MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR

... konulu sunumlar: "MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR"— Sunum transkripti:

1 MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
KARMAŞIK SAYILAR HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2012

2 www.muratguner.net İÇİNDEKİLER SANAL SAYI 3 SANAL SAYININ KUVVETLERİ 7
KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ – UZUNLUĞU ) 44 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ EŞLENİK VE MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ ARGÜMENT KUTUPSAL KOORDİNATLAR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL(TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ( DE MOİVRE KURALI ) BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ KAYNAKÇA

3 x2 + 4 = 0 denklemini ele alalım:
Birinci sınıfta matematik dersimizde, sayılar konusunda x + 2 = 0 gibi bir denklemi doğal sayılarda çözemeyince, doğal sayılar kümesi genişletilerek içinde bu gibi denklemlerin çözülebildiği tamsayılar kümesini oluşturmuştuk.Tamsayılar kümesini genişleterek, içinde x – 5 = 0 gibi denklemlerin çözülebildiği rasyonel sayılar kümesini ve rasyonel sayılar kümesini genişleterek içinde x2 = 2 biçimdeki denklemlerin çözülebileceği reel sayılar kümesini elde etmiştik. x2 + 4 = 0 denklemini ele alalım: x2 + 4 = 0  x2 = – 4 tür.xR için x2  0 olduğundan, karesi (– 4) olan sayı yoktur. O halde; reel sayılar kümesinde x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir. Ana Sayfaya Geri Dön

4 gibi sayılar sanal sayılardır.
Bu bölümde, reel sayılar kümesini genişleterek içinde bu türdeki denklemlerin de çözülebileceği bir sayı sistemi oluşturacağız. SANAL SAYI sayısında m bir çift sayma sayısı olmak üzere a < 0 ise, sayıya sanal sayı denir.Yani; kök kuvveti çift olduğunda kök içi negatif olan sayılardır. gibi sayılar sanal sayılardır. x2 = – 1 denkleminde sayısını ( i ) sembolü ile göstereceğiz. Yani; i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

5 a sıfırdan büyük bir gerçek sayı olmak üzere
TANIM a sıfırdan büyük bir gerçek sayı olmak üzere ile tanımlıdır. ÖRNEK sayısını hesaplayalım: ; i2= – 1 UYARI Ana Sayfaya Geri Dön

6 Aşağıda verilen işlemleri hesaplayınız.
ÖRNEK Aşağıda verilen işlemleri hesaplayınız. a) b) c) Ana Sayfaya Geri Dön

7 SANAL SAYININ ( i SAYISININ ) KUVVETLERİ
SANAL SAYININ ( i SAYISININ ) KUVVETLERİ i2 = – 1 i3 = i2. i = ( – 1 ) .i = – i i4 = i2. i2 = ( – 1 ) .( – 1 ) = 1 i14 i15 i16 i13 i12 i11 i10 i9 i8 i7 i6 i5 i –1 – i 1 i –1 – i 1 i –1 – i 1 Bu durumu genelleştirelim. kZ olmak üzere i4k = 1 i4k+1 = i i4k+2 = –1 i4k+3 = – i bulunur. Ana Sayfaya Geri Dön

8 Yani; ip gibi sayının eşitini bulmak için p tamsayısı 4’e bölünür.Kalan doğal sayı a olsun, ( Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının -birler ve onlar- meydana getirdiği sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.) p 4 a a = 0 ise iP = i0 = 1 a = 1 ise iP = i1 = i a = 2 ise iP = i2 = – 1 a = 3 ise iP = i3 = – i olur. Ana Sayfaya Geri Dön

9 işleminin sonucu nedir?
ÖRNEK i413 – i203 i314 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM 413 4 1 13 4 1 203 4 3 314 4 2 14 4 2 i413 = i1 = i i203 = i3 = – i i314 = i2 = – 1 i413 – i203 i314 = i – ( – i ) – 1 = i + i – 1 = – 2i Ana Sayfaya Geri Dön

10 işleminin sonucu nedir?
ÖRNEK i– 435 i123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – 1 i– 435 i123 = 1 i435. i123 1 i558 = = – 1 558 4 2 i558 = i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

11 işleminin sonucu nedir?
ÖRNEK i– 435 i123 işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM – 2 i– 435 i123 = i = – 1 – i i = – 435  1 (mod 4 ) i3 23 4 3 i123 = i3 = – i Ana Sayfaya Geri Dön

12 ( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 işleminin sonucunu bulunuz.
ÖRNEK ( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 işleminin sonucunu bulunuz. ÇÖZÜM ( 1 + i – 1 – i )10 i2 = – 1 ( 1 + i + i2 + i3 + i4 )10 = i3 = – i = ( 1 )10 = 1 i4 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

13 i2 = – 1 olmak üzere (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = ?
ÖRNEK i2 = – 1 olmak üzere (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = ? ÇÖZÜM (1+ i20).(1+ i21).(1+ i22) = (1+ i20).(1+ i21).(1 – 1 ) = (1+ i20).(1+ i21).( 0 ) i22 = i2 = – 1 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

14 i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = – 1 + 1 – 1 – 1 = – 2
ÖRNEK i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = ? ÇÖZÜM i4n = 1 i4n+14 = i4n.i14 = 1. ( – 1 ) = – 1 i200n = 1 i8n+6 = i8n . i6 =1.( – 1) = – 1 i20n+18 = i20n .i18 = 1(– 1 ) = – 1 i4n+14 + i200n + i8n+6+ i20n+18 = – – 1 – 1 = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

15 P( x ) = x19 + x18 + x17 + x16 + ...+ x polinomunda P( i ) =?
ÖRNEK P( x ) = x19 + x18 + x17 + x x polinomunda P( i ) =? ÇÖZÜM P(i) = i19 + i18 + i17 + i16 + …..+ i = ( i3+ i2+ i +1) + ( i3 + i2 + i +1) i3 + i2 + i = ( – i – 1 + i + 1 ) + ( – i – i + 1 ) +…+ ( – i – 1 + i ) = ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) + ( – 1 ) i19 = i3 = – i = – 1 i18 = i2 = – 1 i17 = i1 = i i16 = i0 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

16 UYARI i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i100 = ? Cevap: 0 ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i4446 = ? Cevap: i + i2 = i – 1 ÖRNEK i + i2 + i3 + i4 + …..+ i8753 = ? Cevap: i Ana Sayfaya Geri Dön

17  ÖRNEK Karmaşık sayılar kümesi üzerinde f fonksiyonu
ÖRNEK 2011 LYS Karmaşık sayılar kümesi üzerinde f fonksiyonu biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, f(i) değeri nedir? ÇÖZÜM  Ana Sayfaya Geri Dön

18 ÖRNEK i23 + i24 + i25 +….+ i126 = ? ÇÖZÜM i23 + i24 + ….+ i126 =
ÖRNEK i23 + i24 + i25 +….+ i126 = ? ÇÖZÜM i23 + i24 + ….+ i126 = i22 ( i + i2 +….+ i104 ) i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i22 .0 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

19 ÖRNEK i111 + i112 + i113 +…. i213 = ? ÇÖZÜM i111 + i112 +…. i213 =
ÖRNEK i111 + i112 + i113 +…. i213 = ? ÇÖZÜM i111 + i112 +…. i213 = i110 ( i + i2 +…. i103 ) i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i110 ( i + i2 + i3 ) = – 1( i – 1 – i ) = – 1( – 1 ) = 1 i110 = i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

20 ÖRNEK i9 + i18 + i27 +…. +i135 = ? ÇÖZÜM i9 + i18 + i27 +…. i135 =
ÖRNEK i9 + i18 + i27 +…. +i135 = ? ÇÖZÜM i9 + i18 + i27 +…. i135 = i9 + ( i9 )2 + ( i9 )3 +….+ ( i9 )15 i9 = i = i + i2 + i3 +….+i15 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i + i2 + i3 = i – 1 – i = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

21 ÖRNEK i13 + i26 + i39 +….+ i1326 = ? ÇÖZÜM i13 + i26 +…. i1326 =
ÖRNEK i13 + i26 + i39 +….+ i1326 = ? ÇÖZÜM i13 + i26 +…. i1326 = i13 + ( i13 )2 + ( i13 )3 +….+ ( i13 )102 i13 = i = i + i2 + i3 +….+ i102 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim k = 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. = i + i2 = i – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

22 ÖRNEK i5 + i6 + i7 +…. in = 0 olduğuna göre n’nin en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri kaçtır? ÇÖZÜM  i5 + i6 + i7 +…. in = 0 i4 ( i+i2 + i3+….+ in – 4 ) = 0 i4n = 1 i + i2 + i3+….+ in – 4 = 0 (n – 4) sayısı 4 ün katı olmalıdır.n nin en küçük üç basamaklı olması için:  n – 4 = 96 n = 100 Ana Sayfaya Geri Dön

23 ÖRNEK in sayısının bir gerçek sayıya eşit olmasını sağlayan iki basamaklı kaç değişik n doğal sayısı vardır? ÇÖZÜM  in = 1 i4n = 1 olduğundan n  { 12,16,….. , 96 } iki basamaklı doğal sayıların sayısı 96  4 = 24 – 2 = 22 ( 4 ve 8 olmayacağı için) ( Terim sayısı formülü ile de hesaplanabilir.)  in = –1 i4n+2 = – 1 olduğundan n  { 10,14,….. , 98 } iki basamaklı doğal sayıların sayısı; = 23 98 – 10 4 iki basamaklı n doğal sayıların sayısı = 45 Ana Sayfaya Geri Dön

24 ÖRNEK i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + …..+ i197 – i199 = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK i – i3 + i5 – i7 + i9 – i11 + …..+ i197 – i199 = ? ÇÖZÜM i + i + i + i + i + …..+ i + i = 100i 2n – 1 = 199 ise n = 100 Ana Sayfaya Geri Dön

25 ( i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4 )+…+ i– 97 + i–98 + i–99
ÖRNEK i– 1 + i–2 + i– 3 + i–4 + …..+ i– 99 = ? ÇÖZÜM i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4= i3 + i2 + i = 0 i– 1 + i– i– 99 = ( i– 1 + i–2 + i– 3 + i– 4 )+…+ i– 97 + i–98 + i–99 = i– 97 + i–98 + i–99 i–97 = i3 = – i = i3 + i2 + i1 i–98 = i2 = – 1 = – i – 1 + i i–99 = i = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

26 UYARI i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır. k0 ise sonuç i-1 den i-k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(nN+) ÖRNEK i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-100 = ? Cevap: 0 ÖRNEK i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-707 = ? Cevap : i-1 + i-2 + i-3 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

27 KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI
KARMAŞIK ( KOMPLEKS ) SAYI a ve b reel sayılar i2 = – 1 olmak üzere, a+ib biçimindeki sayılara karmaşık ( kompleks ) sayılar denir.Karmaşık sayıyı z ve bu sayıların kümesini C ile göstereceğiz.O halde, karmaşık sayıların kümesini C = { z = a + ib, a, b R, i2 = – 1 } şeklinde gösterebiliriz. z = a+ib eşitliğinde a sayısına z sayısının Reel Kısmı denir ve Re(z) = a biçiminde, b sayısına z sayısının İmajiner(sanal) Kısmı denir ve İm(z) = b biçiminde gösterilir.  Karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani kümeleri N  Z  Q  R  C biçiminde gösterebiliriz.  Karmaşık sayılar arasında sıralama yapılamaz. Ana Sayfaya Geri Dön

28 z1 = 3 + 5i sayısının reel kısmı 3, imajiner(sanal) kısmı 5 tir
ÖRNEK z1 = 3 + 5i sayısının reel kısmı 3, imajiner(sanal) kısmı 5 tir z2 = 7 – i sayısında Re( z2 ) = 7 İm( z2 ) = – 1 z3 = sayısında Re( z3 ) = İm( z3 ) = 2 z4 = 2 – 2i sayısında Re( z4 ) = 2 İm( z4 ) = – 2 z5 = sayısında Re( z5 ) = 8 İm( z5 ) = 0 z6 = 9i sayısında Re( z6 ) = 0 İm( z6 ) = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

