internetin matematik kaynağı

... konulu sunumlar: "internetin matematik kaynağı"— Sunum transkripti:

1 www.matematikci.org internetin matematik kaynağı
Bu çalışma Prof.Dr Halil ARDAHAN tarafından hazırlanmıştır. Çalışmalarından dolayı değerli hocamıza teşekkür ederiz. Prof. Dr Halil ARDAHAN

2 Cebimdeki bilinmeyen parayı x harfi neyi temsil ediyor?
DENKLEM KURMAK Arkadaş, cebimdeki paranın ne kadar olduğunu bilmiyorum Ama.yarısını sana verebilirim. Bakalım kaç lira verebilirim. CEBİMDEKİ PARA VEREBİLECEĞİM PARA 10 milyon 10/2 = milyon 15/2 = 7,5 milyon 15 milyon 50/2 = 25 milyon 50 milyon 150/2 = 75 milyon 150 milyon x milyon x / 2 milyon Cebimdeki bilinmeyen parayı x harfi neyi temsil ediyor? Prof. Dr Halil ARDAHAN

3 Aşağıdaki sözel ve matematik ifadeleri inceleyelim.
SÖZEL İFADE MATEMATİK İFADESİ Paramın yarısı x/2 Paramın yarısının 5 lira fazlası x/ Paramın yarısının 3 katının 5 lira fazlası 3 . (x/2) + 5 Bir sayının 5 fazlası x + 5 Bir sayının 7 katının 5 fazlası 7 . x + 5 x - 5 Bir sayının 5 eksiği (x –5) / 6 Bir sayının 5 eksiğinin 6 da biri n , n+1, n+2 Ardışık üş tamsayı Bu çeşit önermelere ne isim verelim? AÇIK ÖNERMELER Prof. Dr Halil ARDAHAN

4 İki sayının aritmetik ortalaması ( a+ b)/ 2
SÖZEL İFADE MATEMATİK İFADESİ Ardışık üç çift sayı 2n , 2n+2, 2n+4 Ardışık dört tek sayı 2n+1,2n+3, 2n+5, 2n+7 İki sayının aritmetik ortalaması ( a+ b)/ 2 Üç sayının aritmetik ortalaması (a + b + c)/ 3 a b= 10 a+ b İki basamaklı sayı abc=100a+10b+c Üç basamaklı sayı Bir sayının yüzde beşi x. 0,050 = x . 5/100 M malını % t KAR ile satış Satış= M + M t /100 M malını % t ZARAR ile satış Satış= M - M t /100 V hızı ile t zamanda alınan yol YOL= V. t A liranın %t faiz ile n yılda getireceği faiz F=A.n.t /100 % p asitli M malı ile %q asitli N malının karışımı Karışım=M . p/100 + N . q /100 Prof. Dr Halil ARDAHAN

5 - 27 – 14 = 13 İŞLEMLERDE KULLANILAN DENKLEMLER
1.ÇIKARMA İŞLEMİNDE KULLANILAN DENKLEMLER 27 E=Eksilen 27 – = 13 - 14 Ç= Çıkan 13 F= Fark E=Eksilen Ç=Çıkan F=Fark 27 = E = F + Ç E = F + Ç 13 = 27 – F = E - Ç F = E - Ç 14 = Ç = E - F + Ç = E - F ? ? E+F+Ç= 2 . E E+Ç-F=2. Ç E+F-Ç=2. F Prof. Dr Halil ARDAHAN

6 2.BÖLME İŞLEMİNDE KULLANILAN DENKLEMLER
Prof. Dr Halil ARDAHAN

7 DEKLEM KURMAK / EŞİTLİK KURMAK
Yukarıdaki terazide ? yerine kaç kg koyalım ki terazi dengeye gelsin? Prof. Dr Halil ARDAHAN

8 Terazideki ilk durumu ve son durumu matematik olarak nasıl yarsınız?
5 + x = 10 İlk durum : Son durum : = 10 Bu çeşit eşitliklere ne isim verelim? BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Prof. Dr Halil ARDAHAN

9 4 + x = 13 = 13 Soru. Bu karışıma 3 kg kakao katarsanız. Bu durumu matematik olarak nasıl yazarsınız. 4 + x = = Prof. Dr Halil ARDAHAN

