısıtı: (x1 + x3 = 1/2 (x2 + x4) 2x1 + 2x3 -x2 - x4 = 0 Amaç Fonksiyonu Zmax = 100x x2 + 90x3 + 95x4 Model

Örnek 4: Problem YomraZiraat Kooperatifler birliğinin 130 dekarlık bir alanı bulunmaktadır. Bu alanda Soya fasulyesi, buğday ve mısır yetiştirilebilmektedir. Üretilen ürünle bir taraftan kooperatif üyelerinin ihtiyaçları karşılanırken öte yandan dış pazara ürünler sürülerek kooperatife gelir sağlanmaktadır. Ancak, YomraZiraat öncelikle kooperatif üyelerinin ihtiyaçlarını karşılamak zorundadır. Kalan ürünleri dış piyasada serbest piyasa şartlarına göre satışa sunabilmektedir. Ürünlere olan talep ve tahmini pazar fiyatları aşağıdaki Tabloda verilmiştir. Firma net kârını eniyileyecek şekilde araziyi ilgili ürüne tahsis etmek istiyor. Problemin Doğrusal Programlama modelini kurunuz. Tablo. Ürünlerin hasılat ve talep miktarları ile tahmini pazar fiyatları. Ürün Hasılat (teneke/dek) Üye ihtiyacı (teneke) Pazar talebi Kâr ($/teneke) Fasulye 420 2000 10000 1.5 Buğday 200 5000 8000 1.8 Mısır 70 1000 3000 2.5

Örnek 4: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç Fonksiyonu
x1 = Üretilecek soya fasulyesine ayrılacak alan (dekar) x2 = Üretilecek buğdaya ayrılacak alan (dekar) x3 = Üretilecek mısıra ayrılacak alan (dekar) Amaç Fonksiyonu Zmax = (420x )1.5 + (200x )1.8 + (70x )2.5 Zmax = 630x1+360x2+175x (Bu sabit değere K diyebiliriz) Kısıtlayıcılar ve Model

Örnek 5: Problem Hayvancılık konusunda yatırım yapmak isteyen bir çiftçi, yıl sonuna kadar çiftliğinde yetiştirecek büyükbaş hayvanların satışından elde edebilecek kârı eniyilemek üzere bunlardan ne kadar üretebileceğine karar vermek istemektedir. Çiftçinin koyun, sığır ve keçi alma ve üretme imkanları vardır. Her bir koyun 1 hektarlık alan ve beslenme ve bakım giderleri için de $15 dolara ihtiyaç duymaktadır. $25 dolara satın alınan bir koyun $60 dolara satılmaktadır. Sığır için bu değerler sırasıyla, 4 ha, $30, $40 ve $100 dolardır. Keçi için ise bu değerler sırasıyla, 0.5 ha, $5, $10 ve $20 dolardır. Çiftçinin 300 hektarlık bir çiftliği olup sürünün satın alınması ve bakımı içinde toplam $2500 dolarlık bütçesi vardır. Ancak, bu çiftçi sürünün %40’tan fazlasının keçi olmaması ve koyununda %30 dan aşağı düşmemesini arzulamaktadır. Dönem sonunda toplam kârı maksimum edecek şekilde problemin doğrusal programlama modelini kurunuz.

Örnek 5: Çözüm Karar Değişkenleri Kısıtlayıcı Koşullar Amaç Fonksiyonu
x = Yetiştirilmesi gereken koyun adedi y = Yetiştirilmesi gereken sığır adedi z = Yetiştirilmesi gereken keçi adedi Kısıtlayıcı Koşullar Alan kısıtı  x + 4y + 0.5z <= 300 Bütçe kısıtı  40x + 70y + 15z <= 2500 Oran kısıtları z <= 0.4(x+y+z) x >= 0.3(x+y+z) Amaç Fonksiyonu Zmax = 20x + 30y + 5z Model

Örnek 6: Problem KeresteSan firmasının 3 ayrı fabrikası olup her fabrikada 3 ayrı boyda kereste üretebilmektedir. Üç ayrı boydaki kerestelerin satışından elde edilen birim kârlar sırasıyla şöyledir: Uzun boy için $800, orta boy için $600 ve kısa boy için $540 dır. Bu değerler her bir fabrika için geçerlidir. Üç fabrikadaki emek ve makine güçlerine göre ancak haftada 1 no’lu fabrika 800 m3, 2 no’lu fabrika 650 m3 ve 3 no’lu fabrika da 450 m3 ürün üretebilmektedir. Fabrikanın stoklama alanları da sınırlıdır. 1 no’lu fabrikanın 1400 m2, 2 no’lu fabrikanın 1250 m2, 3 no’lu fabrikanın 800 m2’lik stoklama alanı mevcuttur. Metreküp başına, uzun boy kerestenin haftalık üretiminde 2.5 m2, orta boy kerestenin üretiminde 2 m2 ve kısa boy parçanın üretimi için 1.5 m2'lik bir stoklama alanına ihtiyaç vardır. Satış bölümünün tahminlerine göre haftada uzun boy keresteden 800 m3, orta boy keresteden 900 m3 ve kısa boy keresteden de 600 m3 ancak satılabilmektedir. Öte yandan, yönetim her üç fabrikada üretilen malların emek ve makine kapasitelerine (üretim / max kapasite) denk oranda olması istenmektedir. Yani, her üç fabrikada üretilen malların maksimum üretim kapasitesi ile oranının denk olması istenmektedir. Yönetim kârını eniyileyebilmek için üç fabrikada her bir boydan ne kadar ürün üretilmesi gerektiğini saptamak istemektedir. Problemin doğrusal programlama modelini kurunuz.

Örnek 6: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç Fonksiyonu Kısıtlayıcı Koşullar
x1=1 no’lu fabrikadaki uzun boy kereste üretim miktarı (m3) x2=1 no’lu fabrikadaki orta boy kereste üretim miktarı (m3) x3=1 no’lu fabrikadaki kısa boy kereste üretim miktarı (m3) x4=2 no’lu fabrikadaki uzun boy kereste üretim miktarı (m3) x5=2 no’lu fabrikadaki orta boy kereste üretim miktarı (m3) x6=2 no’lu fabrikadaki kısa boy kereste üretim miktarı (m3) x7=3 no’lu fabrikadaki uzun boy kereste üretim miktarı (m3) x8=3 no’lu fabrikadaki orta boy kereste üretim miktarı (m3) x9=3 no’lu fabrikadaki kısa boy kereste üretim miktarı (m3) Amaç Fonksiyonu Zmax=800x1+800x4+800x7+600x2+600x5+600x8+540x3+540x6+540x9 Kısıtlayıcı Koşullar Kapasite kısıtları: x1+x2+x3<=800 x4+x5+x6<=650 x7+x8+x9<=450 Stoklama kısıtları: 2.5x1+2x2+1.5x3<=1400 2.5x4+2x5+1.5x6<=1250 2.5x7+2x8+1.5x9<=800 Üretim kapasitelerinin denkliği kısıtları: (x1 + x2 + x3) / 800 = (x4 + x5 + x6) / 650 => 650x1+650x2+650x3-800x4-800x5-800x6=0 (x4 + x5 + x6) / 650 = (x7 + x8 + x9) / 450 => 450x4+450x5+450x6-650x7-650x8-650x9=0

Örnek 6: Çözüm Model Lindo Çözümü AMAÇ FONKSİYONU DEĞERİ = 1129000.0
DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET (indeks satırı) X X X X X X X X X

Örnek 7: Problem Ayancık planlama biriminin 100 hektarlık Sarıçam ormanı; karaca, su üretimi ve rekreasyon amaçlı işletilecektir. Bir çift karaca için 4 ha ve 100 ton su üretimi için de 3 ha alana ihtiyaç vardır. İşletme yılda en az 10 çift karaca ve 800 ton su üretimi yapmak zorundadır. İşletmenin toplam bütçesi $10,000 dolardır. Karaca üretimi için hektarda $50, su üretimi için hektarda $10 ve rekreasyon için hektarda $100 dolara ihtiyaç vardır. Bir adet karaca satışından elde edilecek net gelir $80, 100 ton su satışından elde edilecek net gelir $90 ve 1 hektar rekreasyon alanından elde edilecek net gelir $50 dolardır. Buna göre, net kârı eniyilemek amacıyla en uygun arazi kullanım planını düzenleyecek şekilde problemin doğrusal programlama modelini kurunuz (Köse vd 2000’den uyarlanarak yeniden çözülmüştür).

