MIT503 Veri Yapıları ve algoritmalar En önemli graf problemleri

... konulu sunumlar: "MIT503 Veri Yapıları ve algoritmalar En önemli graf problemleri"— Sunum transkripti:

1 MIT503 Veri Yapıları ve algoritmalar En önemli graf problemleri
Y. Doç. Yuriy Mishchenko

2 En önemli graf problemleri
Ders planı En kısa patika problemi Minimum yayılan ağaç problemi Maximal akım problemi

3 Graf Temelleri Graflar, genel ilişkileri temsil etmek için kullanılır
Birkaç nesne (düğüm) ve onlar arasında ilişkiler (bağlantılar) var İlişkilere sayısal değerler atanabilir (ilişkilerin ağırlıkları) ve yönler atanabilir (ilişkilerin yönleri) 0.5 0.25 0.33 0.77 0.15 0.17 1.0

4 Graf Arama Problemi Temel graf problemi – graf arama/incelenmesi:
Bağlantıları takip ederek belirli bir düğüm bulmak Belirli bir düğümden diğer düğümlerin uzaklıklarını bulmak Grafın yapısını incelemek (örneğin bağlı parçaları) Derinlikte ve enine graf arama algoritmalar veya stratejileri

5 Graflar İleri Sorunları
En kısa patika problemi Bağlantı ağırlıklarına göre (örneğin bağlantıların masraflarına göre) iki düğüm arasında asgari ağırlıkta olan (örneğin en üçüz) patikayı bulmak Minimum yayılan ağaç problemi Bağlantı ağırlıklarına göre (örneğin masraflar) grafın tüm elemanlarını içeren ve asgari ağırlıkta olan yayılan ağaç bulmak Maximal akış problemi Bağlantı ağırlıklarına göre (bağlantı aktarımlarına göre) bir ağı geçen azami akış sistemi bulmak Maximal kesim Bağlantı ağırlıklarına göre (bağlantı güçlerine göre) grafın iki parçaya optimal bölme bulmak

6 En kısa patika problemi
En kısa patika, ileri graf problemlerinden en yaygın karşılaşılananlardan biridir: Bir ağırlıklı graf var, örneğin bir üretim sürecinin mümkün adımları belirten ve ağırlıklar ilişkili masraflarını belirten bir graf Bir başlangıç ve sonuç noktasını bağlayan asgari ağırlıkta olan, yani en ücüz, patikayı bulmak lazım (patikanın ağırlığı, içeren bağlantı ağırlıkların toplamı demektir)

7 En kısa patika problemi
Uygulamaları: İki konum arasında en uygun yol bulmak (harita ve yol tarifleri) Bir süreç için en verimli işlem sırası bulmak Üretim tesisinin en uygun yerleşimi bulmak Bir projede en verimli adım sırası bulmak İnternet trafiği yönlendirmek Birçok örnek kolayca bulunabilir

8 En kısa patika problemi
sonuç 1.5 0.25 0.77 0.33 1.0 başlangıç 0.5 0.17 1.0 0.33 0.15

9 En kısa patika problemi
“A” yol masrafı = =2.5 sonuç 1.5 0.25 0.77 0.33 1.0 başlangıç 0.5 0.17 1.0 0.33 0.15

10 En kısa patika problemi
“A” yol masrafı = =2.5 sonuç 1.5 0.25 “B” yol masrafı= =2.75 0.77 0.33 1.0 başlangıç 0.5 0.17 1.0 0.33 0.15

11 En kısa patika problemi
“A” yol masrafı= =2.5 sonuç 1.5 0.25 “B” yol masrafı= =2.75 0.77 0.33 1.0 başlangıç 0.5 0.17 A yol daha “kısa” 1.0 0.33 0.15

12 En kısa patika problemi
Note: Ağırlıksız grafta enine arama bu işi zaten yapar Ağırlıklı graflarda çok zor problemdir Bütün mümkün yolları incelersek, 4 olanaklı 10 adım için 410=1,000,000 olanak incelenmesi gerekiyor Naif adımlar da zararlı olabilir

13 En kısa patika problemi
Naif ilk adım 3 0.5 1.5 1 Doğru adım En kısa yol

14 En kısa patika algoritması
En kısa patika problemi çözmek için “Dijkstra” algoritması kullanılır Dijkstra algoritması, matematikçi Edsger Dijkstra tarafında 1959 da keşfedilmiştir