10 YAŞ PROBLEMLERİNİ İFADE EDEN DENKLEMLER
1.Problem. Bir babanın yaşı çocuğunun yaşının iki katıdır 10 yıl sonra baba ile çocuğunun yaşları toplamı ne olur? ŞİMDİKİ YAŞLARI 10 YIL SONRAKİ YAŞLARI Çocuğun yaşı x x + 10 Babanın Yaşı 2 . x 2 . x + 10 + 3. x + 20 2.Problem. Bir babanın yaşı çocuğunun yaşının iki katıdır 10 yıl sonra baba ile çocuğunun yaşları toplamı 50 olduğuna göre çocuğun yaşı nedir? Baba ile çocuğun 3 yıl sonraki yaşları toplamı 3 . x +20 dır Baba ile çocuğun 3 yıl sonraki yaşları toplamı dır. O halde, 3 . x +20 = 50 denklemi yazılır. Prof. Dr Halil ARDAHAN

11 O halde, 3 . x +20 = 50 denklemi yazılır.
Çocuğun şimdiki yaşı 10 Çocuğun iki yıl sonraki yaşı = 12 dır Prof. Dr Halil ARDAHAN

12 3. Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır
3.Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır. Ali’nin yaşı Metin’in yaşının 2 katıdır. Ali kaç yaşındadır? Çözüm. Ali’nin yaşı Metin’nin yaşı x 2. x + = 21 x + 2 . x = 21 x = Ali 7 yaşında Prof. Dr Halil ARDAHAN

13 Karşılaştırmak ve sonucu kontrol etmek.
3.Problem. Ali ile Metin’in yaşları toplamı 21 dır. Ali’nin yaşı Metin’in yaşının 2 katıdır. Ali kaç yaşındadır? Ali’nin yaşı Metin’nin yaşı x 2. x 7 yaşında 14 yaşında = 21 toplam yaşları Prof. Dr Halil ARDAHAN

14 x x + 2 x - 4 x –4 x x + 2 = 35 x= 11 yaş ORTANCA
4.Problem. Üç kardeşin yaşları toplamı 35 tir. Ortanca küçükten 4 yaş büyük, büyükten ise 2 yaş küçük olduğuna göre küçük kardeşin yaşı nedir? Çözüm. Bu durumda hangi çocuğun yaşını referans alalım? Diğerleri ile karşılaştıralım? KÜÇÜK kardeş ORTANCA kardeş BÜYÜK kardeş - 4 + 2 x x + 2 x - 4 x –4 x x + 2 = 35 + + 3. x –2 = 35 3. x = 33 x= 11 yaş ORTANCA Prof. Dr Halil ARDAHAN

15 DENEME METODU KULLANILIR
Karşılaştırmak ve sonucu kontrol etmek. KÜÇÜK kardeş ORTANCA kardeş BÜYÜK kardeş 7 yaşında 11 yasında 13 yaşında 4 yaş büyük 2 yaş büyük 5.Problem. Bir baba 42, oğlu 12 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı kızının 3 katı olur? KIZI BABA 12 42 DENEME METODU KULLANILIR 13 1 yıl sonra 43 14 2 yıl sonra 44 15 3 yıl sonra 45 45 = Prof. Dr Halil ARDAHAN

16 6.Problem. (1991 .DPY) Bir ailede ANNE ile OĞLUNUN yaşları toplamı 70, BABA ile OĞLUNUN yaşları toplamı 80, BABA ile ANNENİN yaşları toplamı 92 ise bu aile fertlerinin yaşları toplamı nedir? Çözüm. ANNE OĞUL BABA Yaşları Toplamı A O B A + O = 70 B + O = 80 B + A = 92 + 2.(A+O+B)= 242 Aile fertlerinin yaşları toplamı A+ O+ B dır A+O+B= 121 Prof. Dr Halil ARDAHAN

17 KARIŞIM PROBLEMLERİ İÇİN DENKLEM KURMAK
1.Problem. %20 yağlı süte, %5 yağlı süt karıştırılıyor. Karışımı matematik olarak yazınız. Karışım = M1 + M2 Karışıma giren yağ miktarı nasıl yazılır? Her bir maddeden karışıma ne kadar yağ girer? M1 . 0,20 1.Maddeden giren yağ miktarı : 2. Maddeden giren yağ miktarı : M2. 0,05 Karışıma giren toplam yağ : M1. 0,20 + M2. 0,05 Karışımın(M1+M2 ) yağ yüzdesi (YY) nasıl bulunur? Prof. Dr Halil ARDAHAN

