P-Ortanca Probleminin Yeni Bir Çok Malzemeli Akış Modeli ile Çözülmesi

... konulu sunumlar: "P-Ortanca Probleminin Yeni Bir Çok Malzemeli Akış Modeli ile Çözülmesi"— Sunum transkripti:

1 P-Ortanca Probleminin Yeni Bir Çok Malzemeli Akış Modeli ile Çözülmesi
Barbaros Tansel a ve İbrahim Akgün a,b a Bilkent Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü b Kara Harp Okulu Sistem Yönetimi Bilimleri Bölümü YAEM 30. Ulusal Kongresi 29 Haziran-2 Temmuz 2010

2 P-Ortanca Problemi (Hakimi 64, 65)
G=(N,E) ; wj , lij d(x,y)= x ve y arasındaki en kısa yol mesafesi X  G, |X|=p D(X,i)min{d(x,j): xX} f(X)=∑{wiD(X,i): iN}. p-ortanca problemi: |X*|=p ve f(X*)≤ f(X) X  G, |X|= p, olacak şekilde, X*  G’yi bulmak Hakimi’nin düğüm optimalite teoremi, en iyi çözüm arayışını, düğümlere sınırlar

3 Klasik Formülasyon (CF) (Balinski 61, ReVelle ve Swain 70)

4 Klasik Formülasyon İyileştirmeleri
Rosing, ReVelle ve Rosing-Vogelaar (79) Church (03) Church (07)

5 Klasik Formülasyon Tabanlı Tam (Pekin) Çözüm Yöntemleri
ReVelle ve Swain [70] Doğrusal programlama (DP) gevşetmesine dayalı dal-sınır tekniği Jarvinen, Rajala ve Sinervo [72] dal-sınır tekniği, açık başla, p tane kalıncaya kadar kapat Garfinkel, Neebe ve Rao [74] DP’yi çözmek için ayrışım, grup kuramı, dinamik arama Narula, Ogbu ve Samuelsson [77] Lagrange gevşetmesi ve alt-gradyan eniyileme. Mavrides [79] Lagrangean gevşetmesi ve kapasitesiz tesis yerleşimi teknikleri Galvao [80] DP gevşetmesinin eşleniğine dayalı dal-sınır tekniği Boffey ve Karkazis [84] değişken sabit maliyetli, kapasitesiz tesis yerleşim problemleri dizisi Christofides ve Beasley [82] Lagrangean gevşetmesi ve alt-gradyan eniyileme Beasley [85] n= 900, p= 90’a kadar çözüm elde edildi Mirchandani, Oudjit ve Wong [85] Lagrangean eşleniği, eşlenik simpleks Galvao ve Raggi [89] üç safha: temel-eşlenik, alt-gradyan eniyileme, dal-sınır tekniği Farias [01] yüzlem tanımlayan eşitsizliklere dayalı dal-kesi tekniği Avella, Sassano ve Vasil’ev [07] dal-kesi-maliyet tekniği, n=90’den n=3795’e Church [07] BEAMR tam/yaklaşık, n=900, genel amaçlı tamsayılı programlama çözücü Reese [07] 65 sezgisel yöntem Mladenovic, Brimberg, Hansen ve Moreno-Perez [07] meta-sezgisel yöntemler

6 Küme Bölüntüleme Formülasyonu
ck=min jSk ∑{cij: iSk }

7 Küme Bölüntüleme Formülasyonu Literatürü
İlk çalışma: Minoux [87] Çok fazla sayıda sütun (t=2n-1) DP’yi çözmek için sütun türetimi yöntemine ihtiyaç duyar Birçok uygulamada, sütunların seçilen bir alt kümesi kullanılır Hansen ve Mladenovic [97] ve du Merle, Villenuve, Desrosiers ve Hansen [99], sütun türetimini sabitleştirecek metodlar du Merle ve Vial [02] kesi düzlemleri ve Lagrangean gevşetmesi ile sütun türetimi Senne, Lorena ve Preira [05] sabitleştirilmiş sütun türetimi ile Lagrangean gevşetmesini birleştiren dal-maliyet