Örnek 7: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç Fonksiyonu Kısıtlayıcı Koşullar
x1 = Karaca üretimine ayrılacak alan (ha) x2 = 100 tonluk su üretimine ayrılacak alan (ha) x3 = Rekreasyon hizmetlerine ayrılacak alan (ha) Amaç Fonksiyonu C1 = karaca üretimine ayrılacak bir hektar alanın net getirisi = $80 / 2ha (bir karacanın habitat alanı) = $40 C2 =100 ton suyun hektardaki net getirisi = $90 / 3 ha (100 ton su üretimi için ayrılması gereken alan) = $30 C3 = bir hektar rekreasyon alanını net getirisi = $50 Zmax= 40x1 + 30x2 + 50x3 Kısıtlayıcı Koşullar Üretim kısıtı: x1 > = 40 x2 >= 24 Bütçe kısıtı: 50x1+10x2+100x3<=10000 Alan kısıtı: x1+x2+x3=100 Model

Bölmeden çıkarma sistemi
Örnek 8: Problem Artvin Orman Bölge Müdürlüğüne bağlı Şavşat Orman İşletme Müdürlüğü Tepebaşı İşletme şefliğinde üretim işlerinde çeşitli hava hatları kullanılmaktadır. Bu bölgede, gelecek yılın üretiminde yine hava hatları kullanılacağından işletme hava hatlarında kullanılacak malzeme ve işgücünü daha şimdiden planlamaktadır. Üretimde kullanılacak iki ya da daha fazla hareketli kablo üzerinde iki yöne taşıma yapabilen çift yönlü hava hattı, ana kablo üzerinde tek yönlü taşıma yapabilen tek yönlü hava hattı ve kamyona monte edilebilen çekici-yükleyici özellikli kısa mesafeli çekici olmak üzere üç çeşit hava hattı mevcuttur. İşletme bunların en verimli kullanımını planlamak istemektedir. İşletmeye daha yeni alınan genç ve dinamik bir orman mühendisi, bu planlamada doğrusal programlama tekniğinin rahatlıkla kullanılabileceği konusunda işletmeyi ikna etmiştir. Hava koşulları ve beklenmedik diğer sebeplerden dolayı hiçbir sistem tam gün verimli olamadığı gibi tüm yıl boyunca da çalışamamaktadır. Bu orman mühendisi işletmede kullanılabilecek üç farklı üretim sistemi hakkında aşağıdaki tabloda gösterilen verileri toplamıştır. Tablo. Bölmeden çıkarma sistemlerine göre maliyet ve verim miktarları. Bölmeden çıkarma sistemi Maliyet $/verimli saat Üretim oranı (m3/gün) Günlük verim Saat/gün Yıllık verim Gün/yıl Çift yönlü hava hattı 95 1,710 7.5 200 Tek yönlü hava hattı 80 1,512 7.2 Kısa mesafeli çekici 35 1,008 7 180 Bu tabloda gösterilen maliyetleri karşılamak için, gelecek yılda üç hava hattının yıllık üretim miktarı en az 600,000 m3 olmalıdır. Diğer taraftan, işletmenin kullanabileceği yahut pazarlayabileceği azami tomruk miktarı ise 850,000 m3 tür. a) Toplam yılık maliyeti minimum yapacak şekilde problemin modelini kurunuz. b) Her bir sistem için planlanacak zaman (saat) ne kadardır? c) Her bir sistem ne kadar üretim yapabilecektir? d) Her bir sistemin yılık toplam maliyeti ne kadardır?

Örnek 8: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç fonksiyonu Kısıtlayıcı Koşullar
x1 = Çift yönlü hava hattının yıllık kullanım zamanı (saat) x2 = Tek yönlü hava hattının yıllık kullanım zamanı (saat) x3 = Kısa mesafeli çekicinin yıllık kullanım zamanı (saat) Amaç fonksiyonu Zmin = 95x x2 + 35x3 Kısıtlayıcı Koşullar Toplam yıllık üretim en az 600,000 m3 olmalı: 228 x x x3 >= Toplam yıllık üretim 850,000 m3’ü aşmamalı: 228 x x x3 <= 850,000 Azami yıllık çalışma zamanı kısıtı: x1 <= 1500 x2 <= 1440 x3 <= 1260

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET (indeks satırı) X X X

Örnek 9: Problem FideSAN özel ormancılık firması süs bitkilerinin yetiştirilmesi yanı sıra, ticari anlamda ağaçlandırma çalışmalarına yönelik fidan üretip satmaktadır. Firmanın ülke genelinde dört farklı fidanlığı bulunmaktadır. Her bir fidanlığın üretim miktarı, fidanlık için ayrılabilecek alanın genişliği ve kullanılabilir su miktarı ile sınırlıdır. Her bir fidanlığa ait su ve alan miktarları Tablo 1’de verilmiştir. Firma genelde Meşe, Ladin ve Sedir fidanları üretip satmaktadır. Ancak, firma bu fidanları her bir fidanlıkta yetiştirmek zorunda değildir. Makine ve işgücü imkanlarının kısıtlı olmasından dolayı her bir fidanlık için ayrılacak alan sınırlıdır. Tablo 2 her bir fidanlıkta üretilebilecek fidan türüne ayrılabilecek maksimum alanı göstermektedir. Her bir fidan türünün hektardaki gerekli su miktarı sırasıyla 6, 5, ve 4 bin m3 tür. Her bir fidan türünün hektardaki net getirisi ise yine sırasıyla $500, $250 ve $200 dolardır. Firma, fidanlıklar arasındaki iş miktarını dengelemek için bir politika geliştirmiş olup, her bir fidanlıktaki kullanılabilecek alanın eşit olmasını istemektedir. Firma, her bir fidanlıkta üretilecek fidanlara ne kadar alanın ayrılması gerektiğine karar vermek istemektedir. Firmanın amacı ise, toplam geliri (kârı) eniyilemektir. Buna göre firmanın problemini çözecek şekilde doğrusal programlama modelini kurunuz. Tablo 1. Fidanlık alanlarının su ve alan kapasiteleri. Fidanlık Kullanılabilir su kapasitesi (m3 miktar) Kullanılabilir alan kapasitesi (ha miktar) 1. Fidanlık 480,000 450 2. Fidanlık 1,320,000 650 3. Fidanlık 370,000 350 4. Fidanlık 890,000 500 Tablo 2. Fidanlıkta üretilebilecek türlere ayrılabilecek alanlar. Ürün 1. Fidanlık 2. Fidanlık 3. Fidanlık 4. Fidanlık Meşe (M) 200 300 100 250 Ladin (L) 150 Sedir (S) 350

