10. OPTİMİZASYON OPTİMİZASYON NEDİR?

... konulu sunumlar: "10. OPTİMİZASYON OPTİMİZASYON NEDİR?"— Sunum transkripti:

1 10. OPTİMİZASYON OPTİMİZASYON NEDİR?
İnsanların yaşamları boyunca karşılaştıkları sorunları çözüm arayışları zamanla bu çözümleri modeller üzerinde arama yaklaşımını doğurmuştur. Matematik ve bilgisayardaki gelişmeleri dış dünyanın problemlerini matematiksel olarak problemleyip bu çözümleri modelleyip çözerek bu çözümleri gerçek hayata yansıtma olanağı vermiştir.

2 Matematiksel modelleme tekniği öncelikle doğrusal ve az sayıda değişkenlerin kullanılmasıyla başlamıştır. Bir süre sonra doğrusallık varsayımını her problem için geçerli olmadığı anlaşılmıştır.Bu durumda doğrusal olmayan modellemeye gidilmiştir. Ancak doğrusal olmayan modellerin kendine özgü çözümleri uygulamada birçok sorunu beraberinde getirmiştir. Zamanla geliştirilen bazı yöntemlerle doğrusal olmayan modellerin hızla çözümlenmesi sağlanmış ve bu optimizasyon teorisini geliştirmiştir.

3 NEDEN OPTİMİZASYON? Çünkü Optimizasyon "En İyileme" anlamına gelir ve herzaman için hedeflenen bir sonuçtur. Bir işin yapılmış olması demek, o işin en iyi şekilde yapıldığı anlamına gelmez. Optimizasyon teknikleri, yapılmış veya yapılmakta olan işin en iyi çözümünü ortaya koymak için kullanılır. Bu teknikler kullanılarak ortaya konulmuş olan çözüm, Optimum Çözüm olarak adlandırılır. Hedef her zaman için bu optimum çözümü yakalayabilmektir. Optimizasyon, anlamından da anlaşılacağı gibi, her alanda kullanılmaktadır. Yapılacak olan bir inşaattan tutun bir web sitesine kadar her alanda bu tekniklere ihtiyaç duyulur.

4 f’(x)=0 kök problemini çözerek optimumu bulmaya yarar.
10. OPTİMİZASYON Kök belirleme ve optimizasyon u birbirine benzetebileceğimiz kavramlardır. Kök belirleme bir fonksiyonun veya fonksiyonların sıfır olduğu noktaların aranmasını içerir. Fakat optimizasyonda ise minimum veya maksimum noktaların aranması söz konusudur. Optimum nokta denilince akla bu noktadaki f(x)’in türevinin sıfır olduğu x değerine karşı gelir. Ayrıca f’’(x) de yani ikinci türev de optimum un maksimum veya minimum olduğunu belirtir. Eğer f’’(x)<0 ise nokta maksimumdur;f’’(x)>0 ise nokta minimumdur. f’(x)=0 kök problemini çözerek optimumu bulmaya yarar.

5 OPTAMİZASYONUN TARİHÇESİ
Günümüzde optimum çözümleri için hâlâ diferansiyel hesap yöntemleri kullanılmaktadır. Lagrange interpolasyon yöntemi kısıtlanmış problemlerin optimizasyonu için geliştirilmiştir. Sayısal yöntemlerdeki ilk büyük ilerlemeler İkinci Dünya Savaşı’ndan sonra sayısal bilgisayarların gelişmesinden sonra ortaya çıkmıştır. Örneğin İngiltere’de Koopmans ve eski Sovyetler Birliği’nde Kantorovich birbirlerinden bağımsız olarak en az maliyetli stok ve ürün dağılımları probleminin üzerinde çalıştılar. Bilgisayar kullanımının yaygınlaşmasından sonra kısıtlamasız optimizasyon yaklaşımları da hızlı bir şekilde gelişti.

6 OPTİMİZASYON VE MÜHENDİSLİKTE UYGULAMALANMASI
Optimizasyon bir problemin en iyi sonucunu bulmaya çalışır. En iyi tasarımı nasıl elde edeceğimizi anlatmak için kullanılır. Örneğin; En az maliyetle malzeme kesme stratejisi Minimum ağırlık ve maksimum mukavemet için uçak tasarımı Uzay araçlarının optimum yörüngeleri Maliyeti minimum a indirmek için planlı bakım Gibi milyonlarca örnek optmizasyonun mühendisliğe uygulanışının göstergesidir.

