Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

... konulu sunumlar: "Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi"— Sunum transkripti:

1 Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi
TBF Genel Matematik II DERS – 1 : Doğrusal Denklem Sistemleri, Matrisler Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2 İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri.
Günlük yaşamdan bir problemle başlayalım. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, 3 kg elma ve 1 kg portakal için 9 TL, diğer bir müşteri de 1 kg elma ve 2 kg portakal için 8 TL ödemiştir. Elma ve portakalın satış fiyatını belirleyiniz. Çözüm.Bir kg elma x TL, bir kg portakal y TL den satılıyorsa, birinci müşteri 3x + y = 9 TL, ikinci müşteri de x + 2y = 8 TL öder. Problemimiz, 3x + y = 9 ve x + 2y = 8 denklemlerini sağlayan x ve y sayılarını bulmaktır. Böylece, sözel olarak verilmiş olan problemin matematiksel modeli “3x + y = 9 ve x + 2y = 8 denklemlerini sağlayan x ve y sayılarını belirleyiniz” biçiminde ifade edilebilir.

3 Başlangıçta ele aldığımız problemi ya da onun matematiksel modelinin çözümünü tartış-madan önce konu ile ilgili bazı terimler tanımlayacağız. a, b, h  ℝ olmak üzere ax + by = h denklemine bir (iki değişkenli) doğrusal denklem denir. Bu ifadede x ve y sembollerine değişkenler, a ve b sayılarına katsayılar, h sayısına da sağ taraf sabiti denir. ax + by = h doğrusal denkleminin bir çözümü denince bu denklemi sağlayan, yani ax0 + by0 = h olan bir (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi anlaşılır. Örnek. 3x + y = 9 doğrusal denkleminin bazı çözümleri, (0,9), (1, 6), (3,0), (-1,12) dir. (2,4) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t  ℝ için bu denklemde x yerine t yazılarak y hesaplanırsa, y = - 3t + 9 elde edilir. Dolayısıyla, her t  ℝ için (t , -3t + 9) bu denklemin bir çözümüdür. Diğer yandan, bu denklemin bir çözümünün birinci bileşeni t ise, ikinci bileşeni -3t + 9 olacağından bu denklemin çözüm kümesi, Ç = {(t,-3t + 9) : t  ℝ} olarak ifade edilebilir. y Geometrik olarak, katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olan her iki değişkenli doğrusal denklemin grafiğinin düzlemde bir doğru olduğunu anımsayınız. Doğrusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara karşılık gelen sayı ikilileridir. Yukarıdaki örnekte ele alınan 3x + y = 9 doğrusal denkleminin çözümleri yandaki doğrunun noktalarına karşılık gelen sayı ikilileridir. (0,9) (3,0) x 3x+y=9

4 a, b, c, d, h, k  ℝ olmak üzere denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. Böyle bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi anlaşılır. Başlangıçta ele aldığımız problemin matematiksel modeli yeni terimlerle şöyle ifade edilebilir: doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çeşitli yöntemler vardır: Grafik Yöntemi , Yerine Koyma Yöntemi, Yok Etme Yöntemi. Şimdi bu yöntemleri örneklerle açıklayacağız.

5 Grafik Yöntemi. Her doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu anımsa-yınız.
Düzlemde iki doğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Kesişen doğrular Paralel doğrular Çakışık doğrular Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri aynı düzlem üzerinde(örneğin, aynı grafik kâğıdı üzerinde) çizilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına yani kesişim noktalarına bakılır. denklem sistemine karşılık gelen doğrular kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır. paralel doğrular ise, hiç çözümü yoktur. çakışık doğrular ise, sonsuz çoklukta çözümü vardır.

6 x y Örnek. (0,9) (2,3) (0,4) (3,0) (8,0) x + 2 y =8 3x + y =9 Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.

7 x y Örnek. (0,2) (4,0) (-2,0) (0,-1) 2x +4y =8 x +2y = -2 Çözüm Kümesi: Ç = .

8 Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t  ℝ}.
x y Örnek. (0,2) (0,2) (4,0) (4,0) 2x +4y =8 x +2y = 4 Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t  ℝ}.