29 z = 1 + sayısının sanal kısmı kaçtır?
ÖRNEK z = sayısının sanal kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = 1 + i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + …..+ i-n işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i-1 den i-k ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir.(nN+) z = 1 + z = 1 + z = – i i–1 = i3 = – i İm(z) = – 1 i–2= i2 = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

30 a < b < 0 olmak üzere z = karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
ÖRNEK a < b < 0 olmak üzere z = karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM z = – + z = z = z = Re(z) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

31 İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ z1 ve z2 kompleks ( karmaşık ) sayıları z1= a + ib ve z2 = c + id olsun. z1 = z2  a = c ve b = d dir. Yani; iki karmaşık sayının eşit olması için, reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı eşit olması gerekir.Bunun karşıtı da doğrudur. ÖRNEK z1= –7x i ve z2 = – 8x i(2y – 1 ) karmaşık sayıları veriliyor. z1 = z2 olması için x ve y sayıları kaç olmalıdır. ÇÖZÜM –7x + 1 = – 8x + 5 5 = 2y – 1 x = 4 y = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

32 ÖRNEK z1= a bi – i ve z2 = 2a – 3 + bi – ai karmaşık sayıları veriliyor. z1 = z2 olduğuna göre a + b = ? ÇÖZÜM a bi – i = 2a – 3 + bi – ai a i( 3b – 1 ) = 2a – 3 + i( b – a) a + 2 = 2a – 3 3b – 1 = b – a a + b = 3 a = 5 2b = 1 – 5 b = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

33 ÖRNEK x,y  R olmak üzere z = ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i ve z = 0 ise x + y =? ÇÖZÜM ( 2 + i )x + ( 1 – i )y – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + ix + y – iy – 7 – 8i = 0 + 0i 2x + y – 7 + i(x – y – 8 ) = 0 + 0i 2x + y – 7 = 0 x – y – 8 = 0 x = 5  y = – 3 x + y = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

34 ÖRNEK x, y  R olmak üzere z1 = 3 + 4( x – i ), z2 = ( x + iy)i + x z1= z2 ise y kaçtır? ÇÖZÜM 3 + 4( x – i ) = ( x + iy)i + x 3 + 4x – 4i = xi + i2y + x 3 + 4x – 4i = x – y + xi 3 + 4x = x – y – 4 = x y = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

35 (Cosx + iSinx)2 = Cos2x – iSin2x
ÖRNEK 1993-II Karmaşık düzlemde ( Cosx + iSinx )2 = Cos2x – iSin2x olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi x in değerlerinden biridir?( 30° – 45° – 60° – 90° – 180° ) ÇÖZÜM (Cosx + iSinx)2 = Cos2x – iSin2x Cos2x + 2iSinxCosx – Sin2x = Cos2x – iSin2x Cos2x – Sin2x = Cos2x 2SinxCosx = – Sin2x – Sin2x = 0 ….. Sinx = 0 x = 180° Ana Sayfaya Geri Dön

36 KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ
KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları birebir eşlenebilir.Bu eşlemede a+ib sayısına (a, b) noktası karşılık gelir.Örneğin; 1+2i sayısı ile (1, 2), –3+4i sayısı ile ( –3, 4 ) noktası eşlenir. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. x ( Reel eksen ) y ( Sanal eksen ) Z = a+ib = ( a,b) a b z2 = – 3 + 4i = (- 3, 4 ) – 3 2 4 1 – 2 z1 =1+ i2 = (1, 2) z3 =2 – 2i = (2, – 2 ) Ana Sayfaya Geri Dön

37 z = x – xi olup İm( z ) + Re( z ) = 0
ÖRNEK z Yandaki karmaşık düzlemde, x ve y eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası, z karmaşık sayısıdır. Buna göre z sayısının reel ve sanal kısmının toplamı kaçtır? x – x ÇÖZÜM z = x – xi olup İm( z ) + Re( z ) = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

38 ÖRNEK Re(z) > 1 ve İm(z)  2 koşullarını sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM x y 2 1 Ana Sayfaya Geri Dön

39      KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ
KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ a +ib ve a – ib sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Buna göre, z = a+ib ise z = a – ib dir. ( sadece i’li ifadenin katsayısının işareti değişecek.) Örneğin;  z1 = 2 – 5i z1 = 2 + 5i  z2 = – 3 + 4i z2 = – 3 – 4i  z3 = – 6i + 7 z3 = 6i + 7  z4 = 7 z4 = 7  z5 = 9i z5 = – 9i Ana Sayfaya Geri Dön

40 ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z olduğuna göre z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM 3z + 4 – 2i = 6 +4i + z 2z = 2 +6i z = 1 +3i z = 1 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

41 a +ib ve a – ib sayıları reel eksene ( x eksenine ) göre simetriktir.
UYARI a +ib ve a – ib sayıları reel eksene ( x eksenine ) göre simetriktir. z = a+ib = ( a, b) z = a – ib = ( a, – b ) Ana Sayfaya Geri Dön

42 ÖRNEK a, bR, z = 5+ ib ve w = a+7i karmaşık sayıları reel eksene göre simetriktir.Buna göre a + b kaçtır? ÇÖZÜM Reel eksene göre simetrik ise z = w veya w = z  5 + ib = a +7i 5 – ib = a +7i b = – 7 a = 5 a + b = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

43 z = x +iy olmak üzere 2z + 4 = z + i olduğuna göre x.y =?
ÖRNEK z = x +iy olmak üzere 2z + 4 = z + i olduğuna göre x.y =? ÇÖZÜM 2(x – iy) + 4 = x + iy + i 2x – 2iy + 4 = x + iy + i 2x + 4 – 2yi = x + i(y + 1) 2x + 4 = x –2y = y + 1 y = 1 3 – x = – 4 x.y = (– 4 ).( ) = 1 3 – 4 Ana Sayfaya Geri Dön

44 y x + KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ-UZUNLUĞU)
KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ( MODÜLÜ-UZUNLUĞU) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın, başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve I z I ile gösterilir. x y z = x + iy = ( x, y ) o IzI z = x + iy ise I z I = 2 y x + Ana Sayfaya Geri Dön

45 ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların mutlak değerlerini bulunuz. z = ( 3,– 4 ) 3 – 4 I z1I  A) z1 = 3 – 4i I z1 I = 32 + (– 4 )2 = 5 z = ( 1,3 ) 1 3 I z2I  B) z2 = 1 + 3i I z2 I = 12 + ( 3 )2 = 10 Ana Sayfaya Geri Dön

46   C) z3 = 3 I z3 I = 32 + ( 0 )2 = 3 D) z4 = 7i I z4 I =
 C) z3 = 3 I z3 I = 32 + ( 0 )2 = 3 3 7  D) z4 = 7i I z4 I = 02 + ( 7 )2 = 7 Ana Sayfaya Geri Dön

47 ÖRNEK i2= – 1 ve xR olmak üzere z = – 3 + i – xi karmaşık sayısının başlangıç noktasına uzaklığı 5 br olan z karmaşık sayılarını yazınız. ÇÖZÜM I z I = (– 3)2 + (1 – x )2 = 5 9 + (1 – x )2 = 25 (1 – x )2 = 16 x = – 3 x = 5 z1 = – 3 + i – ( –3i ) = – 3 + 4i z2 = – 3 + i – ( 5i ) = – 3 – 4i Ana Sayfaya Geri Dön

48 ÖRNEK I z I – 4i = z + 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının mutlak değeri kaçtır? ÇÖZÜM z = x + iy olsun. – 4i = x – iy + 2 x2 + y2 4 = y = x + 2 x2 + y2 x = x2 + 4x + 4 16 = 4x + 4 x = 3  z = 3 + 4i I z I = 32 + ( 4 )2 = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

49 ÖRNEK 2006/MAT-2 I z I + z = 3 – 2i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını yazınız. ÇÖZÜM z= x+iy olsun. I x + iy I + x + iy = 3 – 2i + x + iy = 3 – 2i x2 + y2 y = – 2 + x = 3 x2 + y2 + x = 3 x2 + 4 = 3 – x x2 + 4  x =  z = – 2i x = ( 3 – x )2 Ana Sayfaya Geri Dön

50 ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

51 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1– TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken reel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. z1= a + ib ve z2 = c + id olsun. z1+ z2 = ( a + c ) + ( b + d )i z1– z2 = ( a – c ) + ( b – d )i ÖRNEK z1= 7 – 3i ve z2 = 4 + 8i olsun. z1+ z2 = 7 – 3i i = i z1– z2 = 7– 3i – 4 – 8i = 3 – 11i Ana Sayfaya Geri Dön

52 OACB paralelkenarının C köşesi ile eşlenir.
İKİ KARMAŞIK SAYININ TOPLAMININ VE FARKININ GEOMETRİK YORUMU z1 = a + ib ve z2 = c + di olsun. Z1 + Z2 b + d C Z1 Z1 b b B B A A d Z2 d Z2 a C a + c a C C z1 + z2 , karmaşık düzlemde OACB paralelkenarının C köşesi ile eşlenir. z2 + ( – z1 ) = z2 – z1 –Z1 Ana Sayfaya Geri Dön

53 İki polinomun çarpımı gibi işlem yapılır.
2– ÇARPMA İŞLEMİ z1 = a + ib ve z2 = c + di olsun. z1 . z2 = ( a + ib)( c + di ) = ac + adi +ibc + i2bd = ac + adi +ibc – bd İki polinomun çarpımı gibi işlem yapılır. = ( ac – bd ) + i(ad + bc ) ÖRNEK (2 +3i )( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM (2 +3i )( 3 – 4i ) = 2.3 – 2.4i +3i.3 – 3i.4i = 6 – 8i +9i – 12i2 ; i2 = – 1 = 6 + i + 12 = 18 + i Ana Sayfaya Geri Dön

54 (a – bi )( a + bi ) = a2 + abi – abi – bi2 = a2 + b2
ÖRNEK (4 – 2i )( 4 + 2i ) = ? i2 = – 1 ÇÖZÜM – 1 (4 – 2i )( 4 + 2i ) = 16 + 8i – 8i – 4i2 = = 20 ÇÖZÜM – 2 (a – bi )( a + bi ) = a2 + abi – abi – bi2 = a2 + b2 i2 = – 1 (4 – 2i )( 4 + 2i ) = = = 20 Ana Sayfaya Geri Dön

55 ÖRNEK (3 +2i )2.( 1 + i ) = ? i2 = – 1 ÇÖZÜM (3 +2i )2.( 1 + i ) = ( i + 4i2 ).( 1 + i ) = ( 9 + 6i – 4 ).( 1 + i ) = ( 5 +12i ).( 1 + i ) = 5 + 5i + 12i – 12 = – i Ana Sayfaya Geri Dön

56 ÖRNEK ( 1 + i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11 = (1 + i ).[ (1 + i )2 ]5
ÖRNEK ( 1 + i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11 = (1 + i ).[ (1 + i )2 ]5 ( 1 + i )2 = 1 + 2i + i2 = (1 + i ).[ 2i ]5 = 1 + 2i – 1 = (1 + i ).32i5 = 2i = (1 + i ).32i = 32i + 32i2 = 32i – 32 Ana Sayfaya Geri Dön

57 ÖRNEK ( 1 + i )8.z =1+2i ise z karmaşık sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM  ( 1 + i )8.z =1+2i [ ( 1 + i )2 ]4 .z =1+2i [ 2i ]4 .z =1+2i ( 1 + i )2 = 2i 16 .z =1+2i z = 1+2i 16 z = 1 16 2i + z = 1 16 8 i – Ana Sayfaya Geri Dön

58 ÖRNEK ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 =
ÖRNEK ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = ? ÇÖZÜM ( 1 + i )11. ( 1 – i )11 = [ ( 1 + i ).( 1 – i ) ]11 ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 = [ ( ) ]11 = 211 Ana Sayfaya Geri Dön

59 ÖRNEK ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = ? ÇÖZÜM ( 2 – i )6.( 2 + i )8.( 3 – 4i ) = (2 – i)6.(2 + i)6.( 2 + i )2.( 3 – 4i ) = [(2 – i)(2 + i)]6.( 2 + i )2.( 3 – 4i ) = ( )6.( 4 + 4i – 1).( 3 – 4i ) = 56.( 3 + 4i ).( 3 – 4i ) = 56.( ) = 56.25 = 58 Ana Sayfaya Geri Dön