15 En kısa patika algoritması
Ana fikri: Başlangıç düğümünde başlayın Düğümün komşularını inceleyip başlangıçtan onların mesafelerini hesaplayın Komşuların mesafelerini hesaplamak için bu formulü kullanın: önceki düğümün başlangıçtan uzaklığı D ve o düğüm ve komşu arasında ağırlık d ise, komşunun başlangıçtan uzaklığı en çok (D+d) dir

16 En kısa patika algoritması
x 0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0

17 En kısa patika algoritması
0.2 1.0 x 0.5 0.3 0.8 0.1 1. Başlangıcın komşularını incelenir; uzaklıklarını doğrudan atanır (önceki D=0, başlangıç zaten)

18 En kısa patika algoritması
0.2 1.0 x 0.5 2.0 0.3 0.8 0.1 Bu nesneyi geçtik 2. Birinci “komşu” nesnesinin komşuları incelenir

19 En kısa patika algoritması
0.2 1.0 0.5 x 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 Bu nesneyi geçtik şimdi 3. İkinci “komşu” nesnesinin komşuları incelenir

20 En kısa patika algoritması
Burada, yeni uzaklık (0.7) önce uzaklık (0.5)’tan daha büyük; değiştirmiyoruz 0.2 1.0 0.5 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 4. Üçüncu “komşu” nesnesinin komşuları incelenir

21 En kısa patika algoritması
Tekrar, yeni uzaklık (2.3) önce uzaklık (0.5)’tan daha büyük; değiştirmiyoruz 0.2 1.0 0.5 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 5. Sonraki “komşu” nesnesinin komşuları incelenir

22 En kısa patika algoritması
Burada yeni 1.3 uzaklık önce uzaklıktan daha büyük; değiştirmiyoruz 0.2 1.0 0.5 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 6. Sonraki “komşu” nesnesinin komşuları incelenir

23 En kısa patika algoritması
Burada yeni uzaklık (0.5) önce uzaklık (1.0)’tan daha küçük; şimdi değiştiriyoruz 0.2 1.0 0.5 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 7. Son nesne için onun komşusu incelenir

24 En kısa patika algoritması
0.2 1.0 0.5 2.0 0.4 0.3 0.8 0.1 En kısa patikayi GERİ giderken buluruz

25 Dıjkstra algoritmasının sözde kodu
1 function Dijkstra(Graf, başlangıç): 2 for v, Graf’ın bütün elemanları için // başlama 3 uzaklık(v):= nan ; 4 önce_eleman(v) := nan ; 5 end for ; 6 Q := (Graf’ın eleman kümesi) ; 7 uzaklık(başlangıç):= 0 ; 8 while Q boş değil 9 u := Q’nun en küçük uzaklığa sahip olan elemanı ; 10 Q’dan u çıkartın ; 11 if u’nun uzaklığı = nan 12 devam edin ; // bu eleman başlangıçtan sağlanamaz, faklı bağlı parçası 13 else 14 for v , u’nun bütün komşuları için 15 d := u’nun uzaklığı + u’den→v’ye ağırlığı; 16 if d < uzaklık(v): // min (u,v,a) bulma 17 uzaklık(v):= d ; 18 önce_eleman(v):= u ; 19 end if ; 20 end for ; 21 end if ; 21 end while ; 22 end Dijkstra ;

26 Algoritma analizi En kısa yol bulma ne kadar zaman gerekir?
Bütün adımlarda bütün grafın elemanlarının incelenmesi gerekebilir, demek ki grafın N elemanı varsa, en kısa yol bulma O(N2)’a kadar zaman gerekebilir Dijkstra algoritması, O(N2) algoritmadır

27 Minimum yayılan ağaç problemi
Bir ağırlıklı graf var, örneğin bağlantılar birkaç konum arasında mümkün yollar belirtir ve ağırlıklar yolların fiyatlarını belirtir Yayılan ağaç, bütün grafın elemanları bağlayan grafın altağacıtır Bu ağacın toplam ağırlığı içindeki bağlantıların toplam ağırlığıdır; örneğin yolların toplam fiyatı Asgari toplam ağırlıkta olan yayılan ağaca minimum yayılan ağaç denir

28 Minimum yayılan ağaç problemi
Uygulamalar: Bir bölgenin elektrik şebeke, yanı santralları ve tüketicileri bağlayan en düşük masraflı elektrik şebeke Üreticinin veya ticari şirketin tedarik ağı Bir şirketin şübeler ağı