Örnek 9: Çözüm Amaç Fonksiyonu Kısıtlayıcı Koşullar Karar Değişkenleri
M1 = Birinci fidanlıkta üretilecek meşe fidanlarına ayrılacak alan (ha) M2 = İkinci fidanlıkta üretilecek meşe fidanlarına ayrılacak alan (ha) M3 = Üçüncü fidanlıkta üretilecek meşe fidanlarına ayrılacak alan M4 = Dördüncü fidanlıkta üretilecek meşe fidanlarına ayrılacak alan L1 = Birinci fidanlıkta üretilecek ladin fidanlarına ayrılacak alan (ha) L2 = İkinci fidanlıkta üretilecek ladin fidanlarına ayrılacak alan (ha) L3 = Üçüncü fidanlıkta üretilecek ladin fidanlarına ayrılacak alan (ha) L4 = Dördüncü fidanlıkta üretilecek ladin fidanlarına ayrılacak alan S1 = Birinci fidanlıkta üretilecek sedir fidanlarına ayrılacak alan (ha) S2 = İkinci fidanlıkta üretilecek sedir fidanlarına ayrılacak alan (ha) S3 = Üçüncü fidanlıkta üretilecek sedir fidanlarına ayrılacak alan (ha) S4 = Dördüncü fidanlıkta üretilecek sedir fidanlarına ayrılacak alan Amaç Fonksiyonu Zmax=500(M1+M2+M3+M4)+250(L1+L2+L3+L4)+200(S1+S2+S3+S4) Türler için fidanlık su kapasiteleri kısıtları: 6M1 + 5L1 + 4S1 <= 480 6M2 + 5L2 + 4S2 <= 1320 6M3 + 5L3 + 4S3 <= 320 6M4 + 5L4 + 4S4 <= 890 Kısıtlayıcı Koşullar Fidanlık alan kısıtlarını: M1 + L1 + S1 <= 450 M2 + L2 + S2 <= 650 M3 + L3 + S3 <= 350 M4 + L4 + S4 <= 500 Türler için alan kısıtları: M1 <= 200, M2 <= 300, M3 <= 100, M4 <= 250 L1 <= 150, L2 <= 200, L3 <= 150, L4 <= 100 S1 <= 200, S2 <= 350, S3 <= 200, S4 <= 350 Fidanlık alan dengeleme kısıtları: M1 + L1 + S1 = M2 + L2 + S2 M2 + L2 + S2 = M3 + L3 + S3 M3 + L3 + S3 = M4 + L4 + S4

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET M M M M L L L L S S S S

Kesme zamanı (dakika/ağaç) Yürüme zamanı (dakika/ağaç)
Örnek 10: Problem OrmanSan, yürütmekte olduğu ormancılık faaliyetleri içerisinde meşcere aralama ve bakım çalışmaları konusunda tanınmış özel bir danışman firmadır. OGM üretim işleri, dikili satış, orman yollarının yapımı, ağaçlandırma, amenajman plan yapımı gibi bir çok teknik işlerin özelleştirilmesine paralel olarak yakında sıklık bakımı çalışmalarını da özel firmalara ihale usulü ile yaptırma kararı almıştır. Ardahan orman işletmesine bağlı Posof orman işletme şefliği yahut planlama biriminde son 25 yıldır yoğun Sarıçam ve Ladin ağaçlandırma çalışmaları yapılmış ve ağaçlandırma alanlarında yüzde yüze varan başarıya doğal olarak gelen gençlikte eklenince alanlarda sıklık bakımı yapılması kararlaştırılmıştır. Orman işletmesi, bu yıl 100 hektarlık bir ağaçlandırma sahasında yapılacak sıklık bakımı çalışmalarını ihaleye çıkarmış ve OrmanSan bu sıklık bakımı ihalesini kazanmıştır. Yöredeki ağaçlandırma çalışmalarında kullanılan aralık mesafe 2x3 tür. Yani, 2m aralık (sıra) ve 3m mesafe ile orijinal ağaçlandırma yapılmıştır. Sıklık bakımı ile ilgili, ayıklama işlemi, ihale şartlarına göre her bir sıradaki her üçüncü ağaçtan birini motorlu testere ile almayı gerektirmektedir. Böylece, sıklık hektarda 2500 ağaçtan 1667 ağaca kadar indirilmiş olunacaktır. Alanda farklı bloklarda olmak üzere iki tür ağaç dikilmiştir: Sarıçam ağaçlandırma sahası 80 ha ve Ladin ağaçlandırma sahası ise 20 ha dır. OrmanSan motorlu testere ile ayıklama yapacak dört uzman eleman yetiştirmiştir. Bu elemanların birim çalışma zamanları ile ilgili daha önce yaptığı benzer çalışmalarda Tablo da verilen sonuçlar alınmıştır. Tabloya göre, Ladin’de ayıklama çalışmalarının performansı Sarıçam'a oranla daha düşüktür. Tablo. Ağaç türerline göre kesme ve yürüme zamanları. Ağaç türü Kesme zamanı (dakika/ağaç) Yürüme zamanı (dakika/ağaç) Sarıçam 1.4 0.2 Ladin 2.2 0.3

Örnek 10: Problem Motorlu testere ile çalışan elemanlar günde 8 saat çalışmaktadırlar. Ancak, takdir edilir ki bu zamanın tamamı ayıklanacak ağaca yürüme yahut kesme zamanını oluşturmaz. Motorlu testere her gün başında ve her iki saatte bir olmak üzere yağ ve benzin koyma işleminden yahut mutat bakımlardan geçmektedir. Bu süreç ortalama 5 dakika almakta ve toplam olarak günde 20 dakikalık zamanı işgal etmektedir. Buna ek olarak, her bir elemanın günde ücretli iki defa 15 dakikalık mola almalarına müsaade edilmiştir. Çalışanlar günde ücretsiz bir saatlik öğlen yemeği molası vermektedirler. İşçilere saatte normal olarak ortalama 10 milyon TL ödenmektedir. Ancak, OrmanSan müdürü bu çalışanlara zaman zaman saati 15 milyon TL den günde 2 saat fazla mesai yapmalarına müsaade etmektedir. Firmanın deneyimlerine göre, işçilerin fazla mesaideki çalışma performansları normal zamanın %95'i kadardır. Fazla mesai yapılmaya müsaade edildiği zaman, ilk 5 dakika benzin değiştirme ve küçük bakımlara harcanmaktadır. Fazla mesai zamanında başka duraklama söz konusu değildir. Her bir işçiye verilen motorlu testere amortisman ve çalışma giderleri her bir saat için 2.5 milyon TL’ye mal olmaktadır. Amortisman giderleri normal çalışma zamanı üzerinden yılda belirli saat kadar hesaplanmaktadır. Böylece, fazla mesai zamanında ise motorlu testerenin çalışma giderleri saatte 1 milyon ile sınırlıdır. İhale şartlarına göre bakım çalışmaları 85 günde bitirilmelidir. Ancak, işin 70 günde bitirilmesi durumunda firma 2 milyar TL ikramiye verecektir. a) OrmanSan bu ihaleyi alması durumunda, 85 gün içerisinde işi tamamlama için normal ve fazla mesai çalışma saatlerinin optimal planı ne olacaktır? b) OrmanSan ikramiye vermeyi teşvik etmeli midir? Neden? OrmanSan 70 gün içerisinde işi tamamlaması için normal ve fazla mesai çalışma saatlerinin optimal planı ne olacaktır?