60 i2 = – 1 olduğuna göre (1+ i )(1 + i3 )(1 + i5 )(1+ i7 ) = ?
ÖRNEK 1991-II i2 = – 1 olduğuna göre (1+ i )(1 + i3 )(1 + i5 )(1+ i7 ) = ? ÇÖZÜM (1+ i )(1 + i3 )(1+ i5)(1+ i7 ) = ( 1+ i )( 1 – i )( 1 + i)( 1 – i ) = ( )( ) = 4 i3 = – i i5 = i i7 = i2 = – 1 ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 Ana Sayfaya Geri Dön

61 ÖRNEK 3z – 4iz + 5i = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM z = a + bi olsun. i2 = – 1 3( a – bi) – 4i( a +bi ) + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai – 4bi2 + 5i = 2 3a – 3bi – 4ai + 4b + 5i = 2 3a + 4b – i(–3b – 4a + 5) = 2 + 0i 3a + 4b = 2 –3b – 4a + 5 = 0  z = 2 – i a = 2 b = – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

62   ÖRNEK sağlayan z karmaşık sayılarını standart biçimde yazınız.
ÖRNEK sağlayan z karmaşık sayılarını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM   z.z + z = 9 + 3i a2 + b2 + a + ib = 9 + 3i (a – bi )( a + bi ) = a2 + b2 z = a + bi a2 + b2 + a = 9 b = 3 a a = 9 a2 + a = 0 a = 0 a = – 1 z = 3i , z = – 1 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön

63 I. z ve w birbirinin eşleniğidir. Il. z – w gerçeldir.
ÖRNEK 2011 LYS z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w= c+di karmaşık sayıları için z+w toplamı ve z.w birer gerçel sayı olduğuna göre, I. z ve w birbirinin eşleniğidir. Il. z – w gerçeldir. lll.z2 +w2 gerçeldir. İfadelerinden hangileri doğrudur? ÇÖZÜM z = a +ib ( b ≠ 0 ) ve w = c+ di karmaşık sayılarının toplam ve çarpımlarının gerçel sayı olması için z ve w birbirinin eşleniği olmalıdır.Örneğin; z = 2 + 3i , w = 2 – 3i ise z + w = 4, z.w = 13, z – w = 6i, z2 + w2 = –10 olduğundan I ve III doğrudur. Ana Sayfaya Geri Dön

64 3– BÖLME İŞLEMİ bölme işlemi yapılırken amaç paydada sanal (i’li) terimin bulunmaması olduğundan pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. ÖRNEK – 1 ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

65 sayısını a+ib biçiminde yazınız.
ÖRNEK sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

66 z  C olmak üzere z2 = 3 – 4i ve z3 = 2 –11i ise Re(z) + İm(z)=?
ÖRNEK z  C olmak üzere z2 = 3 – 4i ve z3 = 2 –11i ise Re(z) + İm(z)=? ÇÖZÜM Re(z) + İm(z)= 2 – 1 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

67 ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

68 ÖRNEK ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i oluğuna göre z karmaşık sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM ( z – 1)( 1+ i ) = 7 – 3i z – 1 = z =  z = 3 – 5i z = 3 + 5i Ana Sayfaya Geri Dön

69 ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersini standart biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

70 ÖRNEK i2 = – 1 olmak üzere ÇÖZÜM 1992-II www.muratguner.net
Ana Sayfaya Geri Dön

71 İ2 = – 1 ve n pozitif tamsayı olmak üzere
ÖRNEK 1995-II İ2 = – 1 ve n pozitif tamsayı olmak üzere ÇÖZÜM – 1 i4n = i8n = 1 ÇÖZÜM – 2 n pozitif tamsayısını keyfi seçerek de çözüm yapılabilir. n = 1 için Ana Sayfaya Geri Dön

72 z = 2 + i karmaşık sayısı için sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM
ÖRNEK 2010 LYS z = 2 + i karmaşık sayısı için sayısını a+ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

73  ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 1
ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 1  ( z – i ) ( z +3i ) z – i + z + 3i = 1 + i 2z + 2i = 1 + i 2z = 1– i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

74  ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 2
ÖRNEK denklemini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ÇÖZÜM – 2  z – i + z + 3i = 1 + i 2 z = 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

75 KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM ÇÖZÜMÜ ÖRNEK 9x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 9x2 = – 36   x2 = – 4 Köklerin birbirinin eşleniği olduğuna dikkat edelim. Ana Sayfaya Geri Dön

76 x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 1 Denklemi çarpanlarına ayırmaya gücünüz yetmiyorsa hiç çekinmeden ’ya başvurabilirsiniz.  = b2 – 4ac = 4 – = – 4 ( Farklı iki sanal kök var ) Ana Sayfaya Geri Dön

77  ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 2
ÖRNEK x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Verilen ifadeyi mümkünse, tam kareye benzetmeye çalışalım.  x2 – 2x + 2 = 0 ( x – 1)2 + 1 = 0 ( x – 1)2 = – 1 x1 = 1 – i x2 = 1 + i Ana Sayfaya Geri Dön

78 Denklem reel katsayılı değilse kökler de birbirinin eşleniği değildir.
UYARI Reel katsayılı ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c  R ) ikinci dereceden denkleminde  < 0 ise birbirinden farklı iki karmaşık kök vardır ve bu kökler birbirinin eşleniğidir.Bu da köklerden birini biliyorsak diğerini de zaten biliyoruz demektir.  Denklem reel katsayılı değilse kökler de birbirinin eşleniği değildir. Ana Sayfaya Geri Dön

79 ÖRNEK m tamsayı olmak üzere x2 +2x + m = 0 denkleminin bir kökü – 1+3i olduğuna göre m kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( – 1+3i ) ise diğer kökü ( –1– 3i ) dir. ( – 1 + 3i )( – 1 – 3i ) = m ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 10 = m Ana Sayfaya Geri Dön

80 ÖRNEK 2010 LYS b ve c gerçel sayılar olmak üzere, P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i karmaşık sayısıdır Buna göre, P(–1) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 3 – 2i ) ise diğer kökü ( 3 +2i ) dir. ( 3 – 2i )( 3 + 2i ) = c ; ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 13 = c ( 3 – 2i ) + ( 3 + 2i ) = – b b = – 6  P(x) = x2 – 6x +13 P( – 1 ) = 20 Ana Sayfaya Geri Dön

81 Kökleri bilinen denklemi yazmak için;
ÖRNEK Köklerinden biri ( 2 – 3i ) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız. ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü – 3i ise diğer kökü 2 + 3i dir. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x2 – ( x1 + x2 )x + x1x2 = 0 bağıntısını kullanırsak x2 – 4x + 13 = 0 denklemi elde edilir. ( a – ib )( a + ib ) = a2 + b2 ( 2 – 3i )(2 + 3i) = 13 ( 2 – 3i )+(2 + 3i) = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

82 ÖRNEK m ve n reel sayılar olmak üzere x3 + mx2 + 6x + n = 0 denkleminin bir kökü 2 diğer kökü (1 – i) dir. Buna göre m + n = ? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, reel olmayan kökler birbirinin eşleniğidir. x1 = 2 , x2 = 1 – i , x3 = 1 + i   x1+ x2 + x3 = – m 2 + (1 – i ) + ( 1 + i ) = m m = – 4 x1+ x2 + x3 = – b/a x1. x2 . x3 = – n   2(1 – i )( 1 + i ) = – n n = – 4 x1. x2 . x3 = –d/a m + n = – 8 Ana Sayfaya Geri Dön

83 p(x) = (x + i)(x – i )(x – 2i)(x + 2i)
ÖRNEK 2011 LYS Baş katsayısı 1 olan, – i ve 2i karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsayılı p(x) polinomu için p(0) kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, diğer kökler - i ve 2i nin eşleniğidir. p(x) = (x + i)(x – i )(x – 2i)(x + 2i) p(0) = i.(– i )(– 2i)( 2i ) p(0) = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

84  ÖRNEK x4 + 8x2 – 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM
ÖRNEK x4 + 8x2 – 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM x2 = t diyelim.  t2 + 8t – 9 = 0 ( t + 9 )( t – 1 ) = 0 t 9 t = – ve t = 1 t – 1 x2 = – 9 x2 = 1 x1 = 3i x2 = –3i x4 = –1 x3 = 1 Ç.K = { 3i, – 3i, 1, – 1 } Ana Sayfaya Geri Dön

85 x2 – ( 1 – 2i )x –1 – i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK x2 – ( 1 – 2i )x –1 – i = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM  = 1 Denklem reel katsayılı olmadığından kökler birbirinin eşleniği değildir. Ç.K = { 1– i, – i } Ana Sayfaya Geri Dön

86 ÖRNEK z3 + zi + a – 3i = 0 denkleminin bir kökü (1 + i ) ise a kaçtır? ÇÖZÜM Kök denklemi sağlar mantığı ile z yerine ( 1 + i ) yazılarak denklem sıfıra eşitlenir. (1 + i )3 + ( 1 + i )i + a – 3i = 0 (1 + i )2.( 1 + i ) + i + i2 + a – 3i = 0 (1 + 2i + i2 ).( 1 + i ) + i – a – 3i = 0 ( 2i ).( 1 + i ) – 1 + a – 2i = 0 2i + 2i2 – a – 2i = 0 2i – 2 – 1 + a – 2i = 0  – 3 + a = 0 a = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

87  ÖRNEK x3 = 1 denkleminin bütün köklerini bulunuz. ÇÖZÜM x3 – 1= 0
ÖRNEK x3 = 1 denkleminin bütün köklerini bulunuz. ÇÖZÜM ( a – b )( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3  x3 – 1= 0 ( x – 1 )( x2 + x + 1 ) = 0 x2 + x + 1= 0 x1 = 1  = 1 – = – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

88 ÖRNEK z2 + z + 1 = 0 olduğuna göre z2004 – 2.z ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM ( a – b )( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3  z2 + z + 1 = 0 ( z – 1 )( z2 + z + 1 ) = 0.( z – 1 ) z3 – 1 = 0 z3 = 1 ( z3 )668 = z 2004 = 1 ( z3 )334 = z 1002 = 1 z2004 – 2.z = 1 – = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

89 ÖRNEK z2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2 olduğuna göre I z1 – z2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 1  = (– 4i )2 – = –16 – 20 = –36 I z1 – z2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

90 ÖRNEK z2 – 4iz + 5 = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2 olduğuna göre I z1 – z2 I kaçtır? ÇÖZÜM – 2  z2 – 4iz + 5 = 0 ( z – 5i )( z + i ) = 0 z – 5i z i z1= 5i z2= – i I z1 – z2 I = I 5i – (– i ) I = I 6i I = 6 Ana Sayfaya Geri Dön

91 ÖRNEK Köklerinden biri ( – i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + x + 1 = 0 B) x2 + x – 1 = 0 C) x2 + 1 = 0 D) x2 – 1 = 0 E ) x2 + x +12 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( –i ) ise diğer kökü ( i ) dir. Kökler toplamı = 0 Kökler çarpımı = – i2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

92 ÖRNEK Köklerinden biri (1– i ) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 2x + 1 = 0 B) x2 + 2x + 2 = 0 C) x2 – 2x + 2 = 0 D) x2 – 2x – 2 = 0 E ) x2 – 2x – 1 = 0 ÇÖZÜM Denklemin katsayıları reel sayı olduğuna göre, bir kökü ( 1 – i ) ise diğer kökü ( 1+ i ) dir. Kökler toplamı = 2 Kökler çarpımı = 1+1= 2 Ana Sayfaya Geri Dön

93 Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan sayıları bulunuz.
ÖRNEK Toplamları 4 ve çarpımları 5 olan sayıları bulunuz. ÇÖZÜM Sayıları bulmak için önce denklem kurmalıyız. Kökleri bilinen denklemi yazmak için; x2 – ( x1 + x2 )x + x1x2 = 0 bağıntısını kullanırsak x2 – 4x + 5 = 0 denklemi elde edilir. x – 2 + i x – 2 – i x1 = 2 – i x2 = 2 + i İsterseniz  yöntemini de çekinmeden kullanabilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön

