FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER

... konulu sunumlar: "FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER"— Sunum transkripti:

1 FONKSİYONLAR ve GRAFİKLER
Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ (1,3) (4,6) (3,3) (5,1) Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: A = {1,2,3} ve B = {a,b,c,d} olsun. d c (3,c) (1,c) (3,d) b (2,b) a (1,a) A 1 2 3 B Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: R reel sayılar doğrusunu hem yatay eksen hem de düşey eksen olarak alalım. y 4 3 (3,3) (1,3) 2 (2,2) (3,4) 1 (1,1) (0,0) x R 1 2 3 R Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
A ve B gibi iki küme verildiğinde A nın her bir elemanını B kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşleyen kurala A dan B ye bir fonksiyon diyoruz. Fonksiyon: A dan B ye bir fonksiyon, e, f fonksiyonunun eşleme kuralı, y’ye de x’in f altındaki görüntüsü diyeceğiz. Örnek: olsun. yazılır. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
A dan B ye bir fonksiyonda A ya bu fonksiyonun tanım kümesi B ye de değer kümesi denir. A kümesinin tüm elemanlarının B deki görüntülerinin oluşturduğu kümeye de görüntüler kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Doğal olarak dir. fonksiyonunda kümeleri veriliyor. Aşağıdaki ikililer kümelerinin A dan B ye birer fonksiyon olup olmadıkları belirleyiniz. Fonksiyon olanlarının görüntüler kümelerini yazınız. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

7 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
f = { (1,a), (2,b),(3,d)} A dan B ye fonksiyonunu Wen Şeması ile gösterelim. f A B 1 a b f(A) 2 d c 3 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
A dan B bir f fonksiyonu birinci terimi teker teker A kümesinin tüm elemanları ikinci terimi ise B den seçilen sıralı ikililer kümesidir. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

9 Fonksiyonunun Grafiği
(3,9) 9 (2,7) 7 5 (1,5) (-1,1) 1 x R -1 1 2 3 R Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

10 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ: 1. İçine Fonksiyon ise f içine bir fonksiyondur denir. a b c d 1 2 3 4 5 A B f f(A) f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) B olduğundan f içine bir fonksiyondur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

11 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2. Örten Fonksiyon ise f örten bir fonksiyondur denir. a b c d 2 3 4 A B f f(A) f(A) = { 2,3,4 } ve f(A) = B olduğundan f örten bir fonksiyondur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

12 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3. Birebir Fonksiyon ise f birebir bir fonksiyondur denir. a b c d 1 2 3 4 5 A B f f(A) f(A) = { 1,2,3,4 }, s(A) = sf(A) ve f(A) B olduğundan f birebir ve içine bir fonksiyondur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

13 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
4. Sabit Fonksiyon ise f sabit fonksiyondur denir. a b c d A B 1 3 5 7 f f(A) f (A) = {3} dır. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

14 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5. Birim Fonksiyon ise f birim fonksiyondur denir. a b c d A f f(A) f (A) = A dır. Birim fonksiyon her zaman birebir ve örten bir fonksiyondur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

15 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Bileşke fonksiyon. C a b c d 1 2 3 4 5 A B f g C 1 4 9 16 25 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

16 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: fonksiyonları veriliyor. fonksiyonlarını bulunuz a) b) Çözüm: Ödev: fonksiyonları veriliyor. fonksiyonlarını bulunuz a) b) Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

17 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Özel Fonksiyonlar 1. Sabit Fonksiyon şeklindeki fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. Örnek: 2. Polinom Fonksiyon şeklindeki fonksiyonlara n’inci dereceden bir polinom fonksiyon denir. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

18 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3. Parçalı Tanımlı Fonksiyon Değişkenin farklı değerleri için eşleme kuralı farklı tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Örnek: 4. Mutlak Değer Fonksiyonu şeklinde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu denir. Örnek: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

19 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Simetri y eksenine göre simetri x eksenine göre simetri Orijine göre simetri y =x doğrusuna göre simetri Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

20 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. fonksiyonu olduğundan bir çift fonksiyondur. Örnek: Grafiği y eksenine göre simetrik Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

21 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. fonksiyonu olduğundan bir tek fonksiyondur. Örnek: Grafiği Orijine göre simetrik Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

22 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Doğru Denklemleri şeklindeki birinci dereceden bir denklem bir doğru denklemidir. Bu denklemden yazılabilir. Örnek: doğrusunun grafiğini çiziniz. Aksiyom: İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. Buna göre bir doğrunun grafiğini çizmek için iki noktasını bilmemiz yeter. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

23 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

24 İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
noktaları verilsin x y Üçgenlerin benzerliğinden X(x,y) İki noktası bilinen doğrunun denklemi B(x2 ,y2) y -y1 y2 -y1 A(x1,y1) H K H1 H2 x2-x1 x-x1 x1 x2 x Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

25 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi. (Nokta-eğim denklemi) Doğrunun genel denklemi (eğim-kesim denklemi) Doğrunun genel denklemi Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

26 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Paralel ve Dik doğrular İki dorunun paralel olması için gerek ve yeter şart eğimlerinin eşit olmasıdır. İki dorunun birbirine dik olması için gerek ve yeter şart eğimleri çarpımının -1 olmasıdır. Dikey ve Yatay Doğrular x eksenine paralel olan doğruya yatay doğru, y eksenine paralel olan doğruya da dikey doğru denir. Yatay doğruların denklemleri Dikey doğruların denklemleri şeklindedir. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

27 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Fonksiyonların Tanım Kümeleri Bu dersimiz de reel sayılar kümesinden yine reel sayılar kümesine tanımlı fonksiyonlarla ilgileneceğiz. Bu nedenle fonksiyonları sadece eşleme kuralları ile vereceğiz. Tanım kümeleri ile görüntüler kümelerini biz bulacağız. Bir fonksiyonda payda varsa paydayı sıfır yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır. Çift kuvvetten kök varsa kökün içini negatif yapan sayılar için fonksiyon tanımsızdır. Bu iki durum dışında bu derste ele alacağımız fonksiyonlar tanımlıdır. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

28 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnekler: Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini ve görüntü kümelerini bulunuz, grafiklerini çiziniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

29 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Aşağıdaki verilen noktalardan geçen doğruların eğiklerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz Aşağıdaki BİR noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini yazınız ve grafiklerini çiziniz. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol