Matematik Ve Müziğin İlgisi

... konulu sunumlar: "Matematik Ve Müziğin İlgisi"— Sunum transkripti:

1 Matematik Ve Müziğin İlgisi
Ünlü Bestecilerin Bestelerinde Kullandıkları Matematik

2 Eski Yunan' da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.  Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.  Konfiçyüs (M.Ö ) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur.

3 Matematiğin müzik üzerindeki etkisini müzik parçalarının yazımında görebiliriz. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük , 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruş birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, ... gibi notalar bulunur. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.

4 Pisagor ( M.Ö.  ) ve onun düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek, müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği görülmüştür. Gerçektende çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı olarak gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 16/15’i si sesini verirken 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini; 3/2’si fa sesini; 8/5’i mi sesini; 16/9’u ise re sesini verir.

5 Bir kare plaka üzerinde , ince bir toz içinde titreşimlerle üretilen Chladni Rakamları..

6 İki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme sorununa eşdeğerdir. Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır diyen Leibniz’in haklılığı ortaya çıkıyor.      Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini izlemesinden oluşan cümleler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar, matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler.

7 Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19. yüzyılda matematikçi J
Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19. yüzyılda matematikçi J.Fourier tarafından yapılmıştır. Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır. Bir çok müzik aleti yapımcısı, yaptığı aletlerin periyodik ses grafiğini,  bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırır. Yine elektronik müzik kayıtları da periyodik grafiklerle yakından ilişkilidir. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir. Matematik – müzik ilişkisinin bir başka özelliğini ortaya çıkarabilmek için matematikte ve mimaride çok sık kullanılan bir oran var . Bu orana ALTIN ORAN denir.

8 Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci'dir
Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci'dir.     Leonardo Fibonacci ( )  bir İtalyan matematikçisidir.   Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak en çok "tavşan çiftliği" problemi ile meşhur olmuştur.  Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan  doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur.  Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar; 1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  610,  Seriye bakacak olursak,  son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir.  Burada bizim için önemli olan orandır.  Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır.  0, Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde "altın oran"  veya "mükemmel oran" olarak kullanılmıştır.   Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir  [AB] doğru parçası düşünelim.   Tüm doğru parçasının  büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir. 

9 Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir
Bella Bartok,  altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma Gönen, 1998: 13).  "Music for strings,  percussion and celeste"  parçasının ilk bölümünde en önemli kısım,  89 ölçünün 55.  ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998). 

10 Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir
Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir.  Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.  Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır.  Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize "altın oran" konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır.  Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.  2/3:3/4=8/9  (5T-4T=2M )  Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir. Devam edecek olursak;  8/9.8/9=64/81  (2M+2M=3M) Esas sesimiz "do" olsun.  Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir. Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz; 3/4:8/9=27/32  4T-2T=3m 2:27/32=16/27  6M 2:64/82=81/128  6m 2: 8/9=9/16 7m Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2  oranları ile ifade edilir. 

11 Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6,  8,  9,  ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik.  Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,  (12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu,  oldukça ilginç bir örtüşmedir. Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür

12 Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da "Pythagoras koması" olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir.  1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir . Tampere edilmiş 5 li,  7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır.  4lü ise,  5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür. Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995).

13 Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pythagoras'a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör  dizideki Maj. 3 'lü ve Maj. 6'lı aralıklarda.  Örneğin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü 4/5=64/80 iken,   Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10). Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine 'oran' anlayışı büyük önem taşımaktadır.  Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ'a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır.  Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.

14 İzlediğiniz İçin Teşekkür Ederim 
Selcen Kayra Türkyılmaz A