94 x2–2x+10 üç terimlisinin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız.
ÖRNEK x2–2x+10 üç terimlisinin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız. ÇÖZÜM x2–2x+10 = ( x – 1 )2 – ( – 9 ) = ( x – 1 )2 – ( 3i )2 ( a – b )( a + b ) = a2 – b2 = ( x – 1– 3i )(x – 1 + 3i ) Ana Sayfaya Geri Dön

95   [ ] = I I = EŞLENİK VE MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( z ) = z
EŞLENİK VE MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER ( z ) = z 1)   z = a + bi z = a – bi ( z ) = a + bi z1 z2 = z1  z2 2) z1 . z2 = z1 . z2 3) z1 z2 [ ] = 4) ; z2  0 5) I z1.z2 I = I z1 I . I z2 I z1 z2 I I = I z1 I I z2 I ; z2  0 6) Ana Sayfaya Geri Dön

96 ÖRNEK 2007 / MAT- 2 Karmaşık sayılar kümesi üzerinde  işlemi z1z2 = z1 + z2 + I z1.z2 I biçiminde tanımlanıyor.Buna göre, ( 1 – 2i )( 2 + i ) işleminin sonucu nedir? ÇÖZÜM z1z2 = z1 + z2 + I z1.z2 I ( 1 – 2i )( 2 + i ) = (1 – 2i ) + ( 2 + i ) + I1 – 2i I.I 2 + i I = 3 – i + = 3 – i + 5 = 8 – i Ana Sayfaya Geri Dön

97  I z I = I – z I = I z I = I – z I 7) ÖRNEK
I z I = I – z I = I z I = I – z I 7) ÖRNEK z = x+ iy ve I z I + I– z I + Ii.z I+ I–i.z I = 12 ise x2 + y2 = ? ÇÖZÜM I z I + I – z I + I iz I + I –iz I = 12 I z I + I –1I.I z I + I i I.I z I + I –i I.I z I = 12 1 1 1 I z I + I z I + I z I + I z I = 12 4I z I = 12  I z I = 3 x2 + y 2 = 3 x2 + y 2 = 9 Ana Sayfaya Geri Dön

98  I zn I = I z In , nR 8) ÖRNEK ( 1 – i )8.z = 32i ise I z I = ?
I zn I = I z In , nR 8) ÖRNEK ( 1 – i )8.z = 32i ise I z I = ? ÇÖZÜM  l ( 1 – i )8.z l = I 32i l I 1 – i I8. I z l = I 32i l l ( 1 – i )8 I . I z l = I 32i l 8 ) 1 ( + .I z l = 32 16.I z l = 32 I z l = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

99  ÖRNEK z = i + i2 + i3 + i4 + …..+ i50 ise I z2 I = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK z = i + i2 + i3 + i4 + …..+ i50 ise I z2 I = ? ÇÖZÜM z = i + i2 + i3 + i i49 + i50 i + i2 + i3 + i4 + …..+ in işleminin sonucunu kısa yoldan bulmak için n sayısı 4’e bölünür.Elde edilen kalanı k ile gösterelim.k= 0 ise sonuç sıfırdır.k0 ise sonuç i1 den ik ya kadar olan tam kuvvetlerin toplamına eşittir. z = i + i2 z = i – 1  I z2 I = I z I2 I z2 I = I i – 1 I2 = ( ) 2 1+1 = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

100 karmaşık sayısının modülü kaçtır?
ÖRNEK karmaşık sayısının modülü kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

101 z.z = I z I2 = a2 + b2 9) ÖRNEK z.z – 3 = 2IzI olduğuna göre IzI kaçtır? ÇÖZÜM z.z = IzI2 olduğundan  IzI2 – 3 = 2IzI IzI2 – 2IzI – 3 = 0 IzI –3 IzI 1 x  ( IzI – 3 )( IzI + 1 ) = 0 IzI = 3 , IzI = –1 IzI = 3 Uzaklık negatif olmaz Ana Sayfaya Geri Dön

102 İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK
İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK z1= x1 + iy1 sayısına karşılık gelen noktaya A, z2 = x2 + iy2 sayısına karşılık gelen noktaya B diyelim ve bu noktaların geometrik gösterimi de aşağıdaki gibi olsun. z1 ve z2 sayıları arasındaki uzaklık IABI kadardır.ABC üçgeninde pisagor teoreminden z1 z2 B A IABI x2 x1 y2 y1 x1 – x2 y1 – y2 IABI2 = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 IABI = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 Diğer taraftan I z1 – z2 I = I x1+iy1 – ( x2 +iy2) I = I ( x1 – x2 ) +i( y1 – y2) I = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = IABI Iz1–z2I gösterimi karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı belirtir. Ana Sayfaya Geri Dön

103 I z1 – z2 I = I 5+7i – ( 2 +3i ) I = I 3 + 4i I = = 5 4 3 +
ÖRNEK z1 = 5+7i ve z2 = 2 + 3i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM I z1 – z2 I = I 5+7i – ( 2 +3i ) I = I 3 + 4i I = = 5 2 4 3 + İsterseniz geometrik çözüm de yapabilirsiniz. Bazı sorularda ciddi kolaylık sağlar. Nasıl mı? 2 3 5 7 z2 z1 4 I z1 – z2 I = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 formülüyle de siz yapınız. Ana Sayfaya Geri Dön

104 ÖRNEK z1 = –1+3i ve z2 = 2 – i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM I z1 – z2 I = (– 1 – 2 )2 + ( 3 – ( – 1 ) )2 = 5 z1 3 5 4 2 – 1 – 1 z2 3 Ana Sayfaya Geri Dön

105 ÖRNEK z = 3 + 4i karmaşık düzlemde pozitif yönde120° döndürülmesiyle w karmaşık sayısı elde ediliyor.Buna göre I w – z I değeri kaçtır? ÇÖZÜM I w – z I ifadesinin, w karmaşık sayısı ile z karmaşık sayısı arası uzaklığı olduğunu hatırlayınız. z = 3 + 4i 4 w 5 I w – z I = 3 5 5 120° 3 z = 3 + 4i sayısının 120° döndürülmesiyle elde edilen w karmaşık sayısının mutlak değeri, z sayısının mutlak değeri ile aynıdır. ( yani döndürülmeyle uzunluk değişmez. I z I = I w I ) Ana Sayfaya Geri Dön

106 I x – 1 + ( x + 2)i – (–1 + ( x – 1 )i I = 5
ÖRNEK z1 = x – 1+ (x + 2)i ve z2 = –1 + (x – 1)i karmaşık sayıları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre x’in pozitif değeri kaçtır? ÇÖZÜM  I z1 – z2 I = 5 I x – 1 + ( x + 2)i – (–1 + ( x – 1 )i I = 5 I x – 1 + ( x + 2)i +1 – ( x – 1 )i I = 5 I x – ( x + 2– x +1 )i I = 5 I x + 3i I = 5 = 5 2 3 x + x2 = 16 x = 4 Ana Sayfaya Geri Dön

107 ÖRNEK Karmaşık düzlemde A( i ), B( – i ), C( 2 + 8i ) noktaları veriliyor.A noktasının [BC]’nin orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir? ÇÖZÜM ll ll B(– 8 , 12 ) D( x, y ) C( 2, 8 ) x = = – 3 – 8 + 2 2 y = = 10 12 + 8 2 IADI = ( 5 – ( – 3 )) 2 + (25 – 10)2 = 17 Ana Sayfaya Geri Dön

108 ÖRNEK I z – 2 + i I  I z + 1 I eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 2 + i I  I z + 1 I I x + iy – 2 + i I  I x + iy + 1 I ( x – 2 )2 + (y + 1)2  ( x +1 )2 + y2 x2 – 4x y2 + 2y + 1  x2 + 2x y2 – 4x + 2y + 5  2x + 1 ( 0 , 0 ) – 6 x + 2y  – 4 2/3 – 3x + y  – 2 – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

109 ÖRNEK I z + 3i I = I z – 3 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. y = – x ÇÖZÜM I x + iy + 3i I = I ( x + iy ) – 3I I x + i(y + 3) I =I x + iy – 3 I x2 + (y + 3)2 = ( x – 3 )2 + y2 x2 + y2 + 6y + 9 = x2 – 6x y2 y = – x Ana Sayfaya Geri Dön

110 ÖRNEK 2010 LYS I z + 2 I = I z – 1 I eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I ( x + iy ) + 2 I = I ( x + iy ) – 1 I I x iy I = I x – 1 + iy I x2 + 4x + 4 = x2 – 2x + 1 Ana Sayfaya Geri Dön

111 KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ
KARMAŞIK SAYI ÇEMBER İLİŞKİSİ Söz konusu ilişkiyi belirtmek için önce çemberi kısaca hatırlatmakta fayda var. TANIM a, b  R ve rR+ olmak üzere sabit bir M( a, b ) noktasına r kadar uzakta olan düzlemdeki bütün noktaların kümesine M( a, b ) merkezli r yarıçaplı çember denir. IPMI = r = ( x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 M( a, b ) P( x , y ) r r2 = ( x – x0)2 + (y – y0)2 Bu eşitlik, çemberin her noktası için sağladığından, çember denklemidir.O halde M( a, b ) merkezli, r yarıçaplı çember denklemi: r2 = ( x – a)2 + (y – b)2 Ana Sayfaya Geri Dön

112 Merkezi M( 0, 0 ), yarıçapı 6 birim olan çember denklemi: x2 + y2 = 36
ÖRNEK Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 2 birim olan çember denklemi: ( x – 2 )2 + (y – 3 )2 = 4 Merkezi M( – 1, 4 ), yarıçapı 5 birim olan çember denklemi: ( x + 1 )2 + (y – 4 )2 = 25 Merkezi M( 0, 0 ), yarıçapı 6 birim olan çember denklemi: x2 + y2 = 36 Denklemi:( x – 5 )2 + (y – 4 )2 = 9 M( , ), r = Denklemi:( x + 7 )2 + (y – 1 )2 = 16 M( , ), r = – Denklemi:( x + 1 )2 + (y + 3 )2 = 49 M( , ), r = –1 – Ana Sayfaya Geri Dön

113 ÖRNEK z = x + iy, z0 = a + ib ve rR+olmak üzere I z – z0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir.Gösteriniz. ÇÖZÜM  I x + iy – (a + ib) I = r I (x – a) + i( y – b) I = r ( x – a)2 + (y – b)2 = r ( x – a)2 + (y – b)2 = r2 Ana Sayfaya Geri Dön

114 ÖRNEK I z – (2 + 3i) I = 3 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – (2 + 3i) I = 3 I (x – 2) + i( y – 3) I = 3 Merkezi M( 2, 3 ), yarıçapı 3 birim olan çember denklemidir. (x – 2)2 + ( y – 3)2 = 9 2 3 M( 2,3 ) r = 3 I z – z0 I = r eşitliğinde z0'ın koordinatları çemberin merkezinin koordinatları olduğuna dikkat edin. Ana Sayfaya Geri Dön

115 ÖRNEK I z + 2 – 2i I = 1 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z + 2 – 2i I = 1 I z – ( – 2 + 2i ) I = 1 – 2 2 (– 2,2 ) 1 Merkezi M(– 2, 2 ), yarıçapı 1 birim olan çember denklemidir. (x + 2)2 + ( y – 2)2 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

116 Ters işaretli olduğuna dikkat ediniz.
ÖRNEK I z – 2 + 3i I = 4 eşitliğini sağlayan z = x+ iy karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Merkezi ( – 2, 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember B) Merkezi ( 2, 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember C) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember D) Merkezi ( 2, – 3 ) ve yarıçapı 2 birim olan çember E) Merkezi (– 2, – 3 ) ve yarıçapı 4 birim olan çember ÇÖZÜM  I z – 2 + 3i I = 4 Merkezi M( 2, – 3 ), r =4 Ters işaretli olduğuna dikkat ediniz. Ana Sayfaya Geri Dön

117 ÖRNEK I z + 3 – 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak gösterilmiştir? 3 4 ( 3,4 ) – 3 (–3,4 ) (– 3,4 ) – 4 (3, –4 )  I z + 3 – 4i I = 2 Merkezi M( – 3, 4 ), r =2 Ana Sayfaya Geri Dön