7 Optimizasyon problemlerinin temel unsurları
Optimizasyon problemlerinde dikkat etmemiz gerekenler; Problemin hedefi içeren bir amaç fonksiyonu olacaktır. Bir tasarım vektörü olmalıdır. Problemdeki sınırlayıcı koşulları tanımlayan kısıtlar olmalıdır. Yani yukarıdaki ifadelere göre optimizasyon problemini matematiksel ifade edersek; F(x) D(x)<a E(x)=b ifade ederim. Burada x maksimum u veya minimum u gerçekleyecek bir tasarım vektörü ;f(x)=amaç fonksiyonu ; d(x) ‘ ler eşitsizlik şeklindeki kısıtlamalar ; e(x) ler ise eşitlik şeklindeki kısıtlamaları ifade etmektedir. Optimizasyon problemlerinin bir başka sınıflandırma şekli de şudur; Bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyon Çok boyutlu kısıtlamasız optimizasyon

8 Bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyon
Bir boyutlu optimizasyon bir değişkenli bir f(x) fonksiyonunun maksimum ve minimumunu bulmaya yarayan teknikleri kapsar. Kök belirlemede olduğu gibi bir boyutlu optimizasyon da açık ve kapalı yöntemler olmak üzere ikiye ayrılabilir. Kapalı yöntemler Golden bölme araması İkinci derece interpolasyon Açık yöntemler Newton yöntemi Bu yöntemlerden golden bölme yöntemi tek bi optimumu kıskaca alıp ilk tahminlere dayanan bir kapalı yöntemdir.Ama Newton yöntemi ise maksimumu ve minimumu f’(x)=0 ın köklerine dayanarak bulmaya çalışır.

9 Golden bölme araması Golden bölme araması ikiye bölme yaklaşımına benzer. Şimdi de golden bölme aramasını ile bir fonksiyonun optimumunu bulmak için ikiye bölmeye benzer bir yaklaşım geliştirmeliyiz. Golden bölme aramasında Xa ve Xü sınırlarından ayrı iki tane de iç nokta (ara nokta) seçmeliyim. Antik çağlardan beri bilinen golden oranı golden bölme yönteminin anahtar öğesini oluşturur. Bu yaklaşımda; d = golden oranı=(Xü-Xa) X1=Xa+d =iç nokta X2=Xü-d =d,ğer iç nokta Bu yaklaşım için daha sonraki adımımız f(x2) ve f(x1) i hesaplamaktır. Eğer f(x2)>f(x1) ise bir sonraki adımda X1=Xü olur Eğer f(x1)>f(x2) ise x2=Xa olur Golden bölme aramasıyla ilgili problemimiz; Soru : Golden bölme aramasını kullanarak F(x)=2sinx- (x*x)/10 Fonksiyonunun Xa=0 ile Xü =4 aralığında maksimumunu bulun. Çözüm: öncelikle golden oranını bulalım d = Xü-Xa= 4-0=2.472 (golden oranı) iç noktaları bulalım şimdi de

10 X1= =2.472 X2= =1.528 İç noktaların fonksiyon değerlerini bulalım F(x2)= f(x1)=0.63 Buradan da görüldüğü gibi f(x2)>f(x1) olduğu için yeni iterasyon için Xü x1 in değerini alarak Xü=2.472 olur. X1=1.528 (eski x2 değerini alır) olur. Xa=0 olarak kalır. En son olarak da yeni x2 yi bulmak kalır. Onun için de X1=Xa+d den 1.528=0+d yeni oranımız yani d = olur. Yeni X2= Xü-d X2= X2=0.944 olur. Böylece ilk iterasyon tamamlanır.Diğer iterasyonlarda böyle gerçekleştirilir.

11 İkinci derece interpolasyon
İkinci derece interpolasyon , ikinci derece bir polinomun optimum yakınlarında f(x) in yaklaşma gerçeğine dayanır. İki noktayı birleştiren sadece tek bir doğru olduğu gibi üç noktayı da birleştiren sadece tek bir ikinci derece polinom veya parabol vardır.İşte ikinci derece interpolasyon da bu üç noktaya parabol uydurup türevini sıfıra eşitleyerek optimum x ‘ i tahmin eder.