Örnek 10: Çözüm Karar Değişkenleri Amaç fonksiyonu
x1 = İşçilerin proje süresi boyunca normal çalışma zamanı (saat) x2 = İşçilerin proje süresi boyunca fazla mesai çalışma zamanı (saat) Amaç fonksiyonu Zmin = 12.5x1 + 16x2 Kısıtlayıcı Koşullar A. Bakım çalışmaların tamamlanması için gerekli toplam sıklık bakımı süresi kısıtı: x x2 = B. İhale şartlarına göre bakım çalışmaları bitiş süresi kısıtı: x1 <= 2720 x2 <= 680 8x2 <= 2x1  4x2 – x1 <= 0 Model Lindo Çözümü AMAÇ FONKSİYONU DEĞERİ = DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET X X

Zamana Bağlı Üretimin Düzenlenmesi Problemleri

Örnek 11: Problem Maçka Devlet Orman İşletmesi serbest piyasa şartlarında orman ürünleri yetiştirme ve pazarlama işleriyle uğraşmaktadır. Ürettiği orman ürünlerini arz ve talep projeksiyonuna göre değerlendirmektedir. Yapılan bir çalışmaya göre, gelecek 4 periyot (periyot genişliği 1 yahut 5 yıl) için orman ürünlerine olan talep sırasıyla 1,800, 2,200, 3,400 ve 2,800 m3 tomruktur. Bu şekilde bir istem dalgalanmasına karşın, orman işletmesinin deposunda bazı dönemler olağanüstü kesimlerden dolayı aşırı derecede tomruk birikimi, bazı dönemlerde ise aşırı alımlardan yahut satışlardan dolayı depo yetersiz kalmaktadır. İşletmenin normal periyodik etası 2,400 m3 tür. Olağanüstü eta veya ek kesimlerle bu miktar 800 m3 kadar ancak artırılabilmektedir. Ek üretim şartları normal üretim şartlarından daha kötü olduğundan m3 başına $7 dolarlık bir ek masraf getirmektedir. İşletme müdürlüğünün tahminlerine göre, aynı periyotta üretilip satılamayan bir m3 tomruğun periyodik depolama masrafı $3 dır. İşletme toplam ek üretim ve depolama masraflarını minimize edecek şekilde en iyi üretim-pazarlama planı yapmak istemektedir. Düzenlenecek üretim-pazarlama planı aynı zamanda periyodik talepleri de karşılamalıdır.

x1 = 1. periyotta normal plana göre üretilecek tomruk miktarı (m3) x2 = 2. periyotta normal plana göre üretilecek tomruk miktarı (m3) x3 = 3. periyotta normal plana göre üretilecek tomruk miktarı (m3) x4 = 4. periyotta normal plana göre üretilecek tomruk miktarı (m3) y1 = 1. periyotta üretilecek olağanüstü ve/veya ek tomruk miktarı (m3) y2 = 2. periyotta üretilecek olağanüstü ve/veya ek tomruk miktarı (m3) y3 = 3. periyotta üretilecek olağanüstü ve/veya ek tomruk miktarı (m3) y4 = 4. periyotta üretilecek olağanüstü ve/veya ek tomruk miktarı (m3) z1 = 1. periyot sonundaki depodaki envanter (tomruk) miktarı (m3) z2 = 2. periyot sonundaki depodaki envanter (tomruk) miktarı (m3) z3 = 3. periyot sonundaki depodaki envanter (tomruk) miktarı (m3) Amaç Fonksiyonu Zmin=7(y1 + y2 + y3+ y4) + 3(z1+z2 + z3) Kısıtlayıcı Koşullar x1+y1-z1 = 1800 x2+y2+z1-z2 = 2200 x3+y3+z2-z3 = 3400 x4+y4+z3 = 2800 xi <=2400 (i = 1,2,3,4) yi <=800 (i = 1,2,3,4)

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET Y Y Y Y Z Z Z X X X X

Örnek 12: Problem 1000 hektar büyüklüğündeki bir avlağa sahip bir park işletmesi rekreasyon faaliyetlerini yanı sıra bu alanda zebra, tavşan ve geyik yetiştirmek istemektedir. Altı yıllık bir üretim süresi planı düşünülmektedir. Tavşanın üretim süresi altı ay, geyiğin iki yıl ve zebranın ise üç yıldır. Tavşan 0.1 hektarlık alan, geyik 0.5 ha ve zebra ise 2 hektarlık bir alana ihtiyaç duymaktadır. Her bir tavşan $2 dolara, geyik $12 dolara ve zebra ise $30 dolara satılmaktadır. Park işletmesinin yıllık işçi kapasitesi 2000 saattir. Her bir zebra yılda 5 saat, geyik yılda 3 saat ve tavşan ise altı ayda yarım saat (0.5) yemleme ve bakım işçiliği istemektedir. Park yönetimi, toplam geliri eniyilemek üzere her bir hayvan türünden altı yıl boyunca ne kadar üretmesi gerektiğine karar vermek istemektedir. Modelin daha kolay kurulabilmesi için, tavşan üretimini altı aylık dilimlerde değil de yıl boyunca düşünebilirsiniz. Yani, her hangi bir yılda tavşan üretimine başlanıldıysa yıl sonuna kadar devam edecek ve iki tavşan üretilecektir. Ayrıca, hayvanların üretilip pazarlanmasında her hangi bir sorun bulunmamaktadır. Problemin doğrusal programlama modelini kurunuz.

Örnek 12: Çözüm

Zi = i yılında başlamak suretiyle üretilecek zebra miktarı Gi = i yılında başlamak suretiyle üretilecek geyik miktarı Ti = i yılında başlamak suretiyle üretilecek bir çift tavşan miktarı Amaç Fonksiyonu Zmax = 30 (z1 + z2 + z3 + z4) + 12(g1 + g2 + g3 + g4 + g5) + 4(t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6) Kısıtlayıcı Koşullar yemleme ve bakım işçiliği kısıtları: 5z1 + 3g1 + 1t1 <= 2000 5(z1 + z2) + 3(g1 + g2) + 1t2 <= 2000 5(z1 + z2 + z3) + 3(g2 + g3) + 1t3 <= 2000 5(z2 + z3 + z4) + 3(g3 + g4) + 1t4 <= 2000 5(z3 + z4) + 3(g4 + g5) + 1t5 <= 2000 5z4 + 3g5 + 1t6 <= 2000 b) alan kısıtları: 2z g t1 <= 1000 2(z1 + z2) + 0.5(g1 + g2) + 0.2t2 <= 1000 2(z1 + z2 + z3) + 0.5(g2 + g3) + 0.2t3 <= 1000 2(z2 + z3 + z4) + 0.5(g3 + g4) + 0.2t4 <= 1000 2(z3 + z4) + 0.5(g4 + g5) + 0.2t5 <= 1000 2z g t6 <= 1000

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET Z Z Z Z G G G G G T T T T T T

Örnek 13: Problem KaranlıkMeşe Orman İşletmesinin 200 ha'lık bir ormanlık sahası vardır. Amenajman heyetlerinin yaptığı envanter çalışmalarına göre Tablo 1’de gösterilen özet envanter verilerine ulaşılmıştır. Amenajman heyetinin Silvikültür uzmanlarıyla birlikte verdikleri bilgilere göre Ladin-Göknar ve Karaçam meşcerelerinin kapalılıkların aşırı kırılması ve diğer bazı teknik problemlerden dolayı aralama yapılması mümkün değildir. Ancak, Ladin meşceresinde 30 yaşında aralama yapılıp hektarda sekiz m3 bakım etası alınabilmektedir. Daha önceleri yapılan çalışmalara göre bu meşcerelerin birim alandaki (ha) tahmini verimi yani hasılatı Tablo 2’de verilmiştir. İşletmenin analizlerine göre, Ladin meşceresinde aralama çalışmalarının bir hektarlık maliyeti $40 dolar olup aralama için işletmenin ayırdığı bütçe ise $1,600 dolardır. İşletmenin amacı, ilk planlama periyodunda üretimi maksimum yapmaktır. Bununla beraber, işletmenin tahminlerine göre on yıl sonra en az 2,500 m3 ve 20 yıl sonra da en az 3,000 m3 tomruk üretilmesi gerekmektedir. İşletmenin bu planlama probleminin doğrusal programlama modelini kurunuz.