118 ÖRNEK Denklemi ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = 16 olan çember, zC olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 2 – i I = 4 B) I z + 2 – i I = 16 C) I z –2 + i I = 4 D) I z –2 + i I = 16 E) I z –2 – i I = 4 ÇÖZÜM Denklemi; ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = 16 olan çemberin M ( 2, – 1) ve r = 4 tür. Ana Sayfaya Geri Dön

119 x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çemberin M ( 0, 3) ve r = 3 tür.
ÖRNEK Denklemi x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çember, zC olmak üzere aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 3 i I = 3 B) I z – 3i I = 9 C) I z – 3 I = 3 D) I z + 3i I = 9 E) I z – 3i I = 3 ÇÖZÜM Denklemi; x2 + ( y – 3 )2 = 9 olan çemberin M ( 0, 3) ve r = 3 tür. Ana Sayfaya Geri Dön

120 ÖRNEK d 4 + 3i Yandaki karmaşık düzlemde, orijinden geçen d doğrusu ile x eksenine teğet olan çember verilmiştir.Çemberin merkez noktası 4+3i dir.Z sayısı çember ve d doğrusu üzerinde olduğuna göre I z I kaçtır? z 3 3 5 3 4 üçgeni ÇÖZÜM I z I = = 8 Ana Sayfaya Geri Dön

121 A) I z + 1 – 2i I = 3 B) I z – 1 +2i I = 3 C) I z – 1 + 2i I = 9
ÖRNEK w =1–2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayıların kümesi aşağıdaki eşitliklerden hangisi ile ifade edilir? A) I z + 1 – 2i I = 3 B) I z – 1 +2i I = 3 C) I z – 1 + 2i I = 9 ÇÖZÜM w = 1 – 2i karmaşık sayısına uzaklığı 3 br olan karmaşık sayı z olsun. – 2 1 I z – w I = 3 ise I z – ( 1 – 2i ) I = 3 I z – 1 + 2i I = 3 Ana Sayfaya Geri Dön

122 ÖRNEK I z –1+ i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının eşleniklerinin geometrik yerini bulunuz ve karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z –1 + i I = 1 Merkezi M( 1, – 1 ), r = 1 a+ib ve a – ib sayıları reel eksene (x eksenine) göre simetrik olduğundan bize sorulan geometrik gösterim yukarıda bahsedilen çemberin reel eksene göre simetriği olan (1,1) merkezli ve 1br yarıçaplı çemberdir. 1 – 1 Ana Sayfaya Geri Dön

123 Geometrik çözümü de siz yapınız.
ÖRNEK I z + 5 – 2i I = 2 ve I z – 3 + 4i I = 3 çemberleri arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM ( – 5, 2 ) x ( 3, – 4 ) M1 r = 2 r = 3 M2 IM1M2I = x + 5 = ( – 5 – 3 )2 + ( 2 – ( – 4 ) ) 2 x + 5 = 10 x = 5 Geometrik çözümü de siz yapınız. Ana Sayfaya Geri Dön

124 ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

125 Eşitlik halinde çember çözüme dahil edilir.
UYARI z = x + iy, z0 = a + ib ve rR+ olmak üzere a b a b a b I z – z0 I = r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çember belirtir. I z – z0 I < r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin içini temsil eder. I z – z0 I > r bağıntısını sağlayan z karmaşık sayıları, bu çemberin dışını temsil eder. Eşitlik halinde çember çözüme dahil edilir. Ana Sayfaya Geri Dön

126 ÖRNEK { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – 3 + 2i I = 2 Merkezi M( 3, – 2 ), r = 2 { z : I z – 3 + 2i I  2, z  C } kümesi, M( 3,– 2) ve r = 2 olan çember ile içinin bileşimidir. 3 – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

127 ÖRNEK { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  I z – 5 – 4i I = 3 Merkezi M( 5, 4 ), r = 3 { z : I z – 5 – 4i I > 3, z  C } kümesi, M( 5,4 ) ve r = 3 olan çemberin dış bölgesidir.Çemberin kendisi dahil değil. 4 5 Ana Sayfaya Geri Dön

128 ÖRNEK { z : 4  z.z  9, z  C } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM   z = x+ iy z = x – iy z .z = x2 + y2 O halde 4  x2 + y2  9 eşitsizliğini sağlayan (x, y) noktalarının kümesi, 4  x2 + y2 ve x2 + y2  9 eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin kesişimidir. 2 3 – 2 – 3 Ana Sayfaya Geri Dön

129 ÖRNEK 2  I z + 1 I < 3 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM  2  I z + 1 I < 3 2  I x + iy + 1 I < 3 –1 1 2 –3 –4 2  ( x + 1 )2 + y2 < 3 4  ( x + 1 )2 + y2 < 9 Eşitsizliği; merkezi (–1, 0 ), yarıçapı 2 br olan çember ve dış bölgesi ile merkezi (– 1, 0), yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesinin kesişimidir. Ana Sayfaya Geri Dön

130 ÖRNEK 2 < I z – 1 + 2i I  4 eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsünü düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM  2 < I z – 1 +2i I  4 2 < I z – ( 1 – 2i ) I  4 2 < I z –1+ 2i I  4 eşitsizliğinin merkezi ( 1, – 2 ), yarıçapları 2 ve 4 br olan çemberlerin arasında kalan bölgedir. ( 1,–2 ) Dahil Dahil değil Ana Sayfaya Geri Dön

131 ÖRNEK z = x + iy olmak üzere ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yer denklemini yazınız. ÇÖZÜM  ( z – 1 )( z + 1 ) = 2z + 8 z.z + z – z – 1 = 2z + 8 z.z = z + z + 9 x2 + y2 = x+iy + (x – iy)+9 x2 + y2 = 2x + 9 x2 – 2x + y2 = 9 ( x – 1 )2 – 1 + y2 = 9 ( x – 1 )2 + y2 = 10 Ana Sayfaya Geri Dön

132 ÖRNEK A = { zC: I z – 1 – i I > 1, I z – 1 – 2i I  2 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z – 1 – i I > 1 I z – 1 – 2i I  2 I z –1– i I > 1 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 1 ), yarıçapı 1 br olan çemberin dış bölgesidir. I z –1– 2i I  2 eşitsizliğinin merkezi ( 1, 2 ), yarıçapı 2 br olan çemberin kendisi ve iç bölgesidir. ( 1,1 ) ( 1,2 ) Ana Sayfaya Geri Dön

133 ÖRNEK A = { z C : I z I < 3, I z + 3i I > 3 } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM I z I < 3 I z + 3i I > 3 – 3 – 6 3 I z I < 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0,0 ) , yarıçapı 3 br olan çemberin iç bölgesidir. I z + 3i I > 3 eşitsizliğinin merkezi ( 0, – 3 ), yarıçapı 3 br olan çemberin dış bölgesidir. Ana Sayfaya Geri Dön

134 Şekle göre aranan en uzun mesafe IABI dir.
ÖRNEK I z I  2 olduğuna göre I z – 3 + 4i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI 2 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 2 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( 3 – 4i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( 3 – 4i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. 2 – 4 – 2 A 3 – 4i B O 3 2 Şekle göre aranan en uzun mesafe IABI dir. 2 3 IABI = I OA I + I OB I = = 7 3-4-5 üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

135 Şekle göre aranan en kısa uzaklık IABI dir.
ÖRNEK I z I  3 olduğuna göre I z + 4 – 3i I ifadesinin en küçük değeri kaçtır? ÇÖZÜM IzI 3 ifadesi merkezi orijin ve yarıçapı 3 birim olan çember ve iç bölgesini ifade eder. I z – ( – 4 + 3i ) I ifadesi ise çember ve iç bölgesi ile ( – 4 + 3i ) sayısı arası uzaklığı ifade eder. 3 – 4 – 3 A – 4 + 3i B O 2 3 Şekle göre aranan en kısa uzaklık IABI dir. IABI = I OA I – I OB I = 5 – 3 = 2 3-4-5 üçgeni Ana Sayfaya Geri Dön

136 ÖRNEK I z i I = 1 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları için I z – 2 – 6i I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM I z i I = 1 ifadesi merkezi ( -– 3, – 6 ) ve yarıçapı 1 birim olan çember ifade eder. I z – ( 2 + 6i ) I ifadesi z karmaşık sayısının 2+6i karmaşık sayısına uzaklığını gösterir. z = 2 + 6i 6 B 12 5 13 – 3 2 1 I AB I = = 14 – 6 1 A Ana Sayfaya Geri Dön

137 ARGÜMENT x y z = a +bi o a b  z = a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle pozitif yönde yaptığı açıya z karmaşık sayısının argümenti denir ve argz =  + 2k ( kZ ) biçiminde gösterilir. +2k açısının esas ölçüsüne de z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Argz =  biçiminde gösterilir. Ana Sayfaya Geri Dön

138 z = 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz.
ÖRNEK z = 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz. ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o 1 45° Argz = 45° Ana Sayfaya Geri Dön

139 z = – 1 + i sayısının esas argümentini bulunuz.
ÖRNEK z = – i sayısının esas argümentini bulunuz. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x Argz = 180° – 60° = 120° Ana Sayfaya Geri Dön

140 ÖRNEK 2011 LYS z ile z’nin eşleniği gösterildiğine göre z2 = z eşitliğini sağlayan ve argümenti π/2 ile π arasında olan sıfırdan farklı karmaşık sayı nedir? ÇÖZÜM z = x+iy olsun. Argümenti π/2 ile π arasında olan, sıfırdan farklı karmaşık sayı 2.bölgeye düşer.Yukarıda verilen eşitliği sağlayan, 2. bölgenin elemanı olan z karmaşık sayısını bulalım.  z2 = z ( x+iy )2 = x – iy x2 +2xyi – y2 = x – iy x2 – y2 = x 2xy = –y ( z1, 2.bölgede ) ( z2, 3.bölgede ) Ana Sayfaya Geri Dön

141 Ana Sayfaya Geri Dön

142 KUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR x y z = a +bi = ( a,b ) o a b  IzI=r z=a+bi sayısı verilsin.z karmaşık sayısının mutlak değeri ile argümentine bu sayının kutupsal koordinatları denir.( I z I,  ) veya ( r,  ) şeklinde gösterilir. Ana Sayfaya Geri Dön

143 z = 1 – i sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz.
ÖRNEK z = 1 – i sayısının kutupsal koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM z = 1 – i = ( 1, – 1 ) o – 1 1 45° Argz = 270° + 45° = 315° ve I z I = z = 1 – i = ( 1 , – 1 ) = ( , 315° ) ( kartezyen koordinatları) ( kutupsal koordinatları) Ana Sayfaya Geri Dön

144 Kutupsal koordinatları ( 2, ) olan karmaşık sayıyı yazınız. 4 3 ÇÖZÜM
ÖRNEK Kutupsal koordinatları ( 2, ) olan karmaşık sayıyı yazınız. 4 3 ÇÖZÜM 1 60° 2 z = – 1 – i Ana Sayfaya Geri Dön

145  ÖRNEK Arg( z – 2 – i ) = 225°olduğuna göre z karmaşık sayılarının
ÖRNEK Arg( z – 2 – i ) = 225°olduğuna göre z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z – 2 – i ) = 225° (  = 225° açısı III. bölgede olduğundan x – 2 < 0 ,y – 1 < 0 dır) Arg( x + iy – 2 – i ) = 225° –1 1 2 225° Arg(x – 2 + i(y–1)) = 225°  y = x –1 Ana Sayfaya Geri Dön

146 UYARI x, y  R olmak üzere z0 = x+ iy karmaşık sayısına karşılık gelen nokta A( x, y ) olsun. Arg( z – z0 ) = , 0   < 360° koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsü ]AB yarı doğrusudur.  A B Ana Sayfaya Geri Dön

147 ÖRNEK Arg( z + 1 – i ) =135° eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. ÇÖZÜM Arg( z + 1 – i ) =135° Arg( z – ( – 1 + i ) =135° –1 1 135° Ana Sayfaya Geri Dön