9 Kesim noktasının y - koordinatı -1 olabilir mi?
Grafik kâğıdı olmadan da grafik yöntemi ile çözüm yapabilirsiniz. Örnek olarak aşağıdaki denklem sistemini grafik kâğıdı kullanmadan grafik yöntemi ile çözmeye çalışalım. x y 3 -3/2 -4 -2 Grafikten iki doğrunun kesim noktasının koordinatlarını tahmin etmeye çalışalım. Kesim noktasının y - koordinatı -1 olabilir mi? Öyle ise, x – koordinatı ne olur? Örneğin, ilk denklemde y = -1 olursa, x = -2 olmaz mı? (-2, -1) her iki denklemi de sağlar mı? O halde, Ç = {(-2, -1) }.

10 y = 9 – 3x x + 2(9 – 3x) = 8 x + 18 – 6x = 8 18 – 5x = 8 5x = 10 x = 2
Yerine Koyma(Substitution) Yöntemi. Denklemlerden birinden değişkenlerden biri diğeri cinsinden ifade edilir ve diğer denklemde yerine konur. Örnek. y = 9 – 3x x + 2(9 – 3x) = 8 x + 18 – 6x = 8 18 – 5x = 8 5x = 10 x = 2 y = 9 - 6 y = 3 Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.

11 y = 2 – 3x 2x - 3(2 – 3x) = 5 2x -6 + 9x = 5 -6 + 11x = 5 11x = 11
Örnek. y = 2 – 3x 2x - 3(2 – 3x) = 5 2x x = 5 x = 5 11x = 11 x = 1 y = 2 - 3 y = -1 Çözüm Kümesi: Ç = {(1 , -1)}.

12 Çözüm Kümesi: Ç = {(t , 2t - 2) : t ℝ}.
Örnek. 4x - 2(2x – 5) = 4 y = 2x - 5 4x – 4x + 10 = 4 ! ! ! . . . 10 = 4 Çözüm Kümesi: Ç = . Örnek. 4x - 2(2x – 2) = 4 y = 2x - 2 4x – 4x + 4 = 4 ! ! ! . . . 4 = 4 Çözüm Kümesi: Ç = {(t , 2t - 2) : t ℝ}.

13 Yok Etme(Elimination) Yöntemi
Yok Etme(Elimination) Yöntemi. Bu yöntemde, verilen bir denklem sistemi, adım-adım bazı işlemler uygulanarak, çözümü daha kolay ancak verilen sistemle aynı çözüm kümesine sahip bir sisteme dönüştürülür. Sözü edilen sistem çözülerek sonuca ulaşılır. Çözüm kümeleri aynı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir. Örnek. ve sistemleri denktir, çünkü her iki sistemin de çözüm kümesi Ç = {(2 , 3)} tür. Yok EtmeYöntemi aşağıdaki teoremin uygulanmasıyla gerçekleştirilir. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönüştürür: A. İki denklemin yerlerini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak.

14 (-2)  (birinci) + (ikinci)
Örnek. (-1/5)  (ikinci) (-3)  (ikinci) + (birinci) (ikinci)  (birinci) Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.

15 Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t ℝ}.
(-2)  (birinci) + (ikinci) Örnek. x = t  y = (-1/2) t + 2 Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t ℝ}. (-2)  (ikinci) + (birinci) ! ! ! . . . Örnek. Çözüm Kümesi: Ç = .

16 5  (birinci) , 2  (ikinci) Örnek. (birinci) +(ikinci) (1/19)  (ikinci) -15  (ikinci) + (birinci) (-1/10)  (birinci) (ikinci)  (birinci) Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , -1)}.

17 Günlük yaşamda karşılaşılan problemlerden önemli bir kısmının matematiksel modeli doğrusal denklem sistemleri olarak oluşturulabilir. Derslerimiz içinde aşağıdakine benzer pek çok örnek göreceğiz. Arz ve Talep(Supply and Demand). Tüketicilerin belli bir zaman aralığında belli bir üründen ne kadar satın alacakları o ürünün fiyatına bağlıdır. Genel olarak fiyat yüksel-dikçe talep azalır; fiyat düştükçe talep artar. Benzer şekilde, satıcıların belli bir zaman aralığında belli bir üründen ne kadar satışa sunacakları da o ürünün fiyatına bağlıdır. Genel olarak, satıcı, ürününü yüksek fiyatla alıcı bulunduğu zaman daha çok satmak ister. Piyasa araştırmaları ile tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye eğilimli oldukları; satıcıların da bir ürünü hangi fiyattan ne miktarda satmaya eğilimli oldukları tahmin edilebilir. Tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye eğilimli olduklarını gösteren denkleme fiyat – talep denklemi, satıcıların bir ürünü hangi fiyattan ne kadar satmak eğiliminde olduklarını gösteren denkleme de fiyat – arz denklemi denir. Problem. Bir beldede kiraz satışlarıyla ilgili olarak yapılan arştırmalar, piyasada tonu p TL den x ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiyat – talep denkleminin p = -(0.2)x + 3.9, tonu p TL den x ton kiraz satılabileceği düşünüldüğünde, fiyat – arz denkleminin ise p = (0.08)x olduğu görülüyor. Denge fiyatını, yani arz ile talebin çakıştığı fiyatı, bulunuz.