12 NEWTON YÖNTEMİ Daha önceden öğrendiğimiz Newton – Raphson yöntemi f(x)=0 olacak şekilde bir fonksiyonun kökünü bulan açık bir yöntemdir. Xi+1=Xi-[f(Xi)/f’(Xi)] ifadesiyle özetlenir. Newton yönteminde ise g(x)=f’(x) şeklinde yeni bir fonksiyon tanımlayarak f(x) in optimum unu bulmak için Newton raphson a benzer bir yaklaşım yaparız. Xi+1=Xi-[f’(Xi)/f’’(Xi)] ifadesiyle ilk tahminleri gerektirmeyen ve f(x) in maksimum ve minimum unu bulmaya yönelik olan Newton yöntemi oluşur. Açık bir yöntemdir.

13 Doğrudan yöntemler a) Seçkisiz arama
Örnek: Seçkisiz arama ile f(x,y)=y-x-2(x*x)-2xy-(y*y) fonksiyonunun maksimumunu x=-2 den 2 ye ve y=1 den 3 kadar sınırlı bölgede bulun. Öncelikle formülü belirleyelim X=Xa+(Xü-Xa)r Örnekte Xa=-2 Xü=2 dir X=-2+4r Y=Ya+(Yü-Ya)r Y=1+2r olur Denersek r=1/4 değerinde yani x=-1 ve y=1.5 de maksimum olur Bu basit kaba kuvvet yaklaşım yöntemi türevi alınamayan fonksiyonlar için kullanırız. Ama bu yöntem verimli değildir çünkü fonksiyonun davranışını dikkate almaz.

14 Çok boyutlu kısıtlamasız optimizasyon
Çok boyutlu optimizasyon birçok değişkene bağlı bir fonksiyonun minimumunu ve maksimumunu bulmaya yarayan tekniklerdir. Çok boyutluları anlatırken genel olarak iki boyutluları ele aldık. Çok boyutlu optimizasyon teknikleri iki tanedir: Doğrudan yöntemler=türev hesabı gerektirmezler Gradyen yöntemleri=türev hesabı gerektirirler

15 b) Powell yöntemi Powell yöntemi eşlenik yönler fikrinden yararlanılarak oluşturulan biçimsel algoritmalardır. Aşağıdaki şekilde de göreceğimiz gibi armaya 0 noktasından başladık diyelim bu noktadan sonra x=1 noktasına geçerek aramaya devam ederiz. Sırayla değerleri deneyerek verdiğimizde diyelim x=5 noktasında çemberin orta noktasına en yakın olduk maksimuma yaklaşmış oluruz.Yani bu yöntemi yönlerle ifade ederiz. 15

16

17 Gradyen yöntemleri Bu yöntemler ise optimumu belirlemek için türev bilgisini doğrudan kullanır. Gradyenler ve Hessianlar Gradyen =Gradyen birinci türevin iki boyutlu bir f(x,y) deki ifadesidir. Bu durumda Del f = fx*i+fy*j olarak tanımlanan gradyendir. Mesela ;f(x,y)=x(y*y) olsun Bu fonksiyonun (2,2) noktasındaki en hızlı artış yönünü bulalım Fx=y*y=4 fy=2xy=8 olur Buradan da del f =4i+8j dir bunun büyüklüğü de olur Bulduğumuz bu değeri del f in bu yöndeki eğimidir.Bu eğim yön değiştirdikçe değişir.

18 Hessian= Hessian ise ikinci türevin kullanımı ile ilgilidir.
|H|=fxx*fyy-[fx(fy)].[fx(fy)] Buna göre Eğer |H|>0 ve fxx>0 ise f(x,y) nin yerel minimumu vardır. Eğer |H|>0 ve fxx<0 ise f(x,y) nin yerel maksimumu vardır. Eğer |H|<0 ise f(x,y) nin eyer noktası vardır.

19 En hızlı artış yöntemi Gradyenli arama tekniklerinin arasında en açık ve en doğru olanıdır. Bunu bir örnek üzerinden anlatalım Soru: x=-1 ve y=1 ilk tahminlerini kullanarak f(x,y)=2xy+2x-x*x-2y*y fonksiyonunu maksimum yapalım. Bunun cevabını öncelikle matematiksel yaparsak; Fx=2y+2-2x=0 ve fy=2x-4y=0 dan x=2 ve y=1 optimum u gelir.