148 ÖRNEK Arg( z – i ) = 90°, Arg( z + 1 ) = 60° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayını yazınız. ÇÖZÜM  Arg( z – i ) = 90° Arg( z – ( 0 + i ) ) = 90°  Arg( z +1 ) = 60° Arg( z – (– i ) ) = 60° – 1 60° 1 z =? Ana Sayfaya Geri Dön

149 ÖRNEK 90°  Arg( z – 1 ) < 135° eşitliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM 90°  Arg( z – ( 1 + 0i ) ) < 135° y o 1 x 135° Ana Sayfaya Geri Dön

150   KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL ( TRİGONOMETRİK ) GÖSTERİMİ Cos =
KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL ( TRİGONOMETRİK ) GÖSTERİMİ x y z = a +bi o a b  r = IzI Cos = a I z I  a = IzI.Cos Sin = b I z I  b = IzI.Sin Tan = b a z = a+ib = IzI.Cos + i.IzI.Sin = IzI.[ Cos + iSin ] = IzI.[Cos(+2k)+iSin(+2k)] = IzI.Cis Ana Sayfaya Geri Dön

151 z = – 1 + i sayısının kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = – i sayısının kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 30° I z I = 2 x z = IzI.[ Cos + iSin ] z = 2.[Cos120° + iSin120°] z = 2.Cis120° Argz = 180° – 60° = 120° Ana Sayfaya Geri Dön

152 z = – 1– i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = – 1– i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 1 60° –1 I z I = 2 x 30° z = IzI.[ Cos + iSin ] z = 2.[Cos240° + iSin240°] z = 2.Cis240° Argz = 180° + 60° = 240° Ana Sayfaya Geri Dön

153 z = 4 – 4i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = 4 – 4i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y 45° – 4 x 4 z = IzI.[ Cos + iSin ] z = [Cos315° + iSin315°] z = Cis315° Argz = 270° + 45° = 315° Ana Sayfaya Geri Dön

154 z = 5i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = 5i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x 5 z = 5( Cos90°+ iSin90°) = 5Cis90° Ana Sayfaya Geri Dön

155 z = – 3i sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = – 3i sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x – 3 z = 3( Cos270°+ iSin270°) =3Cis270° Ana Sayfaya Geri Dön

156 z = 8 sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = 8 sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM y x 8 z = 8( Cos0°+ iSin0°) = 8Cis0° Ana Sayfaya Geri Dön

157 z = 6( Cos210°+ iSin210°) sayısını standart biçimde yazınız.
ÖRNEK z = 6( Cos210°+ iSin210°) sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM – 1 ÇÖZÜM – 2 Geometrik Çözüm z = 6( Cos210° + iSin210 ) y o 3 30° –3 I z I = 6 x 60° z = 6( – Cos30° – iSin30° ) z = 6( – – i ) 1 2 3 z = – – 3i 3 Ana Sayfaya Geri Dön

158 sayısını standart biçimde yazınız.
ÖRNEK z = Cis( ) 4 3 sayısını standart biçimde yazınız. ÇÖZÜM y o 4 45° –4 x z = – 4+ 4i Ana Sayfaya Geri Dön

159 z = 1+ i sayısının kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK 2010 LYS z = i sayısının kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM x y o 1  IzI = 2 Argz = 60° z = 2( Cos60°+ iSin60° ) Ana Sayfaya Geri Dön

160 (2, 200°) = ( IzI,  ) olduğundan I z I = 2 ve Arg(z) = 200° dir.
ÖRNEK Kutupsal koordinatları ( 2, 200°) olan z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM (2, 200°) = ( IzI,  ) olduğundan I z I = 2 ve Arg(z) = 200° dir. z = 2(Cos200°+iSin200°) = 2Cis200° Ana Sayfaya Geri Dön

161  ÖRNEK z = 5 +12i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM
ÖRNEK z = 5 +12i karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM I z I = 13 = 2 12 5 + tan = 5 12  5 12 Arctan( tan ) = Arctan ( )  = Arctan ( ) 5 12 5 12 z = i = 13Cis( Arctan ) Ana Sayfaya Geri Dön

162  HATIRLATMA 180° –  180° +  360°– 
HATIRLATMA Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant değerleri pozitiftir Sinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir 180° –   Sınıf Bütün Kara Tahtada Kotanjant ve Tanjant değeleri pozitif, diğerleri negatiftir 180° +  360°–  Coşar Kosinüs değeri pozitif, diğerleri negatiftir Sin230° = Sin(180°+ 50°) = – Sin50° Sin165° ° = sin(180° – 15°) = Sin15 Cos340° = Cos (360°– 20) = Cos20° Ana Sayfaya Geri Dön

163 ÖRNEK Aşağıda verilen karmaşık sayıların esas argümentlerini bulunuz. A) z1 = Cos2009° + iSin2009° 0   < 360° olduğundan 2009°  209° (mod 360°) z1 = Cos209° + iSin209° Arg( z1 ) = 209° olur. X B) z2 = Cos37° + iCos53° z = IzI.[ Cos + iSin ] z2 = Cos37° + iSin37° Arg( z2 ) = 37° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

164 X C) z3 = 6( Sin5° + iCos5°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan
X C) z3 = 6( Sin5° + iCos5°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan z3 = 6( Cos85° + iSin85°) olur. Arg( z3 ) = 85° olur. 2.yol tan = Cos5° sin5° = Cot5° = tan85°  = 85° 6 Sin5° > 0 ve 6Cos5° > 0 olduğundan z3 birinci bölgededir. Arg( z3 ) = 85° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

165 X D) z4 = 4( Sin160° + iCos340°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan
X D) z4 = 4( Sin160° + iCos340°) z = IzI.[ Cos + iSin ] olduğundan Sin160° = Sin20° Cos340° = Cos20° z4 = 4( Sin20° + iCos20°) z4 = 4( Cos70° + iSin70°) Arg( z4 ) = 70° olur. 2.yol tan = 4cos340° 4sin160° cos20° sin20° = = cot20° = tan70°  = 70° 4 Sin160° > 0 ve 4Cos340° > 0 olduğundan z4 ,birinci bölgededir. Arg( z4 ) = 70° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

166 E) z5 = Cos50° + iSin230° = Cos50° – iSin50°
E) z5 = Cos50° + iSin230° Sin230° = Sin( 180° + 50° ) = – Sin50° = Cos50° – iSin50° = Cos( – 50°) + iSin( – 50° ) = Cos( 310°) + iSin( 310° ) Arg( z5 ) = 310° olur 2.yol tan = sin230° cos50° – sin50° Cos50° = = tan50°  = 50° Cos50° > 0 ve sin230° < 0 olduğundan z5 dördüncü bölgededir. Arg( z5 ) = 360°– 50° = 310° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

167 X F) z6 = 7( – Cos15° + iSin15° ) z6 = 7(Cos165° + iSin165° )
X F) z6 = 7( – Cos15° + iSin15° ) z = IzI.[ Cos + iSin ] –7 Cos15° < 0 ve 7Sin15° > 0 olduğundan z6 ikinci bölgededir. z6 = 7(Cos165° + iSin165° ) Sin165° = sin( 180° – 15° ) = Sin15° Cos165° = Cos(180 – 15 ) = – Cos15° Arg( z6 ) = 165° olur 2.yol tan = 7sin15° – 7cos15° = tan15°  = 15° –7 Cos15° < 0 ve 7Sin15° > 0 olduğundan z6,ikinci bölgededir. Arg( z6 ) = 180°– 15° = 165° olur. Ana Sayfaya Geri Dön

168 G) z7 = – 3( Sin66° + iCos66°) – 3cos66° tan = = cot66 = tan24°
G) z7 = – 3( Sin66° + iCos66°) – 3cos66° tan = = cot66 = tan24° – 3sin66°  = 24° –7 Cos24° < 0 ve – 3Sin24° < 0 olduğundan z7 , 3. bölgededir. Arg( z7 ) = 180° + 24° = 204° olur Ana Sayfaya Geri Dön

169 H) z8 = Cos40°– iSin40° – sin40° tan = = tan40° cos40°  = 40°
H) z8 = Cos40°– iSin40° tan = – sin40° cos40° = tan40°  = 40° Cos40° > 0 ve –Sin40° < 0 olduğundan z8 , 4. bölgededir. Arg( z8 ) = 360° – 40° = 320° olur Ana Sayfaya Geri Dön

170 J) z9 = Sin50° + iCos310° tan = cos310° sin50° = cot50° = tan40
J) z9 = Sin50° + iCos310° tan = cos310° sin50° = cot50° = tan40  = 40° cos50° = Sin50° > 0 ve cos310° > 0 olduğundan z8 , 1. bölgededir. Arg( z8 ) = 40° olur Ana Sayfaya Geri Dön

171 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 1 z = Sin70° + i( 1+ 2Cos235° – 1 ) Cos2a = 2Cos2a – 1 z = Sin70°+ i2Cos235° z = 2Sin35°.Cos35° + i2Cos235° z = 2Cos35°.[ Sin35° + iCos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

172 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 tan = 1+ cos70° sin70° 1+2cos235°– 1 2sin35°.cos35° = Cos2a = 2Cos2a – 1 2cos235° 2sin35°.cos35° = cos35° = = cot35° = tan55 sin35° Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

173 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 3 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° i z1 z2 Iz1I = 1 Iz2I = 1 20° 35° = i + Cos20°+ iSin20° z1 z2 Argz = Arg( z1+z2 ) = 20°+35°= 55° I z2 I = I Cos20°+ iSin20° I = 1 Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır. Ana Sayfaya Geri Dön

174 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 4 z = Sin70° + i( 1+ Cos70°) = i + Sin70°+ iCos70° z = i + cos20° + iSin20° z = Cos90° + iSin90° + cos20°+ iSin20° z = Cos90°+cos20° + i[ Sin90°+Sin20° ] z = 2Cos55°.Cos35° + i[ 2Sin55°.Cos35° ] z = 2Cos35°.[ Cos55° + iSin55° ] IzI Argz = 55° Ana Sayfaya Geri Dön

175 z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM- 1 z = 1+ 2Cos226 – 1+ i2Sin26°.Cos26° Cos2a = 2Cos2a – 1 Sin2a = 2SinaCosa z = 2Cos226 + i2Sin26°.Cos26° z = 2Cos26 [ Cos26° + iSin26° ] IzI Argz = 26° ( Sorunun geometrik çözümü öğrenciye bırakılmıştır.) Ana Sayfaya Geri Dön

176 z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir?
ÖRNEK z = 1+ Cos52° + iSin52° ise Argz kaç derecedir? ÇÖZÜM – 2 tan = sin52° 1+cos52° 1+2cos226°– 1 2sin26°.cos26° = Cos2a = 2Cos2a – 1 Sin2a = 2SinaCosa 2cos226° 2sin26°.cos26° = sin26° = cos26° = tan26 Argz = 26° Ana Sayfaya Geri Dön

177 ÖRNEK I z + 4i I = 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından esas argümenti en küçük olanın esas argümenti kaç derecedir? ÇÖZÜM I z + 4i I = 2 eşitliğinden M( 0,– 4 ) ve r = 2 br olan çember elde edilir. z karmaşık sayıları şekildeki çember üzerindedir.Bu sayılar içinde argümenti en küçük olan T değme noktasındaki sayıdır. 30° – 2 Neden 30° T 2 – 4 Argz = 270° – 30° = 240° – 6 Ana Sayfaya Geri Dön

178 UYARI  –  IzI 2–  z z ile z karmaşık sayılarının reel eksene göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –  z Ana Sayfaya Geri Dön

179 Arg( z ) =   Arg( – z ) =  + 
UYARI z – z   +  z ile –z karmaşık sayılarının orijine göre simetrik olduklarını ve modüllerinin eşit olduğunu biliyoruz Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +  Ana Sayfaya Geri Dön

180 z = 3Cis205° ise Arg( z ) kaç derecedir?
ÖRNEK z = 3Cis205° ise Arg( z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( z ) = 2 –  Arg( z ) = 360° – 205° = 155° Ana Sayfaya Geri Dön

