BELİRLİ İNTEGRAL.

... konulu sunumlar: "BELİRLİ İNTEGRAL."— Sunum transkripti:

1 BELİRLİ İNTEGRAL

2 KONUNUN AŞAMALARI KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

3 KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI
b         x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk< <xn-1<xn P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, , xn-1,xn } [a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)

4 Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için;
xk= xk –xk-1 sayısı [xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu

5 Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere
x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere x3= x3 –x2 xn= xn –xn-1 [a.b] aralığının uzunluğu b-a = x1+ x2+ x xn

6 Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse
x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse x3= x3 –x2 xn= xn –xn-1 P bölüntüsüne [a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.

7 P düzgün bir bölüntü ise;
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir. xk= = P

8 P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür.
ÖRNEK: [2,7] ARALIĞI İÇİN P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. ? x1= x2= x3=

9 ALT TOPLAM y y=f(x) m3 mn m4 m2 m1 x
y=f(x) m3 mn m4 m2 m1 x1 x2 x3 xk xn a=x0 x1 x2 x xk-1 xk xn-1 xn=b ALT TOPLAM

10 ÜST TOPLAM y y=f(x) M3 Mn MK M2 M1 x
y=f(x) M3 Mn MK M2 M1 x1 x2 x3 xk xn a=x0 x1 x2 x xk-1 xk xn-1 xn=b ÜST TOPLAM

11 f(t2) f(tk) f(tn) f(t1) a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x1 x2
y y=f(x) f(t2) f(tk) f(tn) f(t1) a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x1 x2 xk xn RİEMANN TOPLAMI

12 Bu toplamlar arasındaki sıralama
Alt Toplam Rieman Toplamı Üst Toplam

13 A B C ÖRNEK: f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için;
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek; A Alt toplamını B Üst toplamını C Riemann toplamını bulalım:

14 P, düzgün bir bölüntü olduğundan
x1= x2= x3= x4= P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}

15 A y y=x2 x Alt toplamı m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4 m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4
y=x2 m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4 m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4 1/ /2 2

16 B y y=x2 x Üst toplamı M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4 M3=f(3/2)=9/4
y=x2 M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4 M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4 1/ /2 2

17 C Riemann toplamı: y x y=x2 1/ /

18

19 TANIM: f:[a,b]  R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun. ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.

20 olması ne demektir? [a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir. Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.

21 P parçalanması, düzgün bir parçalanma olduğundan;

22 ÖRNEK: belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım:
[0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek; k{0,1,2,....,n} için,

23

24 ? YANİ

25 İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ
f: [a,b]  R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle- nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b]  R fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve  x(a,b) için, F’(x)=f(x) ise,

26 ÖRNEK:

27 BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;  = + 3(-cosx)   sinx   = +

28 2 3(-cosx)   + sinx -3.[(cos - cos(/2)] + [sin  - sin (/2)]
[-3.((-1)+3.0)] + (0-1) 2

29

30

31

32 [a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;