18 Karışım = M1 + M2 Karışımın yağ yüzdesi = YY olsun. Buna göre, Karışımdaki yağ miktarını nasıl yazarsınız? (M1 + M2) . YY O halde, karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? M1. 0,20 + M2. 0,05 ( M1 + M2 ) . YY M1.0,20 + M2. 0,05 ( M1 + M2) . YY = Karışımın yağ yüzdesidir Prof. Dr Halil ARDAHAN

19 Karışım = M1 + M2 + M3 + + M1 . %Y1 M2. %Y2 M3 . %Y3
2.Problem. Üç madde karıştırılırsa karışımın yağ yüzdesi nasıl bulunur? Karışım = M1 + M2 + M3 Karışıma giren yağ miktarı nasıl yazılır? Her bir maddeden karışıma ne kadar yağ girer? M1 . %Y1 1.Maddeden giren yağ miktarı : 2. Maddeden giren yağ miktarı : M2. %Y2 3. maddeden giren yağ miktarı: M3 . %Y3 + + Karışıma giren yağ : M1.%Y1 M2.%Y2 M3.%Y3 Karışımın ( M1+M2+M3) Yağ yüzdesi (YY) nasıl bulunur? Prof. Dr Halil ARDAHAN

20 Karışım = M1 + M2 + M3 = + ( M1+M2+M3).YY M1.%Y1 M2.%Y2+M3*%Y3
Karışımın yağ yüzdesi = YY olsun. Buna göre, Karışımdaki yağ miktarını nasıl yazarsınız? (M1 + M2+M3) . YY O halde, karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? = ( M1+M2+M3).YY M1.%Y1 + M2.%Y2+M3*%Y3 M1.%Y1+ M2.%Y2+M3.%Y3 = ( M1 + M2+M3) . YY Karışımın yağ yüzdesidir. Prof. Dr Halil ARDAHAN

21 1.Karışımın bilinmeyen 1 kg fiyatı x TL olsun
3.Problem. Bakkal kilogramı 1500 TL olan 6 kg pirinçle, kilogramı 3000 TL olan 4 kg pirinci karıştırıyor. Karışımın 1 kilogramı kaç lira olur? Çözüm. 1.Karışımın bilinmeyen 1 kg fiyatı x TL olsun 2.Karışımın toplam fiyatı kaç türlü yazılır? = ( ) . x = 10 . x 21000 = 10 . x 2100 = x Sonuç. Karışımın 1 kilogramı TL olur. Prof. Dr Halil ARDAHAN

22 4. Problem. %15 yağlı 30 kg süte, % 7 yağlı 20 kg süt katılıyor
4.Problem. %15 yağlı 30 kg süte, % 7 yağlı 20 kg süt katılıyor. Karışımın yağ yüzdesi ne olur? Çözüm. 1.Karışımın bilinmeyen yağ yüzdesi Y olsun 2.Karışımdaki yağ miktarını kaç türlü yazarsınız? = 30 . 0, ,07 ( ) . Y 4,5 + 1,4 = 50. Y KONTROL 5,9 = 50. Y 5,9 = / 1000 5,9/ 50 = Y Karışımdaki yağ miktarı 0,118 = Y= % 11,8 Prof. Dr Halil ARDAHAN

23 HAREKET PROBLEMLERİ İÇİN DENKLEM KURMAK
Bir cismin birim zamanda (1 saat, 1 dakika, 1 saniye) aldığı yola HIZ denir ve V ile gösterilir. Bir araba 1 saatte 50 km yol alıyorsa 2 saate 100 km yol alır. O halde, (YOL= HIZ . ZAMAN) denklemi yazılır. 1. Problem KLJ. Saatteki hızları 10 ve 14 km olan iki bisikletli, A şehrinden 70 km uzaktaki B şehrine gidecektir.Her ikisinin de B şehrine aynı anda varmaları için hızı yavaş olan bisikletli kaç saat önce yola çıkmalıdır? 1. Yavaş bisiklet , 70 = 10 . Z1 Z1= 7 saatte alır 2. Hızlı bisiklet , 70 = 14 . Z2 Z1= 5 saatte alır 3. Yavaş olan bisiklet, 7-5 = 2 saat önce yola çıkmalıdır. Prof. Dr Halil ARDAHAN