10 yıllık periyotlardaki aktivite(*)
Örnek 13: Çözüm Karar Değişkenleri Lj = Ladin meşceresinin j = 0,10,20 yıllarında gençleştirme kesimine tabi tutulacak alanı (ha) LGnj= Ladin-Göknar meşceresinin j = 0,10,20 yıllarında kesime tabi tutulacak alanı (ha) Çkj = Karaçam meşceresinin j = 0,10,20 yıllarında kesime tabi tutulacak alanı (ha) LB10 = Ladin meşceresinin 10 yılında aralama kesimine tabi tutulacak alanı (ha) LB20 =10 yılında aralanmış Ladin meşceresinin 20 yılında kesime tabi tutulacak alanı (ha) Tablo. Meşcerelere uygulanabilecek alternatif aktiviteler. Meşcere 10 yıllık periyotlardaki aktivite(*) 0 (şu an) 10 yıl 20 yıl Ladin K B Ladin-Göknar Karaçam Amaç Fonksiyonu Zmax = 5 L0 + 46LGn Çk0 Kısıtlayıcı Koşullar Alan kısıtları: Ladin meşceresi için; L0 + L10 + LB10+ L20 <= 50 Ladin-Göknar meşceresi için; LGn0+ LGn10 + LGn20<= 100 Karaçam meşceresi için Çk0 + Çk10+ Çk20<= 50 LB20 <= LB10 Üretim Kısıtları: 26L LGn Çk10 + 8LB10 >= 2,500 33L LGn Çk LB20 >= 3,000 Bütçe Kısıtı: 40LB10 <= 1600

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET L LGN CK L LGN CK LB L LGN CK LB

Örnek 14: Problem UzayOrman İşletmesi 350 ha’lık bir orman alanının amenajman planını ve dolayısıyla kesim planını hazırlayacaktır. İşletmenin amacı 40 yıllık bir planlama yörüngesi boyunca odun üretiminden elde edilebilecek toplam net bugünkü değeri eniyilemektir. Bununla beraber, uzun vadeli amaçlardan biri ise düzensiz yapıdaki aktüel kuruluşu düzenli yapıya (optimal kuruluşa) getirmektir. Burada kullanılacak faydalanmanın düzenlenmesi metodu ise yaş sınıfları amenajman metodudur (Eraslan 1982). Uygulanabilecek teknik müdahale (aktivite) alternatifleri (i) meşcereyi doğal seyrine bırakmak ve (ii) meşcereyi kesip plantasyonla gençliği getirmek olmak üzere iki şekildedir. Müdahalelerin planlama periyodu başında uygulanacağı varsayılmaktadır. Mevcut orman kuruluşuna göre, 40 yaşında 100 ha’lık bir alan ve 80 yaşında da 250 ha’lık alan bulunmaktadır. Modeli basitleştirmek amacıyla, bu alanların konumsal dağılımı ve ulaşım koşulları model dışı tutulmuştur. Minimum kesim yaşı (ticari kesim çağı) 30 dur. Planlama periyodu uzunluğu 10 yıl olarak kabul edilmiştir. Yaşın bir fonksiyonu olarak hektardaki hasılat ve karşılığındaki parasal değerler aşağıdaki Tabloda verilmiştir. Tablo. Hektardaki hasılat ve parasal karşılıkları

xij = j alternatif müdahale şekline göre planlanacak i yaş sınıfındaki gençleştirme alanı (ha) Amaç Fonksiyonu Zmax = 5x11+3.7x12+3.6x13+3.8x14+3.7x15+4.3x16 +15x21+17x22+17x23 +18x24+16x25+17x26

Örnek 14: Çözüm Kısıtlayıcılar Yaş sınıfları alan kısıtı:
 40. yaş sınıfı alan kısıtı x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 <= 100  80. yaş sınıfı alan kısıtı x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 <= 250 Alan kontrolü kısıtı: 10 yaş  x13 + x16 + x23 + x26 = 87.5 20 yaş  x15 + x25 = 87.5 30 yaş  x14 + x24 = 87.5 40 yaş  x12 + x22 = 87.5

DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET X X X X X X X X X X X X

Örnek 15: Problem Yapraklı, iğne yapraklı ve karışık meşcerelerden oluşan Ayancık planlama biriminin amenajman planı yapılacaktır. Uzun vadeli stratejik plan süresi 70 yıl olup, planlama periyot genişliği 10 yıl olarak alınacaktır. Ayancık işletmesinin amacı birinci planlama periyodu etasını eniyilemektir. Planın yapımında bazı sınırlandırmalar ve politikalar ise şunlardır: Uzun vadeli stratejik planlama ilkelerine göre periyotlar arasındaki eta farklılığı %20 den fazla olmamalıdır. İğne yapraklı meşcerelerden en az 200 ha'lık bir alan koruma altına alınmalıdır. Bu alan üzerindeki servetin dönem sonu envantere (toplam kalan servete) katkısı yoktur!. 7. periyot sonunda en az 35,000 m3 servet ormanda bulunmalıdır. Mevcut işçi kapasitesi aşılmamalıdır. Amenajman heyetlerinin yaptıkları envanter çalışmalarına göre ormanın mevcut durumu ile ilgili bazı bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Örnek 15: Problem Meşcerelere uygulanabilecek aktivite reçetesi yani alternatif silvikültürel müdahaleler ise şunlardır: İğne yapraklı meşcere tipi: Mevcut meşcereler, iki müdahale şekli mümkündür: I) yaşları arasında son hasılat kesimi, II) 40 yaşında aralama kesimi (hektarda 20 m3 ara hasılat etası) ve 60 ile 70 yaşlar arasında son hasılat kesimi Gençleştirilmiş meşcereler, gençlik yine iğne yapraklı meşcere ile devam edecek ve bir sonraki kesim yaş yaşları arasında olabilecek. Karışık meşcere tipi: Mevcut meşcereler, 70 ile 90 yaşları arasında son hasılat kesimi Gençleştirilmiş meşcereler, gençlik yine karışık meşcere ile devam edecek ve bir sonraki kesim yaşı 40 ile 50 yaşları arasında olabilecek. Yapraklı meşcere tipi: Mevcut meşcereler, 90 ile 100 yaşları arasında son hasılat kesimi, Gençleştirilmiş meşcereler, gençlik yine yapraklı meşcere ile devam edecek ve bir sonraki kesim yaş 20 ile 40 yaşları arasında olabilecek. Gençleştirme çalışmaları yapılmış meşcerelerin hektardaki artım ve servet değerlerini gösteren Hasılat Tablosu verileri ise kısaca şöyledir. Üretim işlerinde (aralama ve son hasılat kesimleri dahil) kullanılacak işgücü miktarları da belirlenmiştir. Yapılan ön etüt çalışmalarına göre yörede bir hektarlık alanda gerekli işgücü, iğne yapraklı, yapraklı ve karışık meşcerelerde sırasıyla 1.5, 2 ve 1 adam-gün olarak tespit edilmiştir. İşletmenin tahminlerine göre yörede periyotlara göre sırasıyla 600, 700, 600, 500, 900, 400 ve 600 işçi bulunabilecektir. Ayancık işletmesinin bu problemini çözecek şekilde doğrusal programlama çerçevesinde kesim planı modelini kurunuz. * parantez içerisindeki değer aralama ile alınan miktarı göstermektedir