18 Problem. Bir beldede kiraz satışlarıyla ilgili olarak yapılan araştırmalar, piyasada tonu p TL den x ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiyat – talep denkleminin p = -(0.2)x + 3.9, tonu p TL den x ton kiraz satılabileceği düşünüldüğünde, fiyat – arz denkleminin ise p = (0.08)x olduğu görülüyor. Denge fiyatını, yani arz ile talebin çakıştığı fiyatı, bulunuz. Çözüm. Örneğin, 10 tonluk talep olduğunu varsayalım. Fiyat - talep denklemi, fiyatın 1.9 TL olmasını gerektirir ki, bu fiyat için fiyat – arz denklemi de arzın 17 ton olmasını gerektirir. Bu durumda talepten çok kiraz arz edilmiş olur. Denge fiyatı, hem fiyat – talep denkleminin hem de fiyat – arz denkleminin sağlandığı fiyattır. Başka bir deyimle, her iki denklemi de sağlayan p ve x değerleri bulunursa, denge fiyatı belirlenmiş olur. Her iki denklemi de sağlayan p ve x değerlerinin bulunması, aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesinin bulunması demektir. Çözüm için, istenilen yöntem uygulanabilir. Biz yerine koyma yöntemini kullanacağız. p= -(0.2)x + 3.9 -(0.2)x + 3.9– (0.08)x = 0.54 x = 12 , p = 1.5 -(0.28)x = -3.36 Denge fiyatı p = 1.5 TL dir. Piyasaya x = 12 ton kiraz sürülmelidir.

19 Problem. Piyasaya yeni sürülen bir ürün için fiyat-talep denklemi p =(-0.05)x +70 olarak ve fiyat-arz denklemi p = (0.001)x olarak belirlendiğine, fiyat TL ve ürün miktarı kg ile ifade edildiğine göre, denge fiyatını ve o fiyattan piyasaya sürülecek ürün miktarını belirleyiniz. doğrusal denklem sisteminin çözümü problemimizin çözü-münü verecektir. Yerine koyma yöntemi ile, Çözüm. p =(-0.05)x + 70 (-0.05)x (0.001)x = 8.8 (-0.051)x = -61.2 Denge fiyatı p = 10 TL dir. Piyasaya x = kg ürün sürülmelidir.

20 Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri.
Bu dersin başında ele aldığımız problemin verileri değiştirilerek ifade edilmiş olan aşağıdaki problemi göz önüne alalım. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, 3 kg elma, 1 kg portakal ve 1 kg muz için 12 TL, diğer bir müşteri de 1 kg elma, 2 kg portakal ve 2 kg muz için TL ödemiştir. Bir kg elma kaça satılmaktadır? Çözüm için, dersin başlangıç kısmında olduğu gibi, bir kg elmanın x TL den, bir kg portakalın y TL den ve bir kg muzun da z TL den satıldığını varsayarak problemin veri ve koşullarından 3x + y + z =12 ve x + 2y + 2z =14olduğu görülür. Problemimiz bu denklemleri sağlayan x, y ve z sayılarından özellikle x i belirlemektir. Görüldüğü üzere yeni problemin matematiksel modelinde de denklemler ortaya çıktı. Bu denklemlerin başlangıçtaki problemde ortaya çıkan denklemlerden farkı, x ve y değişkenlerine ek olarak yeni bir z değişkeni ve bu değişkene ait katsayılar içermesidir. Yeni değişkenin ortaya çıkış nedeni satın alınan meyvelere “muz”un da katılmasıdır. Başka bir meyve daha, örneğin “nar” satın alınsa bir değişken daha kullanılacak ve değişken sayısı dört olacaktı. Bir problemin matematiksel modeli oluşturulurken değişken sayısı üç veya daha az ise, değişkenler için x, y ve z sembolleri tercih edilebilmekle beraber; değişken sayısı üçten fazla ise, o zaman değişkenler için aynı sembol numaralanarak kullanılır. Örneğin, beş değişken için x1 , x2 , x3 , x4 , x5 kullanılabilir.