24 KAR ve ZARAR İÇİN DENKLEM KURMAK
Önce bu konu ile ilgili kavramları öğrenelim ALIŞ FİYATI, MAL OLUŞ FİYATI ,SATIŞ FİYATI, KAR, ZARAR ALIŞ FİYATI:Üreticiden, fabrikadan veya imalathaneden alınan mal için ödenen ilk fiyata ALIŞ FİYATI denir. MAL OLUŞ FİYATI= ALIŞ FİYATI + MASRAF SATIŞ FİYATI= MAL OLUŞ FİYATI + KAR+ KDV KAR= SATIŞ FİYATI - ALIŞ FİYATI ZARAR= ALIŞ FİYATI - SATIŞ FİYATI Uygulamalardaki denklemleri dikkatle izleyiniz. Prof. Dr Halil ARDAHAN

25 Uygulama. TL ye alınan bir mal, dükkana getirilinceye kadar %3 masraf yapılıyor. Bu malı %35 kar ile satarsak kaç lira kar elde ederiz? Çözüm. KAR Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı ,35 = ,35 = ,03 = Prof. Dr Halil ARDAHAN

26 TOPLAM KAR= SATIŞ FİYATI - MAL OLUŞ FİYATI
Uygulama. Bir bakkal yumurtaların tanesini 190 TL den alıp 250 TL den satıyor. Satıştan TL KAR elde ettiğine göre kaç yumurta satmıştır? Çözüm. Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı KAR =60TL 190 TL 250 TL 190 TL TOPLAM KAR= SATIŞ FİYATI - MAL OLUŞ FİYATI 42000 = 250 . Y 190 . Y Prof. Dr Halil ARDAHAN

27 240 TY ye alınan mal 300 TL ye satılırsa yüzde kaç kar elde edilir?
Uygulama. 240 TY ye alınan mal 300 TL ye satılırsa yüzde kaç kar elde edilir? Çözüm. Alış Fiyatı Mal Oluş Fiyatı Satış Fiyatı KAR 240 300 Prof. Dr Halil ARDAHAN

28 FAİZ. Anaparanın belirli bir zaman içindeki faiz yüzdesidir.
FAİZ DENKLEMLERİ FAİZ. Paranın belli bir zaman ve belli bir yüzde payı ile kiralanmasıdır. FAİZ. Anaparanın belirli bir zaman içindeki faiz yüzdesidir. Anapara, yıllık, aylık ve günlük yüzde kar ile kiralanabilir. A=Anapara/Kapital t =Yüzde oranı( Faiz yüzdesi n = Süre(Yıl, ay, gün sayısı) F = Faiz miktarı Prof. Dr Halil ARDAHAN

29 YILLIK FAİZ. Anaparanın 1 yıl sonundaki faiz yüzdesidir.
1 yıllık faiz (F)= A ( ) . . 2 2 yıllık faiz (F)= A ( ) . . 3 3 yıllık faiz (F)= A ( ) . . n n yıllık faiz (F)= A A . t . n F yıl = 100 Prof. Dr Halil ARDAHAN

30 AYLIK FAİZ. Anaparanın 1 ay sonundaki faiz yüzdesidir.
Prof. Dr Halil ARDAHAN

31 ( ) ( ) ( ) 1 aylık faiz (F)= A . . 1 2 aylık faiz (F)= A . . 2
( ) 1 aylık faiz (F)= A . . 1 ( ) 2 aylık faiz (F)= A . . 2 ( ) n aylık faiz (F)= A . . n Prof. Dr Halil ARDAHAN

32 GÜNLÜK FAİZ. Anaparanın 1 gün sonundaki faiz yüzdesidir.
1 Günlük faiz, Yıllık faizin kaçta kaçıdır? Sizde, benzer şekilde n günlük faiz için bir kural, formül bulunuz. Problem. 5,000,000 TL %85 yıllık faiz ile bankaya yatırılıyor yıllık faizi aylık faizi günlük faizi hesaplayınız. Ezberci eğitim ile anlamlı / oluşturmacı öğrenme arasındaki farkı sezdiniz mi? Prof. Dr Halil ARDAHAN

33 Çözüm. 1 yıllık faiz. F= A . t / 100 F= 500,000 85/100 F=
425,000 TL.faiz getirir. 3 aylık faiz. F= A t / F= 500,000 85/ F= 106,250 TL.faiz getirir. Prof. Dr Halil ARDAHAN

34 60 günlük faiz. F= A . t / 36,000 . 60 F= 500,000 85/36,000 .60 F=
70,833 TL. faiz getirir. Bileşik faiz: Bir yıl sonundaki faizi anaparanın üzerine koyup yeniden faize yatırmak demektir. Prof. Dr Halil ARDAHAN