29 Minimum yayılan ağaç problemi
Yayılan ağaçlar çok olabilir: Derinlikte arama yayılan agacı Enine arama yayılan agacı Minimum yayılan ağaçların birkaç tanesi de olabilir, yani tek çözüm yok Minimum yayılan ağaç bulmak için Kruskal ve Prim algoritmaları kullanılır

30 Minimum yayılan ağaç algoritması
Prim algoritması, Vojteç Jarnik (1930) ve sonra Robert Prim (1957) tarafından keşfedilmiştir

31 Minimum yayılan ağaç algoritması
Prim algoritmasının ana fikri: Herhangi bir eleman ile başlıyoruz; bu noktada tek elemanlı yayılan agacı kuruyoruz Bütün adımlarda önce oluşturulan yayılan ağaca asgari ağırlıkta bitişik bağlantı ekleniyor Sonuna kadar

32 Minimum yayılan ağaç algoritması
Prim algoritması açgözlü algoritmanın örneği, yani tüm adımlarda şimdilik en iyi görünen bağlantı eklenir

33 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 1. Başlangıç nesnesi

34 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 2. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

35 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 3. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

36 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 4. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

37 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 5. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

38 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 6. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

39 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 7. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

40 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 8. Asgari ağırlıkta bitişik kenarı eklenir

41 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 Asgari yayılan ağaç

42 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 Birkaç minimum yayılan ağaç da olmayabilir

43 Minimum yayılan ağaç algoritması
0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 Aynı ağırlıkta olan başka bir minimum yayılan ağaç →

44 Algoritma analizi Prim algoritması; minimum yayılan ağaç oluşturur
açgözlü algoritmadır O(N2) algoritması

45 Maximum akış problemi Maximum akış problemi;
Bir ağırlıklı akış ağı var, örneğin şehir yol ağı, elektrik şebeke ağı, bilgisayar ağı, vb Ağırlıklar, bağlantının azami akışı belirler Akışın başlangıç (ilk) ve sonuç (son) noktaları var Başlangıçtan sonuca giden toplam akışı olarak en yüksek akış sistemi bulmak gerekmektedir

46 Maximum akış problemi Uygulamalar:
Bir üretim süreci için maximum çıktısını sağlayan yöntemi Yok sisteminin iyileştirilmesi Elektrik devrelerinin tasarımı Bütün graf elemanlarını içeren asgari fiyatta olan yolların kümesini bulma Bir başlangıç noktasından bir sonuç noktasına giden azami bağımsız yolların kümesi bulma VB

47 Akış grafının temelleri
Bağlantının kapasitesi c(u,v) Başlangıç “b” 0.5 0.3 Gerçekleştirilmiş bağlantının akışı f(u,v) Sonuç “s”

48 Akış graflarının temelleri
Bağlantının kapasitesi c(u,v) Başlangıç “b” 0.5 0.5 0.2 0.3 0.8 0.1 1.0 0.2 0.3 Gerçekleştirilmiş bağlantının akışı f(u,v) Koşullar: Mümkün akış f(u,v)≤c(u,v) Tüm düğümlerin gelen ve çıkan akışları eşittir Sonuç “s”

49 Akış graflarının temelleri
Bütün bağlantılar için iki özellik var; c(u,v), u elemandan v elemana azami kapasitesi veya akış f(u,v), u elemandan v elemana gerçek akış

50 Akış graflarının temelleri
Akışın uygun olması, gerçek akışların ilişkili bağlantıların kapasitelerinden küçük olması demektir, f(u,v)≤c(u,v) Bütün düğümlere gelen ve çıkan akışlar eşit olmalıdır, (gelen)∑f(u,v)=(çıkan)∑f(u,v)

51 Akış graflarının temelleri
Maximum akış matematiksel problemi Başlangıçtan yada sonuca azami akışı Gerçek akışlar kapasitelerden küçükler Gelen ve çıkan akışlar eş

52 Akış graflarının temelleri
Maximum akış matematiksel problemi Bu problemin şekli standart “lineer program” optimizasyon probleminin şekli ve standart genel lineer optimizasyon yöntemleri kullanarak çözülebilir

53 Maximum akış algoritması
Maximum akış özel (daha verimli) algoritması Ford-Fulkerson algoritmasıdır (1956) (bağlantıların kapasiteleri tamsayısal olmalı)

54 Maximum akış algoritması
Ana fikri: İlk önce akışların hepsi sıfıra konulur, f(u,v)=0 Matematiksel olarak f(u,v)=-f(v,u) olarak kullanıyoruz (yani ters yönde negatif akış var) Bir gerçek akışların düzenlenmesi için kalan kapasiteler niceliği öyle tanımlarız: kalan(u,v)=c(u,v)-f(u,v) Başlangıçtan sonuca giden pozitif kalan kapasitede olan patika bulunabilirse, bu patikanın min kalan akışı patikadaki akışlara ekleniyor VB