21 Ele alınan manav problemi ile ilgili olarak şu hususu da belirtelim ki eğer manavdan bir üçüncü müşteri de alışveriş eder ve aynı tür meyvelerden satın alırsa, onunla ilgili veriler üçüncü bir denkleme yol açar. Bu tartışmalar bizi çok değişkenli doğrusal denklem ve çok değişkenli doğrusal denklem sistemi kavramlarına götürür. Böylece, a1, a2, , an , b  ℝ olmak üzere a1x1 + a2x an xn = b ifadesine bir n değişkenli doğrusal denklem denir. a1, a2, , an sayılarına denklemin katsayıları, b sayısına da sağ taraf sabiti denir. c1, c2, , cn reel sayıları verilmiş olsun. Eğer a1c1 + a2c an cn = b ise, (c1, c2 , , cn ) sıralı n-lisine a1x1 + a2x an xn = b denkleminin bir çözümü denir. Örnek. Manav probleminde ortaya çıkan denklemlerden 3x + y + z =12 nin çözümlerin- den ikisi (2,3,4) ve (2,2,4) tür. Bu üçlüler x +2 y + 2z =14 denklemi için de çözüm müdür?

22 aij , bi  ℝ , 1  i  m , 1  j  n olmak üzere n değişkenli m denklemden
oluşan denklemler topluluğuna bir n değişkenli doğrusal denklem sistemi denir. aij sayılarına sistemin katsayıları, bi sayılarına da sağ taraf sabitleri denir. n değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince, o sistemdeki denk- lemlerden her birinin çözümü olan bir sıralı reel sayı n-lisi anlaşılır. Bu tanımlardan sonra manav probleminin matematiksel modeli aşağıdaki gibi ifade edilebilir: doğrusal denklem sistemini çözünüz.

23 Matematiksel modelin çözümünün asıl problemde sorulandan daha çok bilgi içereceği dikkatli okurun gözünden kaçmamıştır. Arzu edilirse matematiksel modelin sadece asıl problemde sorulan değeri verecek şekilde ifade edilebileceği açıktır. Asıl problemde, matematiksel modeldeki doğrusal denklem sisteminin çözümlerinde x bileşeninin ne olacağı sorulmaktadır. Öyle anlaşılıyor ki tüm çözümlerde x bileşeni aynı olacaktır. x bileşeninin bu değerini bulmaya çalışınız. Bir sonraki dersimizde çok değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok etkin bir yöntem göreceğiz. Fikir olarak iki-değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümüz yok etme yöntemine dayanan bu yöntem için biraz hazırlık gerekecektir. Dersimizin kalan kısmı bu hazırlık doğrultusunda kullanılacaktır. Çözüm kümeleri aynı olan iki doğrusal denklem sistemine denk sistemler denir. İki-değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümüz yok etme yöntemi, daha çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de aynen geçerlidir. Bir denklem sistemini çözmek için aşağıdaki teoremde ifade edilen A, B, C işlemleri kullanılarak o sisteme denk ancak çözümü daha kolay bir denklem sistemleri zinciri elde edilerek adım adım çözüme ulaşılır. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönüştürür: A. İki denklemin yerlerini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak.

24 denklem sisteminin çözümünü yok etme yöntemi ile yapalım:
Örnek. Manav probleminin matematiksel modelinde verilen üç değişkenli doğrusal denklem sisteminin çözümünü yok etme yöntemi ile yapalım: Birinci denklem -2 ile çarpılıp ikinci denkleme toplandı İkinci denklem -1/5 ile çarpıldı İkinci denklem -3 ile çarpılıp birinci denkleme toplandı İki denklemin yerleri değiştirildi Matematiksel modelin çözümlerine son adımdaki denklem sistemini kullanarak baktığımız zaman her bir çözümde x = 2 olduğunu görüyoruz. Demek ki elmanın kilogramı 2 TL den satılmaktadır. Matematiksel modelin çözüm kümesini yazmaya çalışınız.