8 Yönlü Serim Tabanlı Formülasyon
(Avella ve Sassano, 2001)

9 Yönlü serim tabanlı formülasyon
Tüm yönlü serim Kn=(N, NN)’de, X’teki ve N\X’teki düğümleri birleştiren n-p ayrıtın toplam ağırlığını enküçükleyecek şekilde N’den p-elemanlı alt küme X’in seçilmesi n-p ayrıtın seçimi, N’deki her düğüme giren ayrıt olmayacak ya da bir giren ayrıt olacak şekilde yapılacak İkili değişken xij, (i,j) ayrıtı n-p ayrıt arasında ise 1, diğer durumlarda 0 değerini alır Çokyüzlü analiz, etkin geçerli eşitsizlikler

10 Mesafe sıralı formülasyon
Cornuejols, Nemhauser ve Wolsey [80], Elloumi [10]

11 Mesafe sıralı formülasyon
t(i)= D=[d(i,j)] ’nin i ’ninci satırındaki birbirinden farklı eleman sayısı Di1  Di2 … Dit(i) i ’ninci satırdaki birbirinden farklı elemanların sıralaması Nir = d(i,j)≤ Dir koşulunu sağlayan düğüm kümesi jN zir =1, eğer Nir ’de tesis açılırsa, 0, diğer durumda. xi =1, eğer i ’de bir tesis açılırsa, 0, diğer durumda. zir =1, eğer Nir ’de açılan bir tesis yoksa i düğümü için maliyet, zi1 = 0 ise Di1, zi2 = 0 ise Di2 , gibi. Elloumi [10], kısıt (16)’nın sağ tarafını 1’den zi,r-1, r=2,…,t(i)’ye değiştirdi DP gevşetmesini çalıştı, standart dal-kesi performansını iyileştirdi

12 Mevcut Formülasyonlara İlişkin Değerlendirmeler
Tüm çözümler, yıldız-ağaç çözümleri Tüm modeller, tam serim verisine dayalı Çekinceler: 1) Tüm düğüm çiftleri için maliyet verisi ihtiyacı vardır. 2) C=[cij], üçgen eşitsizlliğini sağlamıyorsa, maliyeti fazla hesaplar. 3) Serim tam değilse, tüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolların hesaplanması gerekir. 4) Yerleşim yeri ile rotalama arasındaki etkileşim kaybolur.

13 Yeni Formülasyon Doğrudan G=(N,E) serimi ile çalışır
Tam olmayan serimler için de kullanılabilir Girdi ihtiyaçları önemli oranda azalır Yıldız-ağaç yapısından farklı olarak en kısa yol ağaç yapısı verir Toplam maliyet değerini, olduğundan fazla hesaplamaz Serim yapısından bağımsız olarak doğru maliyeti hesaplar Yerleşim ve rotalama arasındaki ilişkiyi yakalar

14 Tam ve tam olmayan serimler
Tam serim

15 Yıldız-ağaç yapısı ve en kısa yol ağaç yapısı çözümleri
Yıldız-ağaç yapısı (Toplam maliyet=10) En kısa yol ağaç yapısı(Toplam maliyet=10) Yerleşim yerleri

16 Ayrıt maliyetleri üçgen eşitsizliğini sağlamayan tam serim

17 Yıldız-ağaç ve en kısa yol ağaç yapısı çözümleri
Yıldız-ağaç yapısı (Toplam maliyet=14) En kısa yol ağaç yapısı (Toplam maliyet=11) Yerleşim yerleri

18

19 Çok malzemeli akışların dönüştürülmesi
Düzgün kapsarağaç

20 Çok malzemeli akış formülasyonu (MCF)
(Tansel ve Akgün, 2010)

21 Test Sonuçları TUR 1 tam olmayan, n=81 MCF TUR 2 tam, , n=81 MCF, CF
RAN tam, not , n{100,120} MCF, CF RAN tam, , n{100,120} MCF, CF ORL tam olmayan, n{100,…,900}, MCF, MCFR, CF ORL tam,,n{100,…,900}, MCF,MCFR,CF