20 Buradan da fxx=-2 fyy=-4 ve fx(fy)=2 olur
|H|=4 bulunur. Yani |H|>0 ve fxx<0 olduğu için f(2,1) maksimumdur. Şimdi de maksimumun yerini belirleyelim; g(h)=-180h*h+72h-7 yi f(x,y) yi h boyunca ifade eden bir boyutlu fonksiyon olarak tanımlarız g’(h)=-360h+72=0 dan h=0.2 alırız buradan da x=X0+fx*h dan x=-1+6*0.2=0.2 dir y=Y0+fy*h dan y=1-6*0.2=-0.2 olur ikinci adımda yeni fx=1.2 fy=1.2 olur. Böylelikle gradyen vektörümü de Del f=1.2i-1.2j olarak belirlerim Yani maksimumun yeri x ekseniyle 45 açıyla sağa yukarı doğruyu gösterir.

21 MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI
OPTİMİZASYON Bu bölümün amacı,Bölüm arasında tartıştığımız sayısal işlemleri kullanarak optimizasyon içeren gerçek mühendislik problemlerini çözmektir.Bu problemler önemlidir,çünkü mühendislerden çoğu zaman problemlerin ‘en iyi’ çözümleri bulmaları istenir.Burada göreceğimiz uygulamalar;

22 Seçilen ilk uygulama, doğrusal olmayan kısıtlamalı optimizasyon kullanarak optimum boyutlarda silindirik bir tank tasarımıyla ilgilidir. Daha sonra, bir nehirde su kalitesi hedeflerini yerine getirmek için su arıtma maliyetinin minimuma indirilmesi incelenecektir. Üçüncü örneğimizde ise, bir elektrik devresinde yer alan bir potansiyometre üzerindeki gücün maksimizasyonuyla ilgilidir.Çözüm bir boyutlu kısıtlamasız optimizasyon içermektedir. Son olarak da iki boyutlu potansiyel enerji denklemini minimum yaparak bir dağ bisikletinin yaylanması sırasında oluşan yer değiştirme miktarını bulacağız.

23 BİR TANKIN EN AZ MALİYET İÇİN TASARIMI
Temel Bilgi: Mühendisliklerde çok sık olarak sıvı ve gazların taşınması için kullanılan kapların tasarımı genel problemiyle karşılaşılır. Burada, bir kamyonetin arkasına monte edilerek zararlı atıkların taşınmasında kullanılacak silindir şeklinde küçük bir tankın boyutlarının belirlenmesi istenmiş olsun.Genel amacımız tankın maliyetini minimuma indirmek olacaktır.Ancak maliyetin yanında, tankın istenen miktarda sıvıyı alabilmesini ve kamyonetin kasa boyutlarını aşmamasını garanti etmelisiniz.Tank zararlı atık taşıyacağı için et kalınlığının yönetmeliklerle belirlendiğini belirtelim.

24 TABLO Zararlı atıkları taşımak için kullanılan silindirik bir tankın optimum boyutlarını belirlemek için parametreler. Paramatre Sembol Değer Birim Gerekli hacim Vo m^3 Et kalınlığı t cm Yoğunluk p kg\m^3 Kasa boyutu Lmax m Kasa genişliği Dmax m Malzeme maliyeti Cm $\kg Kaynak maliyeti Cw $\m

25 Tank,bir silindirle bunun iki ucuna kaynatılmış iki plakadan oluşmaktadır.
Tankın maliyetinin iki bileşeni vardır: (1) Ağırlığa bağlı olan malzeme maliyeti, (2) Kaynak uzunluğuna bağlı olan kaynak maliyeti. İkinci bileşenin plaka ve silindirin birleştiği kenarlarda hem iç hem de dış kaynak dikişlerini içerdiğini belirtelim.problem için veriler tablo 10.1’de özetlenmiştir.

26 Çözüm: Burada amaç minimum maliyetle bir tank imal etmektir.Maliyet, tankın kütlesini ve kaynak dikişi uzunluğunu etkilediği için tasarım değişkenlerine(uzunluk ve çap)bağlıdır. Ayrıca problem kısıtlamalıdır, Çünkü tank, (1)kamyonetin kasasına sığmalıdır, (2)istenen hacimde malzemeyi taşımalıdır. Maliyet tankın malzemesinden ve kaynak maliyetinden oluşmaktadır. O halde amaç fonksiyon: C=Cm.m+Cw.Lw (10.1) Şeklinde formüle edilebilir, burada C=maliyet($),m=kütle(kg), Lw=kaynak dikişi uzunluğu(m) ve Cm ve Cw=sırasıyla kütle($/kg) ve kaynak dikişi uzunluğu($/m) için maliyet çarpanlarıdır.

