Çatallanmalar (Bifurcations)

... konulu sunumlar: "Çatallanmalar (Bifurcations)"— Sunum transkripti:

1 Çatallanmalar (Bifurcations)
Erciyes Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Enis GÜNAY em.erciyes.edu.tr/egunay

2 Bifurcations Bir önceki bölümde görmüş olduğumuz tek boyutlu sistemlerin akışı sistem parametrelerindeki oluşabilecek değişiklere duyarlıdır. Buna göre sistem parametrelerindeki değişimler ile sistemin sabit noktaları oluşturulup yok edilebilir ya da kararlılık durumları değişkenlikler gösterebilir. Dinamik sistemlerde sistemi oluşturan parametrelere bağımlı bu tür yapısal değişikliklere çatallanma (bifurcation) adı verilir. Bu bölümde öncelikle sabit noktalarda görülen çatallanmalar incelenecektir.

3 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Saddle-Node dallanmaları sabit noktaların önce oluşturulup sonra da yok edildiği dallanma çeşitleridir. Parametrik değişim sonucu iki sabit nokta birbirlerine doğru hareketlenip çarpışırlar ve birbirlerini yok ederler.

4 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
Aşağıdaki gibi birinci dereceden bir sistemde r parametresinin pozitif, negatif ya da sıfır olması sistemin kararlılık noktaları üzerindeki etkisi şekildeki gibi olacaktır.

5 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

6 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

7 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
r parametresi negatif değerlerden sıfır değerine doğru yaklaştıkça iki sabit noktanın birbirlerine doğru hareketlendiği, r=0 için yarı-kararlı bir sabit noktanın elde edildiği, r>0 için ise sistemde artık sabit bir noktanın oluşmadığı görülmektedir.

8 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

9 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

10 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

11 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması

12 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanması
noktasında saddle-node çatallanmasına sahiptir.

13 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanmasının Analitik Olarak Tanımlanması
Bir f(x,r)’nin (x*,r*)’deki çatallanması Taylor açılımı kullanılarak, saddle-node çatallanması aşağıdaki dört özellik kullanılarak tanımlanabilir: Buna göre (x*,r*) için saddle-node çatallanmasının genelleştirilmiş hali:

14 Saddle-Node (Eğer-Düğüm) Çatallanmasının Analitik Olarak Tanımlanması
Örnek olarak Böylece yukarıdaki iki fonksiyon da bifurkasyon değeri r*=1’e yaklaştıklarında aynı davranışı göstermeliler. Bunu gösterebilmek için her iki sistemin Taylor açılımına bakmak gerekecektir.

15 Taylor Açılımları

16 Taylor Açılımları

17 Transcritical Bifurcations

18 Transcritical Bifurcations

19 Transcritical Bifurcations

20 Pitchfork Bifurcations-supercritical case

21 Pitchfork Bifurcations-supercritical case

22 Pitchfork Bifurcations-supercritical case

23 Pitchfork Bifurcations-supercritical case

24 Pitchfork Bifurcations-subcritical case

25 Pitchfork Bifurcations-subcritical case

26 Pitchfork Bifurcations-subcritical case

27 Pitchfork Bifurcations-subcritical case