181  ÖRNEK z = Cos40°+ iSin40° ise Arg( – z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM
ÖRNEK z = Cos40°+ iSin40° ise Arg( – z ) kaç derecedir? ÇÖZÜM z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( z ) = 2 –  z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg( –z ) =  +   Arg( z ) = 360 – 40 Arg( z ) = 320° Arg( –z ) = 180° + 320° = 500° Esas argüment [ 0, 360° ) arasında olmak zorundadır. Arg( –z ) = 500°– 360° = 140° Ana Sayfaya Geri Dön

182 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1 – TOPLAMA – ÇIKARMA Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık sayıyı toplar veya çıkarırken esas argümentlere bakılır.Esas argümentleri kolayca bulunabilen 30,45,60,…gibi açılar ise sayılar standart biçime çevirilir sonra toplama veya çıkarma yapılır. Esas argümentlerin trigonometrik değerleri kolayca bulunamıyorsa modüllere bakılır.Modüler eşit ise trigonometrik dönüşüm formülleri ya da geometrik çözüm kullanılır.Modüller eşit değilse geometrik çözüme başvurulur. Bazı durumlarda geometrik çözüm bizim için en ideal çözüm olacaktır. Ana Sayfaya Geri Dön

183 z1 = 4( Cos30° + iSin30°) = 4 ( ) = + 2i 3 2
ÖRNEK z1 = 4( Cos30° + iSin30°), z2 = ( Cos135°+ isin135°) karmaşık sayıları için z1+z2 = ? 2 ÇÖZÜM z1 = 4( Cos30° + iSin30°) = 4 ( ) = i 3 2 z2 = ( Cos135°+ isin135°) = ( ) = – 2 + 2i 2 + z1 + z2 = – 2 + 4i 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

184 I z1 I = 2 = Iz2 I olduğundan dönüşüm formülleri kullanılabilir.
ÖRNEK z1 = 2( Cos20° + iSin20°), z2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z1+z2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 1 I z1 I = 2 = Iz2 I olduğundan dönüşüm formülleri kullanılabilir. z1 + z2= 2( Cos20° + iSin20°) + 2( Cos80°+ isin80°) z1 + z2= 2 [ ( Cos20° + Cos80°) + i( Sin20°+ sin80°) z1 + z2= 2 [ 2Cos50°Cos30°) + i( 2Sin50Cos30°) z1 + z2= 2.2Cos30°.[ Cos50°+ iSin50 ] z1 + z2 = Cis50° 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

185 ÖRNEK z1 = 2( Cos20° + iSin20°), z2 =2( Cos80°+ isin80°) karmaşık sayıları için z1+z2 işlemini kutupsal biçimde yazın. ÇÖZÜM – 2 Z2 Z1 Z1 + Z2 B A C 20° 60° 30° 2 z1 + z2 = Cis50° 3 2 Ana Sayfaya Geri Dön

186 ÖRNEK z1 = Cis33°, z2 = Cis153° I z1 – z2 I = ? ÇÖZÜM I z1 – z2 I =
ÖRNEK z1 = Cis33°, z2 = Cis153° I z1 – z2 I = ? ÇÖZÜM I z1 – z2 I = I z1 – z2 I I z1 – z2 I ifadesinin karmaşık düzlemde z1 ve z2 arasındaki uzaklık belirttiğini hatırlayalım. 1 z1 z2 33° 120° I z1 – z2 I = Ana Sayfaya Geri Dön

187 ÖRNEK z1 = 4Cis40°, z2 = 3Cis130° karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz. ÇÖZÜM 3 4 z1 z2 40° 90° I z1 – z2 I = 5 Ana Sayfaya Geri Dön

188 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – ÇARPMA z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun. z1.z2 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ) . I z2 I( Cos2 + iSin2 ) = Iz1IIz2I[(cos1cos2–sin1sin2)+i[sin1Cos2+ cos1Sin2 )] = Iz1IIz2I[ ( cos (1+ 2 ) + i [ ( sin (1+2 ) ] Ana Sayfaya Geri Dön

189 KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
KUTUPSAL BİÇİMDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 2 – BÖLME z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun. I z1 I( Cos1 + iSin1 ) = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) z1 z2 I z1 I( Cos1 + iSin1 ) = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) ( Cos2 – iSin2 ) … I z1 I = I z2 I z1 z2 ( cos (1 – 2 ) + i [ ( sin (1 – 2 ) ] Ana Sayfaya Geri Dön

190 z karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız.
cos70° ÖRNEK sin15° z = 4( sin20° + iSin70°) 2(cos15° + icos75°) ( cos10° + isin10°) olduğuna göre z karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = 4( cos70° + isin70°) 2( cos15° + isin15°) ( cos10° + isin10°) = 4cis70° 2cis(15° + 10) = 4cis70° 2cis25° = 2cis ( 70°– 25° ) = 2cis45° = 2 ( ) = Ana Sayfaya Geri Dön

191 olduğuna z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız.
ÖRNEK z = –2i cos20°– isin20° olduğuna z karmaşık sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM z = 2( cos270 + isin270 ) cos340°+ isin340°  = 20° Cos20° > 0 ve –Sin20° < 0 olduğundan z8 , 4. bölgedir. cos20°– isin20° sayısının argümenti 340° dir tan = – sin20° cos20° = tan20° = 2cis ( 270° – 340° ) = 2cis (– 70° ) = 2cis290° Ana Sayfaya Geri Dön

192 karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız.
ÖRNEK 2009 MAT-2 z = cos75° + isin75° cos15°+ isin15° karmaşık sayısını a +ib biçiminde yazınız. ÇÖZÜM z = cos75 + isin75 cos15°+ isin15° = cos(75° – 15°) + isin(75° – 15°) = cos60°+ isin60° Ana Sayfaya Geri Dön

193 ÖRNEK A( z1) B( z2) x y Yandaki şekilde z1 ve z2 karmaşık sayılarının düzlemdeki görüntüsü verilmiştir.I z1 I = I z2 I ve m(AOB) = 90° olduğuna göre, z1 z2 = ?  90° –   ÇÖZÜM = 1 2 z I z I.Cis(  ) = Cis(  –  ) = Cis( 270 ) I z I.Cis(  ) = – i Ana Sayfaya Geri Dön

194 ÖRNEK z = 3Cis50° olduğuna göre z-1 sayısını kutupsal biçimde yazınız. ÇÖZÜM 1 1 cis0° 1 z-1 = = = = cis ( 0 – 50° ) z 3 3cis50° 3cis50° 1 = cis ( – 50° ) 3 1 = cis310° 3 Ana Sayfaya Geri Dön

195 BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ
BİR KARMAŞIK SAYININ ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ rR+, 0° <  < 360° olmak üzere z=r.Cis karmaşık sayısının karmaşık düzlemde başlangıç noktası(orijin) etrafında pozitif yönde  kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karmaşık sayıyı bulalım. z =r.Cis r z' =r.Cis(+)   Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =r.Cis(  + ) veya z' = r.(Cis) .(cis ) = z.Cis Negatif yönde  kadar dönmesi z' =z.Cis(– ) anlamına gelir. Ana Sayfaya Geri Dön

196 ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 4 z' 120° 2 60° –2 30° z =4.Cis20 4 z' 20° 100° z' = 4Cis120 z' = – i Ana Sayfaya Geri Dön

197 ÖRNEK z = 4(Cos20°+iSin20°) karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 100° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis  z' = z.Cis100° z' = 4Cis20°.Cis100° z' = 4Cis120° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) 4 z' 120° 2 60° –2 30° z' = – i Ana Sayfaya Geri Dön

198 ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 1 42° z =2.Cis222° 2 2 42° z' = –2 Ana Sayfaya Geri Dön

199 ÖRNEK z=2(Cos222°+iSin222°) karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde 42° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM – 2 Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis  z' = z.Cis( – 42°) z' = 2Cis222°.Cis( – 42° ) z' = 2Cis180° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) x -2 y 180° z' = 2Cis180° z' = – 2 Ana Sayfaya Geri Dön

200 ÖRNEK z= 1 + i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 75° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM x y z = 1 + i = ( 1, 1 ) o 1 45° Elde edilen yeni karmaşık sayıyı z' ile gösterirsek z' =rCis(  + ) veya z' = r(Cis) .(cis ) = z.Cis z' = z.Cis75° z' = Cis45°.Cis75° ( Çarpmada açılar toplanırdı. ) z' = Cis120° z' = z = Cis45° Ana Sayfaya Geri Dön

201 ÖRNEK z= 3+4i karmaşık sayısının orijin etrafında, pozitif yönde 90° döndürülmesi ile oluşan sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM Arg(z) değerini bilmediğimizden ve geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis yı kullanmak daha doğru olacaktır.  z' = z.Cis90° z' = ( 3 + 4i ).Cis90° z' = ( 3 + 4i ).(0 + i ) z' = 3i + 4i2 z' = – 4 + 3i Ana Sayfaya Geri Dön

202 ÖRNEK z = 3 + 5i karmaşık sayısı orijin etrafında, pozitif yönde en az kaç derece döndürülürse (– 5+3i ) sayısı elde edilir? ÇÖZÜM Arg(z) değerini bilmediğimizden geometrik çözüm zor olacağından z' = z.Cis yı kullanmak daha doğru olacaktır, z' = z.Cis  – 5 + 3i = ( 3 + 5i ).Cis Cis = – 5 + 3i 3 + 5i Cis = i  Cis = Cis90°  = 90° Ana Sayfaya Geri Dön

203 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE KURALI )
BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ ( DE MOİVRE KURALI ) Bir z karmaşık sayısının herhangi bir tam kuvvetini hesaplamak için z’yi kutupsal biçimde yazmak kolaylık sağlar. r R+, 0   360° olmak üzere z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; z = r.Cis olsun. z2 = z.z = r.Cis.r.Cis = r2.Cis2 z3 = z2.z = r2.Cis2. r.Cis = r3Cis3 z4 = z3.z = r3.Cis3. r.Cis = r4Cis4 … zn = rnCis ( n ) Bu son eşitlik De Moivre Kuralı olarak adlandırılır. Ana Sayfaya Geri Dön

204  ÖRNEK z = cis18° olduğuna göre z20 sayısının reel kısmı kaçtır?
ÖRNEK z = cis18° olduğuna göre z20 sayısının reel kısmı kaçtır? ÇÖZÜM  z = cis18° z20 = cis( 20.18°) z20 = cis360° z20 = cos360° + isin360° z20 = 1 + i.0 z20 = 1 Re( z20 ) = 1 Ana Sayfaya Geri Dön

205  ÖRNEK z=3cis20° olduğuna göre z30 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM
ÖRNEK z=3cis20° olduğuna göre z30 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM  z = 3cis20° z30 = 330.cis( 30.20°) z30 = 330cis600° ; cis600° = cis240°( esas ölçü ) z30 = 330.cis240° ; cis240° = cos240° + isin240° z30 =330. ÷ ø ö ç è æ – i 2 3 1 Ana Sayfaya Geri Dön

206  ÖRNEK ( 1 + i )10 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM
ÖRNEK ( i )10 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM sayısının birinci bölgede olduğu âşikârdır. ( i ) sayısını kutupsal biçimde yazalım. ( i ) tan = 1   =60° I ( i ) I = 2 ( i )10 = ( 2cis60° )10 = 210cis(10.60°) = 210.cis600° = 210.cis240° =210. = – 29.( ) Ana Sayfaya Geri Dön

207 ÖRNEK 2012-LYS Ana Sayfaya Geri Dön

208 işleminin en sade halini yazınız.
ÖRNEK işleminin en sade halini yazınız. 2 5 27 4 π cis 3 1 9 11 ÷ ø ö ç è æ ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön

209  ÖRNEK z=2cis25°olduğuna göre z–41 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM
ÖRNEK z=2cis25°olduğuna göre z–41 sayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM  z = 2cis25° z– 41 = 2–41.cis( – °) = 2–41.cis( –1025°) = 2–41.cis55° Ana Sayfaya Geri Dön

210 ? UYARI Argz =   Arg( z-1 ) = 2 –  MİNNACIK BİR İSPAT
UYARI ? Argz =   Arg( z-1 ) = 2 –  MİNNACIK BİR İSPAT z = r.cis = r.( cos + isin ) olsun z-1 = r–1 cis ( –  ) = r–1 cis ( 2 –  ) olup Arg( z-1 ) = 2 –  dır. Ana Sayfaya Geri Dön