27 Sonra kütlenin ve kaynak uzunluğunun deponun boyutlarına ne şekilde bağlı olduğunu formüle edelim.Bir kere kütle, malzemenin hacmi, Vsilindir=L. ∏[(D/2+t)^2-(D/2)^2] Olarak hesaplanabilir.Her bir uç plaka içinse hacim, Vplaka=∏(D/2+t)^2.t şeklindedir. Böylece kütle, m=p{L∏[(D/2+2)^2 (D/2)^2+2. ∏(D/2+t)^2.t} (10.2) olarak hesaplanabilir,burada p=yoğunluktur(kg/m^3).

28 Lw=2[2∏(D/2+t)+2∏(D/2)]=4∏(D+t) (10.3)
Her bir plakayı silindirle birleştirmek için gereken kaynak dikişi uzunluğu silindirin iç ve dış çevre uzunluklarının toplamına eşittir.İki plaka için toplam kaynak uzunluğu ise, Lw=2[2∏(D/2+t)+2∏(D/2)]=4∏(D+t) (10.3) olacaktır.D ve L nin verilen değerleri için (t et kalınlığının yönetmeliklerle sabit olduğunu anımsarsak)(10.1) ile (10.3) arasındaki eşitlikler bize maliyeti hesaplamamızı sağlar.Ayrıca dikkat ederseniz, (10.2) ve (10.3) eşitlikleri (10.1) eşitliğinde yerine konulursa elde edilecek amaç fonksiyonu, bilinmeyenler cinsinden doğrusal olmayan bir ifadedir. Daha sonra kısıtları formüle edebiliriz.Önce bitmiş tankta ne kadar hacim depolayabileceğimizi hesaplamalıyız: V = ∏ .D^2 .L 4

29 ATIK SULARIN EN AZ MALİYETLE ARITILMASI
Temel bilgi: Genellikle nehirlerin kirlenmesinin en önemli nedeni büyük şehirlerden boşaltılan atık sulardır.Şekil 10.4 de böyle bir sistem gösterilmektedir.Bir nehir ve kolları üzerinde birçok şehir yer almaktadır. Her bir şehir, yükleme oranı P ile gösterilen ve günde miligram(mg/gün) birimiyle ifade edilen bir kirlilik üretir.Kirlilik nedeniyle x oranında temizlemeyle sonuçlanan bir atık arıtımı yapılır. Dolayısıyla,nehre boşaltılan kısım arıtma sonrasında atık suda temizlenmeden kalan fazlalıktır. Wi=(1-xi)Pi (10.4) burada Wi=i şehrinden boşaltılan atık miktarıdır. Boşaltılan atık nehre karışınca,nehrin yukarı havzasındaki kaynaklardan gelene diğer kirleticilerle karışır.Boşaltım noktasında tam karışma olduğu varsayılırsa,buradaki son derişiklik bir kütle dengesiyle hesaplanabilir; ci=Wi+Qu.cu (10.5) Qi

30 Burada Qu =debi(L/gün), cu =boşaltım noktasının hemen yukarısında nehir içerisindeki derişiklik(mg/L) ve Qi =boşaltım noktasının hemen aşağısındaki debidir(L/gün). Karışma noktasındaki derişiklik belirlendikten sonra,kimyasal ve biyolojik ayrıştırma süreçleri nehir aşağı doğru akarken kirleticilerin bir kısmını giderir.Bu örnek için,ayrıştırılan bu miktarın basit bir R eksilme çarpanıyla ifade edilebileceğini varsayacağız. Nehrin kaynağından gelen sularda (yani nehrin 1 ve 2 numaralı şehirlerin yukarısındaki kısmı) kirletici olmadığını varsayarsak,dört birleşme noktasındaki derişiklikleri aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:

31 Şehirler şematik olarak;
c1=(1-x1)P1 , c2=(1-x2)P2 Q Q23 c3=R13.Q13.c1+R23.Q23.c2+(1-x3)P3 (10.6) Q34 c4=R34.Q34.c3+(1-x4)P4 Q45 Daha sonra her tesiste atık arıtmanın maliyetinin,di (1000$/mg arıtılan) gibi farklı bir miktar olduğu dikkate alınır.Böylece arıtmanın toplam maliyeti(gün bazına) Z=d1.P1.x1+d2.P2.x2+d3.P3.x3+d4.P4.x4 (10.7) olarak hesaplanabilir,burada Z arıtmanın günlük toplam maliyetidir(1000$/gün) “Karar bulmacası” ndaki son parçayı çevre koruma yönetmelikleri oluşturur.Nehirden yararlanan diğer kullanıcıların(tekneler,balıkçılık,yüzme) korumak için yönetmelikler nehirdeki derişikliğin cs su kalitesi standardını aşmaması gerektiğini ifade eder.