25 Örnek. 36 bin TL nin bir kısmı A-bank’a, bir kısmı B-bank’a ve geri kalan kısmı da C-bank’a yatırılıyor. A-bank ve B-bank’a yatırılan toplam miktar, C-bank’a yatırılan miktardan 6 bin TL fazla; A-bank ve C-bank’a yatırılan toplam miktar ise, B-bank’a yatırılan miktarın iki katından 3 bin TL eksiktir. Her bir bankaya kaç TL yatırılmıştır? Çözüm. A-bank’a yatırılan miktar x bin TL, B-bank’a yatırılan miktar y bin TL ve C-bank’a yatırılan miktar z bin TL olsun. Problemde verilenlerden denklemleri elde edilir. Dolayısıyla, problemimizin çözümü denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir. Çözümü izleyen sayfada verelim.

26 Birinci denklem -1 ile çarpılıp önce ikinci denkleme sonra da üçüncü denkleme toplandı
İkinci denklem -1/2 ile ve üçün-cü denklem -1/3 ile çarpıldı. İkinci denklem -1 ile ve üçüncü denklem -1 ile çarpılıp birinci denkleme toplandı. İkinci ve üçüncü denklemlerin yerleri değiştirildi. Son sistemden doğrusal denklem sistemimizin çözümünün Ç = {(8,13,15)} olduğu görülür. Bu çözümü asıl problem için yorumlarsak, A-bank’a 8 bin TL, B-bank’a 13 bin TL ve C-bank’a 15 bin TL yatırılmış olduğu görülür.

27 İki ve üç değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok elverişli olan yok etme yöntemi değişken sayısı (ve denklem sayısı) arttıkça elverişsiz hale gelir. Gerçekten, kendinizi on değişkenli sekiz denklemden oluşan bir doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözerken düşününüz. İnsan bunalabilir, değil mi? Kaldı ki değişken sayısı ve denklem sayısı yüzlerle ifade edilen doğrusal denklem sistemleri de söz konusu olabilir. Yok etme yöntemi, değişken sayısı ve denklem sayısı çok olan doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için de elverişli olacak, hatta bilgisayara programlanabilecek biçimde revize edilerek Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi olarak bilinen yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde kullanılan temel araç matris kavramıdır.

28 Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi’nde temel gözlem, n değişkenli m denklemden ibaret olan
doğrusal denklem sisteminin, katsayıları ve sağ taraf sabitlerinden oluşan tablosu tarafından tamamen belirlenmiş olduğudur. Gerçekten, bu tablo bilindiği takdirde, bu tabloya yol açan doğrusal denklem sistemini yeniden yazmak sorun değildir. Bu tabloya söz konusu doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir. Dikkât edilirse, n değişkenli m denklemden oluşan sistemin ilaveli matrisi denklem sayısı kadar (m tane) satır ve değişken sayısının bir fazlası kadar (n+1 tane) sütundan oluşmaktadır. Tabloda son sütundan önceki düşey çizgi, sağ taraf sabitlerin oluşturduğu sütunu katsayılardan oluşan diğer sütunlardan ayırmak için konmuştur.

29 Bu noktada, okuyucunun, ilaveli matrisi verilen bir denklem sistemini veya verilen bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisini yazmak hususunda birkaç alıştırma yapması yararlı olacaktır. Örnek. Bu dersin ilk kesiminde ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi yukarıda ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi tir. Aşağıda, solda görülen matristen sağdaki dört değişkenli üç denklemden oluşan bir doğrusal denklem sistemini yazabileceğinizi gözlemleyiniz:

30 Matrisler. Denklem sistemlerinin yoketme yöntemi ile çözümünde, katsayıların ve sağ taraf sabitlerinin temel rolü oynadığını gözlemlemiştik. Matris kavramı bu çözüm sürecinin daha etkin uygulanabilmesini ve bilgisayar kullanımına uyarlanabilmesini sağlar. m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş mn tane sayının oluşturduğu tabloya bir mn matris denir. Örnek olarak, tablolarından ilki bir 2 × 3 matris A , diğeri de bir 4 × 3 matris B yi göstermektedir. Bir matrisi oluşturan sayılardan her birine o matrisin bir girdi(entry)si denir. Yukarıda, A matrisinin 6 adet girdisi 2 satır(row) ve 3 sütun(column) oluşturacak biçimde ; B matrisinin 12 adet girdisi de 4 satır ve 3 sütun oluşturacak biçimde düzenlenmiştir. Bir matrisin girdileri ait oldukları satır ve sütuna gönderme yapılarak belirtilir. Bir matrisin i – inci satırında ve j – inci sütununda bulunan girdiye o matrisin i-j girdisi denir. Örneğin, A matrisinin girdisi 3 , B matrisinin girdisi -5 tir.