211 z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun.
SONUÇLAR z1 = I z1 I( Cos1 + iSin1 ), z2 = I z2 I( Cos2 + iSin2 ) olsun.  Arg ( z1 . z2 ) = Arg( z1 ) + Arg( z2 ) = 1 + 2 z1 z2 Arg[ ] = Arg( z1 ) – Arg( z2 ) = 1 – 2  Arg ( zn ) = n.Arg( z ) = n   Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –   Arg( z ) =   Arg( – z ) =  +   Arg( z ) =   Arg( z-1 ) = 2 –  Ana Sayfaya Geri Dön

212 karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz.
ÖRNEK karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının ÇÖZÜM z1 z2 Arg[ ] = Arg( z1 ) – Arg( z2 ) = 1 – 2 Argümenti 270 olan bir karmaşık sayının reel kısmı 0 ve sanal kısmı 0 dan küçük olduğundan Buradan x2+y2 =1 ve y > 0 bulunur. Ana Sayfaya Geri Dön

213 ÖRNEK Arg(z1.z2) = 40°, Arg( z2.z3 ) = 60°, Arg(z1.z3) = 50° olduğuna göre Arg( z1z2z3 ) değeri kaçtır? ÇÖZÜM Arg(z1) =  olsun. Arg(z1.z2) = 40° ise  +  = 40° Arg(z2) =  olsun. Arg(z2.z3) = 60° ise  +  = 60° Arg(z3) =  olsun. Arg(z1.z3) = 50° ise  +  = 50° + 2( +  +  ) = 150° ( +  +  ) = 75° Arg( z1.z2.z3 ) =  +  +  = 75° Ana Sayfaya Geri Dön

214 ÖRNEK Yandaki şekle göre z1.z2 ( z3 )2 Arg[ ] = ? ÇÖZÜM z1.z2 Arg[ ] =
ÖRNEK 15° 20° 10° Yandaki şekle göre z1.z2 ( z3 )2 Arg[ ] = ? z2 z1 z3 ÇÖZÜM z1.z2 Arg[ ] = Arg(z1.z2) – Arg(z3)2 = 1 + 2 – 23 ( z3 )2 = 15° + 160° – 2.260° = – 345° = 15° Ana Sayfaya Geri Dön

215 ÖRNEK Arg( z20 ) = 200°, IzI=1 olduğuna göre z30 sayısının imajiner kısmı kaçtır? ÇÖZÜM 30° 1 Arg ( zn ) = n.Arg( z ) = n Arg ( z20 ) = 20.Arg( z ) = 20 = 200°  = 10° z30 = 130.cis( 30.10°) = cis300° z = İm( z30 ) = Ana Sayfaya Geri Dön

216 z1 = – i , z2 = 1 + i olduğuna göre Arg( z1z2 )kaç radyandır?
ÖRNEK 2 z1 = – i , z2 = 1 + i olduğuna göre Arg( z1z2 )kaç radyandır? ÇÖZÜM Arg ( z1 ) = 270° Arg ( z2 ) = 45° Arg( z1z2 ) = 2 Arg( z1 ) + Arg( z2 ) Arg( z ) =   Arg( z ) = 2 –  Arg( z1 ) + Arg( z2 ) 2. = = 90° ° =180° =  Ana Sayfaya Geri Dön

217 z = Cos + iSin ise Arg( z-1 ) kaç radyandır? 4 3 ÇÖZÜM
ÖRNEK z = Cos iSin ise Arg( z-1 ) kaç radyandır? 4 3 ÇÖZÜM 2 – 4 3 2 3 Arg( z-1 ) = = z = I z I( Cos + iSin ) ise Arg(z-1) = 2 –  Ana Sayfaya Geri Dön

218 BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ
BİR KARMAŞIK SAYININ n. DERECEDEN KÖKLERİ z,wC ve nZ+ olmak üzere zn = w eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının her birine w karmaşık sayısının n.dereceden bir kökü denir. zn = w = I z I.Cis(  ) = I z I.Cis(  + 2k ) sayısının n.dereceden kökleri, zk = Cis( )  + 2k n z  0 olmak üzere zn = w eşitliğini sağlayan birbirinden farklı n tane kök vardır. Bu kökler karmaşık düzlemde, merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu birim olan çemberin üzerinde eşit aralıklarla ( 2/ n radyanlık açı farkıyla ) sıralanır. Ana Sayfaya Geri Dön

219 ÖRNEK z3 = 8i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının küp köklerini bulunuz. ÇÖZÜM z3 = 8i = 8Cis90° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 120°dir.O halde, z0 = Cis( ) 3 90 z0 z2 z1 30° 120° = 2Cis30° = i z1= 2Cis150° = – i z2= 2Cis270° = – 2i z0,z1,z2 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 120° olacak şekilde sıralanır.Bu üç kök bir eşkenar üçgenin köşeleridir. Ana Sayfaya Geri Dön

220 ° ÖRNEK z4 = – 16 eşitliğini sağlayan kökleri bulunuz. ÇÖZÜM
ÖRNEK z4 = – 16 eşitliğini sağlayan kökleri bulunuz. ÇÖZÜM z4 = – 16 = 16Cis180° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir.O halde, z0 = Cis( ) 4 180 = 2Cis45° = i z0 z2 z1 z3 45° 90° z1= 2Cis135° = – i z2= 2Cis225° = – – i z3= 2Cis315° = – i z0, z1, z2, z3 kökleri, yarıçapı 2 birim olan bir çember üzerinde argümentleri arasındaki fark 90° olacak şekilde sıralanır.Bu dört kök bir karenin köşeleridir. Ana Sayfaya Geri Dön

221 ÖRNEK z5 = 32Cis50° olduğuna göre z’ nin alabileceği değerleri bulalım ve karmaşık düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM z5 = 32Cis50° Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 72° dir.O halde, z0 = Cis( ) 5 50 z0 z3 z2 z4 z1 2 = 2Cis10° z1= 2Cis (10°+ 72° ) = 2Cis82° z2= 2Cis ( 82°+72° ) = 2Cis154° z3= 2Cis (154°+72°) = 2Cis226° z4= 2Cis (226°+72°) = 2Cis298° Ana Sayfaya Geri Dön

222 sayısının karekökleri bulunuz. z2 = 2 + 2 i
ÖRNEK sayısının karekökleri bulunuz. z2 = i ÇÖZÜM z2 = i = 4cis60° (Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180° dir.) z0= 2Cis30° = + i z1= 2Cis210° = – – i Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler, orijine göre simetriktir.Yani; z0= – z1 Ana Sayfaya Geri Dön

223 xxxxxxxx  ÖRNEK karmaşık sayısı için, olduğuna göre,IzI kaçtır? ÇÖZÜM
ÖRNEK karmaşık sayısı için, olduğuna göre,IzI kaçtır? ÇÖZÜM w2 = 2i =2cis90 xxxxxxxx w0= Cis45° = 1 + i w1= Cis225° = – ( 1 + i )  Ana Sayfaya Geri Dön

224 ÖRNEK 2008 z1 ve z2 karmaşık sayıları z2 = i denkleminin kökleridir Karmaşık düzlemde z1 ve z2 noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM z2 = i =cis90 z2= – z1 Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 180°olduğundan karekökler,orijine göre simetriktir.Yani;  z1= Cis45° I z1 I = 1  z2= Cis225° I z2 I = 1 I z1 – z2 I = 2 Ana Sayfaya Geri Dön

225 z4= 6 – 8i karmaşık sayısının kökleri A, B, C ve D noktalarıdır.
ÖRNEK z4= 6 – 8i karmaşık sayısının kökleri A, B, C ve D noktalarıdır. Bu köklerin karmaşık düzlemde oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı kaç br2 dir? ÇÖZÜM I z4 I = I 6 – 8i I A B C D3 I z I4 = 10 4 10 I z I = Ardışık kökler arasındaki açı artış miktarı 90° dir. O halde köşegen uzunluğu olan karenin alanı 4 10, 2 Ana Sayfaya Geri Dön

226 z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.
ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i sayısını kutupsal biçimde yazmakta zorlandığımızdan aşağıdaki yöntemi kullanmak gerekmektedir. z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.Yani; w2 = 3 + 4i  < 0 ( Reel kök yok ) ( x + iy )2 = 3 + 4i ( x,y R ) (x2 – 4)(x2 + 1) = 0 x2 + 2ixy – y2 = 3 +4i x =  2 2xy = 4 x2– y2 = 3 x = 2 ise y = 1 olup w1 = 2 + i y = x =– 2 ise y = –1, w2 = –2 – i x4 – 3x2 – 4 = 0 Ana Sayfaya Geri Dön

227 UYARI 1) İm( z ) = y > 0 ise 2) İm( z ) = y < 0 ise
UYARI x,y  R olmak üzere z = x+iy sayısını kutupsal biçime çevirmek bazen kolay olmayabilir.Böyle bir durumda z karmaşık sayısının kare köklerini bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz: z = x+iy sayısının karekökleri z0 ve z1 olmak üzere, 1) İm( z ) = y > 0 ise 2) İm( z ) = y < 0 ise Ana Sayfaya Geri Dön

228 z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.
ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM I z I = 5 z0 = 2 + i z1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

229 Benzer olarak ( x – 2 ) karmaşık sayısının kökleri de
UYARI xR , yR– olmak üzere ( x ) karmaşık sayısının karekökleri pratik olarak şu şekilde de bulunabilir. y = m.n ve x = m + n olacak şekilde m, nR varsa karekökler  ( ) karmaşık sayılarıdır. Benzer olarak ( x – ) karmaşık sayısının kökleri de ( ) karmaşık sayılarıdır. Ana Sayfaya Geri Dön

230 z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz.
ÖRNEK z = 3 + 4i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 3 + 4i = 3 + 2 4 – 1 z0 = 2 + i z1 = –2 – i Ana Sayfaya Geri Dön

231 z = 5 – 12i sayısının kareköklerini bulunuz.
ÖRNEK z = 5 – 12i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 5 – 12i = 5 – 2 9 – 4 z0 = –3 + 2i z1 = 3 – 2i Ana Sayfaya Geri Dön

232 z = 7 – 24i sayısının kareköklerini bulunuz.
ÖRNEK z = 7 – 24i sayısının kareköklerini bulunuz. ÇÖZÜM z = 7 – 24i = 7 – 2 16 – 9 z0 = – 4 + 3i z1 = 4 – 3i Ana Sayfaya Geri Dön

233 2) z0, z1 başlangıç noktasına (orijine ) göre simetriktir.Yani;
UYARI z, w, z0, z1C olmak üzere z2 = w eşitliğini sağlayan sayılar z0, z1 ise 1) z0,z1 karmaşık sayıları w karmaşık sayısının karekökleridir.Yani, z0 = w ve z1 = w 2) z0, z1 başlangıç noktasına (orijine ) göre simetriktir.Yani; z0 = – z1 3) Karekökler çarpımı = z0.z1 = – z1 = w 4) Kökler toplamı sıfırdır. 2 Ana Sayfaya Geri Dön

234 zn = a+ bi eşitliğini sağlayan kökler toplamı sıfırdır.
UYARI zn = a+ bi eşitliğini sağlayan kökler toplamı sıfırdır. ÖRNEK z2 + 5 – 8i = 0 denkleminin kökleri z1 ve z2’dir.Buna göre z1z2 – z1 – z2 ifadesinin sonucu nedir? ÇÖZÜM z2 = – 5 + 8i z1z2 = – z2 = 5 – 8i z1+z2 = 0 olup z1z2 – z1 – z2 = z1z2 – ( z1+z2 ) = 5 – 8i Ana Sayfaya Geri Dön

235 1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK
KAYNAKÇA : 1- MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 2- ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3- MEB 11.SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4- BİREY YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 5- KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6- İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7- KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8- FEM YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 9- AÇI YAYINLARI 11.SINIF MATEMATİK 10- UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11- FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12- SINAV DERGİSİ 13-ZİHİNSEL MATEMATİK ( MEGA HAFIZA EĞİTİM MERKEZİ ) Ana Sayfaya Geri Dön