22 Tam olmayan TUR1 problemleri için test sonuçları (1)

23 Tam olmayan TUR1 problemleri için test sonuçları (2)
n=81, |A|=605 Çözüm zamanları: secs ZLP= ZMCF, 7 problem için ZLP < ZMCF, 3 problem için

24 Üçgen eşitsizliğini sağlayan, tam TUR2 problemleri için sonuçlar (1)

25 Üçgen eşitsizliğini sağlayan, tam TUR2 problemleri için sonuçlar (2)
n=81, |A|=6561 Çözüm zamanları yükseliyor: TUR1 sonuçları: DP, aynı 7 problem için eniyi tamsayılı çözümü veriyor.

26 Üçgen eşitsizliğini sağlamayan, tam RAN1 problemleri için test sonuçları (1)

27 ZLP ve ZIP arasındaki yüzdesel fark (n=100)
Üçgen eşitsizliğini sağlamayan, tam RAN1 problemleri için test sonuçları (2) n=100, |A|= ve n=120, |A|=14400 ZLP ve ZIP arasındaki yüzdesel fark (n=100) CF: MCF: CF: MCF:

28 Üçgen eşitsizliğini sağlamayan, tam RAN1 problemleri için test sonuçları (3)
MCF, DP sınırları bakımından CF’den çok daha iyidir. CF, toplam maliyeti önemli oranda olduğundan yüksek hesaplar. ortalama 180 % aralık: 17 – 640 % MCF’nin çözüm zamanları, daha iyidir. n= MCF: ortalama: aralık: CF: ortalama: aralık: n= MCF: ortalama: aralık: CF: ortalama: aralık:

29 Üçgen eşitsizliğini sağlayan, tam RAN2 problemleri için test sonuçları

30 Üçgen eşitsizliğini sağlayan, tam RAN2 problemleri için test sonuçları
MCF ve CF, aynı DP sınırlarını ve tamsayılı çözümü verir. CF, MCF’den daha iyi çözüm zamanları verir.

31 1 düğümünde köklü, düzgün en kısa yol kapsarağaç yapısı ve ters-ayrıt-yönlü ağaç yapısı

32 Sadeleştirilmiş Model (MCFR)
Tüm xijk , (i,j)A*\Ak*, kN elenir. Akış değişkenlerinin toplam sayısı (2n-1)n’ye düşer (bu değer ilk önerilen modeldekine göre n kere daha düşüktür).

33 Ak* kümesini belirlemek için en kısa yol, en düşük maliyet modeli

34 Tam olmayan ORL1 problemleri (Beasley, 1990) için test sonuçları (1)
CF 0,33 0,59 2,22 0,23 38,00 2,93 2,04 1,98 1,78 23,24 73,71 6,68 10,36 6,04 ORL2

35 Tam olmayan ORL1 problemleri (Beasley, 1990) için test sonuçları (2)
OUM: out of memory

36 Tam olmayan ORL1 problemleri (Beasley, 1990) için test sonuçları (3)
CF NF 1473 781 90 58 51 2132 1062 129 88 3503 - 174 274 124 77 14 8 6 102 16 10 185 3057 21 500 436 25 OUM: yetersiz bellek ORL2

37 Tam olmayan ORL1 problemleri (Beasley, 1990) için test sonuçları (4)
MCFR çözüm zamanları, MCF çözüm zamanlarından daha düşüktür. Daha da önemlisi MCF için, n>300 olduğunda, bellek yetersizliği problemi MCFR, boyutları n=100’den n=900’a kadar değişen 40 problemden 37’sini çözmüştür

38 Teşekkürler

39 Comparison of model sizes
NZ: nonzeros

40 Computational results for complete, non-triangulated TUR3 instances

41 Computational results for complete, triangulated ORL2 instances
OUM: out of memory

42 Floyd Algoritması ile en kısa yol mesafelerini elde etme süreleri