Örnek 15: Çözüm Amaç Fonksiyonu Karar Değişkenleri
S1ij = 1. müdahale şekline göre işletilecek iğne yapraklı meşcere alanı (ha); mevcut meşcereler i periyotta, gençleştirilmiş meşcereler ise j periyotta kesime tabi tutulacak S2ij = 2. müdahale şekline göre işletilecek iğne yapraklı meşcere alanı (ha); mevcut meşcereler i periyotta, gençleştirilmiş meşcereler ise j periyotta kesime tabi tutulacak Mij = i periyotta ve daha sonra j periyotta kesime tabi tutulacak karışık meşcere alanı (ha); Hij = i periyotta ve daha sonra j periyotta kesime tabi tutulacak yapraklı meşcere alanı (ha); Su = korumaya alınacak iğne yapraklı meşcere alanı (ha); Eğer j = 8 ise bunun manası, 70 yıllık planlama süresi sonunda belirli miktarda kalan hacim (servet) var demektir. Hi = i periyotta alınabilecek toplam eta (m3) E = 70 yıllık stratejik planlama süresi sonundaki toplam servet (m3) Amaç Fonksiyonu Zmax = H1

Örnek 15: Çözüm

Örnek 15: Çözüm Kısıtlayıcılar

Örnek 15: Çözüm Lindo Çözümü AMAÇ FONKSİYONU DEĞERİ = 66433.29
DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET H S S S S M M H H H S S M M H H H H S S M M H S S H H H H E SU

Örnek 15: Problem Posof ilçesinde 1000 hektarlık bir arazi bir vadi boyunca uzanmaktadır. Bu arazinin 700 ha'ı kuzey bakıda, 210 ha'ı güney bakıda ve kalan alanda dere yatağı boyunca uzanmaktadır. Her bir bölgedeki bu arazi ormancılık faaliyetlerinden tomruk üretimi, otlatma ya da rekreasyon (dinlenme) amaçlı işletilebilir. Her bir bölgede üretilen mal veya hizmetlerin fiyatları şöyledir: Her 1m3 tomruğun satış fiyatı $0.2, bir baş hayvanın $5 ve bir ziyaretçinin dere tabanındaki arazide $3 diğer yörelerde ise $1 dır. Toplam yıllık bütçe ise $5,000 dır. Her bir arazi türü (yöre) ve arazi kullanım şeklinin hektardaki ortalama üretimi ve maliyetleri aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir. (*) bbh = büyük baş hayvan , (**) ziy = ziyaretçi

Örnek 15: Problem a) İlçede Armutlu Kerestecilik firmasıyla önceden bir anlaşma imzalanmış olup bu firmaya yılda en az 50,000m3 tomruk verilecektir. b) Posof ilçesinin yılda toplam 100 bbh üretimi için her iki bakıda kalan alanda uzun zamandan beri zilliyeti (tarihi kullanım hakkı) vardır. c) Ekolojik ve estetik dengeyi sağlamak için hükümet toplam arazinin en az %20'sini her bir arazi kullanımına tahsis edilmesini istemektedir. d) Halka açık alanlarda en fazla üretimi sağlamak ve dolayısıyla hükümetin yeni ekonomik amaçlarını karşılayabilmek için; rekreasyon için ayrılacak her bir hektar alana karşılık 10 hektarlık alan ya otlatmaya yada odun üretimine ayrılmalıdır. e) Bu arazi otlatmanın yoğun olduğu bir ilçede olduğundan ülke tarım politikası gereği satılacak her 1000 m3 tomruk için en az 20 bbh satışa sunulmalıdır. Posof ilçesi bu araziyi en optimal şekilde kullanıma açmak istemektedir. İlçe yönetiminin amacı, elde edilecek gelirden en fazla kâr elde etmektir. 1) Tüm bu koşulları dikkate alacak şekilde problemin doğrusal programlama modelini kurunuz. 2) a'dan e'ye kadar olan kısıtların uygulanabilirlik koşulları varsa bu haliyle problemin uygun çözümü olabilir mi? neden? açıklayınız?

Kısıtlayıcı Koşullar a) 50,000m3 tomruk ihtiyacı kısıtı 300x1 + 50x x >= 50,000 b) Kuzey ve Güney zilliyetli otlatma için kullanım hakkı kısıtı (100) 0.4x x5 >= 100 c) Bütçe kısıtı 2x x2 + 10x3 + 2x x5 + 5x x x8 + 20x9<= 5000 d) Arazinin en az %20'sini her bir kullanımın sınıfına tahsis edilmesi kısıtı x1 + x2 + x3 >= 200 Toplam alan 1000 ha olup bunun %20'si 200 ha dır. x4 + x5 + x6 >= 200 x7 + x8 + x9 >= 200 e) Rekreasyon alanları ile diğer alanlar arasında 1/10 (1ha rekreasyon/10ha üretim-otlatma) dengesini sağlamak (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) >= 10(x7 + x8 + x9) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 - 10x7 - 10x8 - 10x9 >= 0 f) Üretim otlatma dengesinin sağlanması (1000 m3 tomruğa karşılık 20 bbh ) 0.4x x x6 >= 20(300/1000x1 + 50/1000x2 + 80/1000x3) -6x1 - x2 - 16x x x x6 >= 0 g) Alan kısıtı x1 + x4 + x7 <= 700 x2 + x5 + x8 <= 210 x3 + x6 + x9 <= 90 Karar Değişkenleri x1 = Kuzey bakıda üretime ayrılacak alan (ha) x2 = Güney bakıda üretime ayrılacak alan (ha) x3 = Dere kıyısında üretime ayrılacak alan (ha) x4 = Kuzey bakıda otlatmaya ayrılacak alan (ha) x5 = Güney bakıda otlatmaya ayrılacak alan (ha) x6 = Dere kıyısında otlatmaya ayrılacak alan (ha) x7 = Kuzey bakıda rekreasyona ayrılacak alan (ha) x8 = Güney bakıda rekreasyona ayrılacak alan (ha) x9 = Dere kıyısında rekreasyona ayrılacak alan (ha) Amaç Fonksiyonu Zmax= 58x1+9.5x2+150x3+0x4 + 0.4x x x7 + 0x8+55x9

Doğrusal Programlama Modellerinin Çözümü

Grafik Metot Örnek Problem: Hesap Makinesi Problemi
Beta adında bir firma Ticari ve Bilimsel marka olmak üzere iki tip hesap makinesi üretmektedir. Her bir Ticari marka hesap makinesi için 4 diyot ve 2 dijital ekran, Bilimsel marka hesap makinesi için de 2 diyot ve 4 dijital ekrana ihtiyaç vardır. Kullanılabilir diyot miktarı 600, ve dijital ekran ise 480’dir. Üretilecek olan her bir Ticari hesap makinesinin net katkısı $8 dolar iken bir Bilimsel hesap makinesinin net katkısı ise $6 dolardır. Firma kârını eniyileyecek şekilde problemin doğrusal programlama modelini kurunuz Modeli grafik yöntemle çözünüz. Çözüm: x = üretilecek Ticari marka hesap makinesi adedi y = üretilecek Bilimsel marka hesap makinesi adedini göstermektedir

Amaç Fonksiyonu (Z = 6x+8y)
Grafik Metot Çözüm Köşe Noktası X Y Amaç Fonksiyonu (Z = 6x+8y) A B 150 1200 C 120 60 1320 D 720

Simpleks Çözüm Yöntemi
Bir doğrusal programlama modelinin Simpleks yöntemiyle çözümünde temel olarak başlıca şu aşamalar izlenir: 1. Doğrusal programlama modelinin standart forma dönüştürülmesi 2. Başlangıç Simpleks tablosunun oluşturulması 3. Optimal çözümün ardışık (iterasyon) çözüm yöntemiyle elde edilmesi Model