31 Bir m × n matris A genellikle aşağıdaki gibi gösterilir.
m × n ifadesine A matrisinin büyüklüğü(magnitude) , m ve n sayılarına da A matrisinin boyutları(dimensions) denir. Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan oluşan bir matrise sütun matrisi denir. Örneğin, aşağıda A bir 1 × 3 satır matrisi , B bir 2 × 1 sütun matrisidir. Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. Örneğin yukarıdaki m × n matris olan A nın birinci satırı ikinci satırı dır.

32 birinci sütun ikinci sütun üçüncü sütun 1-2 girdisi birinci satır ikinci satır 2-3 girdisi 3-2 girdisi üçüncü satır dördüncü satır

33 Denklem sistemlerini yok etme yöntemi ile çözerken kullandığımız A , B ve C işlemle-rinden her biri sistemin ilaveli matrisinin satırları üzerinde bazı işlemlere karşılık gelir. Daha açık bir ifadeyle, bir doğrusal denklem sistemine bu işlemlerden herhangi biri uygulanarak elde edilen sistemin ilaveli matrisi başlangıçtaki sistemin ilaveli matrisinin satırlarına uygun bir işlem uygulanarak elde edilir. A işlemi, yani iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi, ilaveli matriste karşılık gelen satırların yerlerinin değiştirilmesi; B işlemi, yani bir denklemin sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması, ilaveli matriste karşılık gelen satırın her bir girdisinin o sayı ile çarpılması; C işlemi, yani bir denklemin bir sayı ile çarpılıp başka bir denkleme toplanması, ilaveli matriste bir satırın her girdisinin o sayı ile çarpılıp başka bir satırın karşılık gelen girdisine toplanması sonucunu verir. Bundan böyle bir satırın bir c sayısı ile çarpılması denince o satırın her girdisinin c sayısı ile çarpılması, bir satırın aynı büyüklükte diğer bir satıra toplanması denince o satırın her girdisinin diğer satırda karşılık gelen girdiye toplanması anlaşılacaktır. Örnek. [ ] satırı 2 ile çarpılırsa, [ ] satırı elde edilir. Aynı satır 2 ile çarpılıp [ ] satırına toplanırsa, [ ] satırı elde edilir.

34 Şimdi, bundan önceki kesimin üçüncü örneğinde ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözerken uyguladığımız işlemlerin ilaveli matrise nasıl yansıdığını görelim. İlaveli matris Birinci satır -1 ile çarpılıp önce ikinci satıra sonra da üçüncü satıra toplandı İkinci satır -1/2 ile ve üçüncü satır -1/3 ile çarpıldı. İkinci satır -1 ile ve üçüncü satır -1 ile çarpılıp birinci satıra toplandı. İkinci ve üçüncü satırın yerleri değiştirildi.

35 Bir denklem sistemini çözerken denklemler üzerinde işlemler yapmak yerine ilaveli matrisin satırları üzerinde işlem yapmayı düşünür veya tercih eder misiniz? Yanıtınız “evet” ise, bu yanıtın ne kadar isabetli olduğu bir sonraki dersimizde daha iyi anlaşılacaktır. Verilen bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisinin satırlarına yukarıda belirtilen türde işlemler uygulanınca elde edilen matrise karşılık gelen doğrusal denklem sistemi önceki doğrusal denklem sistemine denk olacaktır. Bu nedenle, bir doğrusal denklem sistemini çözmek için düşünülebilecek doğal yollardan biri o sistemin ilaveli matrisinin satırlarına sözü edilen işlemlerden uygulanarak, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi kolayca bulunabilecek basit bir matris elde etmeye çalışmak olacaktır. Burada basit sözcüğü ile ne kastedildiği izleyen dersimizde açıklığa kavuşacaktır.