32 TABLO Bir nehir sistemine kirletici boşaltan dört adet atık su arıtma tesisinin parametreleri ve hiç arıtma yapılmaması durumunda elde edilecek derişiklik (ci). Nehir bölümleri için debi,arıtma miktarı ve standartlarda listelenmiştir. Şehir Pi(mg/gün): 1.00x10^9 2.00x10^ x10^ x10^9 di($10^-6/mg) : ci(mg/L): Bölüm : Q(L/gün): x10^ x10^ x10^ x10^8 R: Cs(mg/L):

33 Çözüm: Yukarda özetlenen etkenlerin hepsi birleştirilerek aşağıdaki doğrusal proğramlama problemi tanımlanabilir. Minimum Z=d1.P1.x1+d2.P2.x2+d3.P3.x3+d4.P4.x4 (10.8) aşağıdaki kısıtlara bağlı olarak: (1-x1)P1≤Cs1 , (1-x2)P2≤Cs2 Q Q23 R13.Q13.C1+R23.Q23.C2+(1-x3)P3≤Cs3 (10.9) Q34 R34.Q34C3+(1-x4)P4≤Cs4 Q45 0≤x1,x2,x3,x4≤1 (10.10)

34 Böylece, amaç fonksiyonu [Eşitlik (10
Böylece, amaç fonksiyonu [Eşitlik (10.8)], su kalitesi standardının nehrin bütün bölümlerinde sağlanması kısıtı altında [Eşitlik (10.9)] Arıtma maliyetini minimum kılmaktır. Ayrıca arıtma miktarı negatif veya %100’den fazla olamaz [Eşitlik (10.10)].

35 10.3 BİR DEVRENİN MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ
Temel Bilgi: Şekil 10.6 de gösterilen direnç devresinde üç adet sabit direnç ve bir adet değişken ayarlanabilir direnç vardır. Ayarlanabilen dirençlere potansiyometre denir. Parametrelerin değerleri, V=80V, R1=8Ω, R2=12Ω, R3=10Ω’dur. (a) 1 ve 2 uçları arasındaki güç transferini maksimuma indiren Ra ayarlanabilen direncin değerlerini bulun.(b) Bir duyarlılık analizi yapara, V, 45 ile 105V aralığında değiştirildiğinde, maksimum gücün ve ona karşı gelen potansiyometre direncinin (Ra) nasıl değişeceğini belirleyin. R1 R2 R3 V Ra Şekil 10.8 Bir direnç devresi ve ayarlanabilen direnç veya pot.

36 Çözüm: Devrenin gücünü veren bir ifade Kirchoff yasaları’ndan çıkarılabilir. [V.R3.Ra]^2 P(Ra)= [R1.(Ra+R2+R3)+R3.Ra+R3.R2]^2 (10.11) Ra Parametre değerlerinin yerlerine konulmasıyla Şekil 10.9 daki grafik elde edilir. Dikkat ederseniz maksimum güç transferi 10Ω’luk bir dirençle gerçekleşir.

37 Çözüm: Devrenin gücünü veren bir ifade Kirchoff yasaları’ndan çıkarılabilir. [V.R3.Ra]^2 P(Ra)= [R1.(Ra+R2+R3)+R3.Ra+R3.R2]^2 (10.11) Ra Parametre değerlerinin yerlerine konulmasıyla Şekil 10.9 daki grafik elde edilir. Dikkat ederseniz maksimum güç transferi 16Ω’luk bir dirençle gerçekleşir.

38 Kaynaklar:Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ
Kaynaklar:Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S ve diğ., Literatür Yayınları BEYZA POYRAZ, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi Gizem KARALIOĞLU, Tuğçe DERTOP, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi Halil İbrahim SUATA, OPTİMİZASYON, B. İle Sayısal Çözümleme Ödevi