1. DP Modelinin Standart Forma Dönüştürülmesi
Eşitsizliğin şekline göre kısıtlayıcı denklemlere Aylak, Atık ve/veya Yapay karar değişkenleri eklenir: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … anxn <= b1 eşitsizliğin sol tarafına katsayısı +1 olan A veya S gibi aylak (Slack) değişken eklenerek denklem a1x1 + a2x2 + 1S = b1 formuna dönüştürülür. Burada S aylak değişkeni b1 kaynak değerinin kullanılmayan yahut atıl miktarını göstermektedir. Bu değişkenin amaç fonksiyonu denklemindeki katsayısı sıfırdır. a1x1 + a2x2 + a3x3 + … anxn >= b1 eşitsizliğin sol tarafına katsayısı -1 olan A veya S gibi atık (Surplus) değişken eklenerek a1x1 + a2x2 - 1S = b1 durumuna getirilir. Burada S atık değişkeni b1 kaynak değerinden fazla kullanılan miktarı göstermektedir. c)a1x1 + a2x2 + a3x3 + … anxn = b1 eşitliğinin sol tarafına katsayısı +1 olan yapay değişken eklenerek denklem a1x1 + a2x2 + 1A = b1 durumuna getirilir. Yine yapay değişkenin eklenmesinin sebebi, yukarıda da bahsedildiği gibi pozitiflik koşulunun garantilenmesidir.

2. Başlangıç Simpleks Tablosunun Oluşturulması
Başlangıç Simpleks tablosunda: * Küçük-eşit (<=) eşitsizliği durumunda S aylak değişkeni, * Eşittir (=) eşitsizliği durumunda A yapay değişkeni * Büyük-eşit (>=) eşitsizliği durumunda ise A yapay değişkeni başlangıç Simpleks tablosunda temel değişken olarak alınır.

3. Simpleks Tablosunun Ardışık Çözüme Tabi Tutulması
Anahtar Sütun Anahtar Satır Diğer Satırların Yeni Değerleri Zj ve indeks satırı değerleri hesaplanır

Optimalite Kontrolü Optimal çözümün sağlandığının koşulu, indeks satırındaki tüm elemanların sıfır yahut negatif değer alması durumudur. Bu şart sağlanıncaya kadar iterasyona devam edilir (a - f). İndeks satırında sıfırdan büyük herhangi bir pozitif değerin bulunması, çözümün devam etmesi gerektiğini gösterir; yani amaç fonksiyonu değeri hala artırılabilir. Bu açıklamaya göre, örnekte henüz optimal çözüme ulaşılmadığı görülmektedir.

Birinci iterasyon sonunda optimal çözüme ulaşılmadığından, a'dan f'ye kadar yukarıdaki işlemler tekrarlanarak ikinci iterasyon yapılır. Buna göre; a) Anahtar satır x2 satırıdır, çünkü indeks satırındaki en büyük pozitif değer 2’dir b) Anahtar sütun ise, en küçük oran 60 olduğundan S2 satırı olacaktır. c) Anahtar sayı ise 3'tür (anahtar satır ve sütunun kesiştiği değer!). d) Anahtar satırın yeni değerleri, eski değerlerin pivota bölünmesiyle bulunur. e) Diğer satırların yeni değerleri hesaplanır. f) Zj ve indeks satırı değerleri hesaplanır

g) Optimalite kontrolü yapılır. İndeks satırındaki tüm elemanlar sıfır yahut negatif olduğundan optimal çözüme ulaşılmıştır. Bu durumda oluşan tablo Son Simpleks (Çözüm) Tablosudur Son Simpleks Tablosuna göre problemin çözüm değerleri

DUYARLILIK ANALİZİ (EKONOMİK ANALİZ)

İçerik Model parametrelerindeki değişikliğin; etkisi etkinin yönü
değişim aralığı 1) Sabitlerin yahut kaynak değerlerin (bi) duyarlılık analizi 2) Amaç fonksiyonu katsayılarının (ci) duyarlılık analizi a) Çözüme giren temel değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayılarının duyarlılılığı b) Çözüme girmeyen karar değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayılarının duyarlılılığı 3) Yeni bir değişkenin/ürünün eklenmesinin duyarlılık analizi 4) Karar değişkenlerinin teknik katsayılarının (aij) duyarlılık analizi a) Çözüme giren temel değişkenlerin teknik katsayılarının duyarlılık analizi b) Çözüme girmeyen karar değişkenlerin teknik katsayılarının duyarlılık analizi

1. Sabitlerin (bj) Duyarlılık Analizi
Temel Kavramlar: Yapısal değişkenlerin indeks satırındaki değerleri indirgenmiş maliyet olarak bilinir. Bu değerler, çözüme girmeyen değişkenlerin çözüme girebilmesi için katsayılarındaki yapılması gereken minimum değişikliği göstermektedir. Aylak yahut atık değişkenlerin indeks (Cj-Zj) satırındaki değerleri, ekonomik anlamda gölge fiyatları yahut fırsat maliyetlerini göstermektedir. Gölge fiyatı ile amaç fonksiyonu arasında doğrudan bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi şu şekilde ifade etmek mümkündür. Eğer kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu miktarın amaç fonksiyonu değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç fonksiyonun değeri gölge fiyat kadar değişecektir. Sabitlerin duyarlılık analizi yapılırken birlikte cevaplanması gereken üç temel soru vardır. Bunlar; 1) Kaynak değerlerindeki bir birim artış amaç fonksiyonu değerini ne kadar etkileyecektir 2) Amaç fonksiyonu değerini etkileme yönü nasıl olacaktır (artıracak mı? azaltacak mı?) 3) Amaç fonksiyonundaki bu sabit değişim, gerekli kaynakların temin edildiği varsayılırsa, hangi kaynak değişim sınırları içerisinde geçerlidir? Diğer bir ifadeyle, bu kaynakların fırsat değerleri belli bir aralık için mi yoksa sonsuza kadar mı geçerlidir?

Örnek Model ve Çözümü:

i) Marjinal Etki Miktarının Hesaplanması Marjinal etki miktarı gölge fiyatından hareket ederek belirlenir. Zmax(yeni) = Zmax + 5/3 Z = /3 Xyeni = /3 ve Yyeni = 60 + (–1/6) ii) Marjinal Etki Yönünün Hesaplanması

iii) Marjinal Etki Sınırlarının Hesaplanması <= b1 <= 240 <= b1 <= 960 <= b2 <= 300 <= b2 <= 1200

2. Amaç Fonksiyonu Katsayılarının Duyarlılık Analizi
1. Çözüme Girmeyen Karar Değişkenlerin Duyarlılık Analizi Zmax = 18.5x1+20x2+14.5x3 0.05x x x3 <= 1,100 <---S1 0.05x x x3 <= 1,800 <---S2 0.10x x x3 <= 2,000 <---S3 x1,x2,x3 >= 0 Örnek: Burada çözümü araştırılması gereken bir soru şudur: x3 temel olmayan değişkenin optimal çözüme girebilmesi için amaç fonksiyonundaki katsayısında ne gibi bir değişiklik yapılması gerekir? Neden? X3 temel olmayan değişkenin, amaç fonksiyonundaki katsayısını değiştirmeden, çözüme girmesi amaç denkleminin değerini -4 birim azaltacaktır Bir birim x3’ün çözüme girmesi, çözümdeki x1 in bir birim, x2’nin ise 0 birim vazgeçmesini gerektirir. Aynı zamanda, S3 boş kapasitesi de kadar daha Aylak kapasite oluşturmak durumundadır. C3-Z3 >= 0 D3 - 4 >= 0, D3>=4 C3(y) = C3 + D3 C3(y) = = 18.5