55 Maximum akış algoritması
Ana fikri, matematiksel formülleştirilmesi: başlangıçtan sonuca giden sadece pozitif kalan kapasiteleri içeren (yani “kalan(u,v)>0”) herhangi patika için Bu patika için kalan kapasitesi kalan=min(cf(u,v)) Bu patikadaki bağlantılar bu şekilde güncelleştiriliyor (bağlantının patikada yönüne göre) f(u,v):=f(u,v)+kalan f(v,u):=f(v,u)-kalan

56 Maximum akış algoritması
{kapasite=5|akış=0(kalan=5;ters kalan=5)} 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|0(5;5) 8|0(8;8) 1|0(1;1) 10|0(10;10)

57 Maximum akış algoritması
Pozitif akış patikası, min kalan kapasite: cp=2 5|0(5;5) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 8|0 (8;8) 1|0 (1;1) 3|0 (3;3) 10|0(10;10) 10|0 (10;10) 2|0;(2;2) En düşük kapasite

58 Maximum akış algoritması
Bu bağlantıları güncelleştirilir 5|2(3;7) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|0(5;5) 8|0(8;8) 1|0(1;1) 3|2(1;5) 10|0(10;10) 2|2(0;4) Akışları güncelleştiriyoruz f(u,v):=f(u,v)+cp f(v,u):=f(v,u)-cp Önce: 3|0(3;3)

59 Maximum akış algoritması
Yeni pozitif akış patikası, cp=1 5|2(3;7) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|0(5;5) 8|0(8;8) 1|0(1;1) 3|2(1;5) 10|0(10;10) 2|2(0;4) Asgari kapasite Geri geçilen bağlantılarda ters kapasite kullanılır

60 Maximum akış algoritması
5|2(3;7) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|0(5;5) 8|1(7;9) 1|1(0;2) 3|2(1;5) 10|1(9;11) 2|2(0;4) 3|1(2;4) Akışları güncelleştiriyoruz f(u,v):=f(u,v)+cp ... Önce: 3|2(1;5) Geri giden bağlantılar ters yönde değiştirilir

61 Maximum akış algoritması
Yeni pozitif akış patikası, cp=1 5|2(3;7) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|0(5;5) 8|1(7;9) 1|1(0;2) 3|2(1;5) 10|1(9;11) 2|2(0;4) 3|1(2;4) Asgari kapasite

62 Maximum akış algoritması
5|3(2;8) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|1(4;6) 8|0(8;8) 1|1(0;2) 3|3(0;6) 10|1(9;11) 2|2(0;4) 3|2(2;4) Akışları güncelleştiriyoruz f(u,v):=f(u,v)+cp ...

63 Maximum akış algoritması
Yeni pozitif akış patikası, cp=2 5|3(2;8) 2|0(2;2) 3|0(3;3) 5|1(4;6) 8|0(8;8) 1|1(0;2) 3|3(0;6) 10|1(9;11) 2|2(0;4) 3|2(2;4) Asgari kapasite

64 Maximum akış algoritması
5|3(2;8) 2|2(0;4) 3|0(3;3) 5|1(4;6) 8|0(8;8) 1|1(0;2) 3|3(0;6) 10|1(9;11) 3|2(2;4) Akışları güncelleştiriyoruz f(u,v):=f(u,v)+cp ...

65 Maximum akış algoritması
5|3(2;8) 2|2(0;4) 3|0(3;3) 5|1(4;6) 8|0(8;8) 1|1(0;2) 3|3(0;6) 10|1(9;11) 3|2(2;4) Kalan pozitif akış patikası yok – Bütün bağlantılar sıfır kalan kapasitededir (dolu)

66 Maximum akış algoritması
{kapasite=5|gerçek akış=3} 2|2 3|0 5|1 8|0 1|1 3|3 10|1 3|2 Maximum akış = 6

67 Maximum akış algoritması
Farklı maximum akışlar olabilir

68 Maximum akış algoritması
5/1 2/2 3/0 8/0 1/1 3/3 10/3 2/0 Farklı bir maximum akış

69 Maximum akış algoritması
Ford-Fulkerson algoritması O(Nf) zaman algoritması, burada f –bağlantıların maximum akış kapasitesi ve N grafdaki elemanların sayısıdır