2. Amaç Fonksiyonu Katsayılarının Duyarlılık Analizi
1. Çözüme Giren Karar Değişkenlerin Duyarlılık Analizi Çözüme giren değişkenlerin (temel değişkenlerin) katsayılarının alt ve üst sınırları: C1 = D1 Cj - Zj <= 0 X3 sütununa göre: D1 <= 0’dan  D1>= -4 S1 sütununa göre: D1 <= 0’dan  D1>= -8.5 S2 sütununa göre: D1 <= 0’dan  D1<= 1.5 Dolayısıyla değişim sınırları aşağıdaki şekilde olacaktır: -4<= D1 <= 1.5 Değişim aralığı ise, $14.50 <= c1 <=$20

2. Yeni Bir Karar Değişkeninin (Ürünün yada Aktivitenin) Eklenmesi
Firmanın genel amaçlı yeni bir hesap makinesi (GAHM) üretmek istediğini varsayalım. Yeni çıkacak GAHM ürünü 2 diyot ve 3 dijital ekran kullanmaktadır. Yapılan market analizi sonucunda GAHM’nin birim fiyatı $6.5 dır. Firma bu ürünü üretmek için karar verme aşamasındadır. Bu yeni ürünün rasyonel olup olmadığını tartışalım. Simpleks çözümünde diyotların birim fırsat değeri $5/3, dijital ekranların ise $ 2/3 idi. Buna göre, yeni ürünün fırsat maliyet değeri; 2 diyodun değeri 2*5/3 => $3.33 3 dijital ekranın değeri 3 *2/3 => $2.00 Toplam fırsat maliyeti = = $5.33 tür. Toplam bir birim yeni ürünün fırsat maliyet değeri $5.33 olup firmaya $6.50 katkı sağlamaktadır Buradan, net katkı ise ($ $5.33 = +$1.17) pozitif bir değer çıkmaktadır. Böylece, yeni bir model hesap makinesi üretimi kârlı olacağından bu yöndeki karar uygun olacaktır. Benzer şekilde yukarıdaki formülü uygulayarak da çözüme gitmek mümkündür. B-1 = [5/3 2/3]. ayeni = [2 3]. Yani, cyeni = B-1 * ayeni – cönerilen = [5/3 2/3] * [2 3] – 6.5 = -1.17 Burada cyeni = < 0 olduğundan optimal çözüm değişecektir. Bu yeni ürün çözüme girecek ve temel değişken olacaktır. Bu durumda, yeni üründen bir birim eklenmesi amaç fonksiyonu değerini 1.17 artıracaktır.

Duyarlılık Analizi ile İlgili Örnek
Kontrplak Üretiminde Değişiklik Zmax = 20x1+10x2+15x3 0.2x1+ 0.1x x3 <=  Sarıçam Tomruk miktarı (S1 ) 0.1x1+ 0.2x x3 <=  Karaçam Tomruk miktarı (S2 ) 0.1x1+ 0.1x x3 <=  Kızılçam Tomruk miktarı (S3 ) Burada: x1 = m3 olarak üretilmesi beklenen A sınıfı kontrplak miktarını. x2 = m3 olarak üretilmesi beklenen B sınıfı kontrplak miktarını. x3 = m3 olarak üretilmesi beklenen C sınıfı kontrplak miktarını göstermektedir. AMAÇ FONKSİYONU DEĞERİ = DEĞİŞKEN DEĞERİ INDIRGENMİŞ MALİYET (indeks satırı) X X X SATIR AYLAK/ATIK GÖLGE FİYATI (indeks satırı) 2) 3) 4) AMAÇ FONKSİYONU KATSAYILARININ SINIRLARI DEĞİŞKEN MEVCUT MAX. ARTIŞ MAX.AZALMA KATSAYI MİKTARI MİKTARI X INFINITY X INFINITY X INFINITY SAĞ TARAF DEĞERLERİNİN (STD) SINIRLARI SATIR MEVCUT MAX. ARTIŞ MAX.AZALMA STD MİKTARI MİKTARI INFINITY INFINITY

Kontrplak Üretiminde Değişiklik
a) A, B ve C sınıfı kontrplaktan ne kadar üretilecek? Sarıçam, Karaçam ve Kızılçam tomruk kapasitelerinin her birinden ne kadar kullanılmıştır? Amaç fonksiyonunun değeri nedir? Z = 20*0+10*0+15*15000 = $225,000 b) A sınıfı kontrplağın C sınıfı kontrplağa göre birim katkısı fazla olmasına rağmen neden üretilememektedir? Birim fiyatı $25dan en az bir birim A sınıfı kontrplak üretilmesi mümkün müdür? Neden? A sınıfı kontrplağın fırsat maliyeti = 0.2 * * * 0 = $30 C sınıfı kontrplağın fırsat maliyeti = 0.1 * * * 0 = $15 Birim fiyatı $25’dan en az bir birim A sınıfı kontrplak üretilmesi mümkün değildir. A sınıfı kontrplaktan en az bir birim üretim yapılabilmesi için x1 in amaç fonksiyonundaki katsayısı en az x1 in indirgenmiş maliyeti (10) kadar artırılmalıdır. Yani, c1 = = 30 olmalıdır. c) Mevcut optimal çözüm kombinasyonunu bozmadan, A, B ve C sınıfı kontrplağın birim satış fiyatına yapılabilecek maksimum zam miktarı ne kadar olmalıdır? x1, x2 ve x3 karar değişkenleri için sırasıyla, $10, $5 ve sonsuz

d) Fabrika deposunda çıkan ani yangın sonucunda Kızılçam ve Karaçam tomruğunun %20'si tamamen yanmıştır. Bu durumun amaç fonksiyonuna olan etkisi nedir? 4 no’lu satırın gölge fiyatı sıfır  Bağlayıcı olmayan kısıt 3 no’lu satırın gölge fiyatı sıfır  Bağlayıcı olmayan kısıt e) Biyolojik çeşitliliğin korunması ve ormanların üretim dışı fonksiyonlarına olan talebin hızla artması neticesinde, Firma mevcut optimal çözüm kombinasyonunu değiştirmeden Sarıçam'da yapılabilecek azami değişikliği (indirimi) kabul etmiştir. Bu değişimin optimal çözüme olan etkisi nedir? Değişikliğin amaç fonksiyonuna olan etkisi 1500*150 = 225,000 Yeni amaç fonksiyon değeri ise = 225, ,000 = 0 f) Aşırı sıcaklıktan dolayı çıkan orman yangınları nedeniyle piyasada bol miktarda Kızılçam tomruğu mevcuttur. Firma bu fırsatı değerlendirmek istiyor. Kızılçam tomruğu alımının ekonomik getirisi nedir? Hiçbir getirisi yoktur. Çünkü, Kızılçam tomruk miktarında kullanılmayan 1000 m3’lük boş kapasite söz konusudur.

g) Firma, her bir tomruk türünden %5 oranında kullanılarak birim katkısı $12 dolardan D sınıfı bir kontrplak üretmek istiyor. Bu mümkün müdür? Neden? Toplam fırsat maliyet = 7,5+0+0= $7,5 dır. Bu ürünün satış fiyatı ($12) hesaplanan toplam fırsat maliyetinden fazla olduğundan dolayı D sınıfı kontrplak üretimi mümkündür. h) B sınıfı kontrplaktan 6 m3 üretilmek istendiğini varsayarak yeni optimal çözümü hesaplayınız

Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Emin Zeki BAŞKENT Yrd. Doç. Dr. Ali İhsan KADIOĞULLARI"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim