Diferansiyel Denklemler

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Bölüm Giriş 1.2. Diferansiyel denklem biçimleri tipi

2 KAYNAKLAR Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları. Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Ders Kitapları Yayınları No: 14. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John Wiley & Sons, Inc. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.

3 KAYNAKLAR Er, U. (1985). Uygulamalı Diferansiyel Denklemler. Anadolu Üniversitesi. Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd. Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company. Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace Transforms. Schaum Publishing Company.

4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.1. Giriş Bu bölümde diferansiyel denklem kavramı açıklanacak ve konuya açıklık getirmek amacıyla bilinen bir örnek ele alınacak ve bu örnek yardımıyla diferansiyel denklem oluşturulması sağlanacaktır.

5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.2. Diferansiyel Denklem Biçimleri Bir x değişkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu fonksiyonun türevleri arasında mevcut olan F (x, y, y', ..., y(n)) = 0 (1.1) denklemine diferansiyel denklem denir. Konuya açıklık getirmek için aşağıda sunulan örneği göz önüne alalım.

6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek: 1.1. Kütlesi m olan bir cisim yerçekimi etkisi altında serbest düşme yapmaktadır. Serbest olarak düşen bu kütlenin üzerine havanın direnci etki etmektedir. Havanın direnci düşen cismin hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bir t zamanı düştüğünde cismin (v) hızını ve düştüğü mesafeyi bulunuz.

7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Şekil 1.1.’den de görüleceği gibi kütlenin üzerine iki kuvvet etki etmektedir: Yerçekimi kuvveti : mg Havanın direnci : kmv2 Burada k bir sabit ve g yerçekimi kuvvetidir.

8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Cisim yere doğru düştüğünden mg > kmv2’dir. Dolayısıyla cisme etki eden net kuvvet, F = mg – kmv2 (1.2) dir. F = m  a (1.3) olduğundan (m, kütle ve a da ivmeyi belirtmektedir).

10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.4)

11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.4) ve dolayısıyla (1.5) elde edilir.

12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu denklemde (eşitlikte) diferansiyel katsayısı bulunduğundan denklem diferansiyel denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel denklemin çözümü sonucunda bir t anındaki v hızını elde etmek mümkün olacaktır.

13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
s’in cismin t zaman kadar düşmesi sonucu alınan mesafeyi belirttiğini varsayalım. Bu mesafeyi bulmak için ifadesi (1.5) eşitliğinde yerine konursa bu eşitlik, (1.6) şekline dönüşür.

14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bir diferansiyel denklemde en yüksek dereceden türev y(n) ise denkleme n’inci dereceden diferansiyel denklem denir. Örneğin, (1.5) eşitliğinde en yüksek türev birinci dereceden olduğundan bu eşitliğe birinci dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) eşitliğinde en yüksek dereceden türev ikinci dereceden olduğundan bu eşitliğe ikinci dereceden diferansiyel denklem denir.

15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Verilen örnekte bağımlı değişkenler yol s, s = f (t) ve hız v, v = g (t) sadece tek bir t bağımsız değişkeninin fonksiyonları olduğundan ordinary diferansiyel katsayılarından dolayı (1.5) ve (1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Eğer z bağımlı değişkeni x ve y gibi iki bağımsız değişkenin fonksiyonu ise örneğin, z = f (x, y) ise, z’nin x ve y değişkenlerine göre türevleri alınırsa, ve benzer şekilde, kısmi diferansiyel katsayıları elde edilir. Dolayısıyla bu tür katsayıları içeren diferansiyel denklemlere de kısmi diferansiyel denklemler denir.

17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örneğin, (1.7) ve (1.8) denklemleri kısmi diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.

18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Diferansiyel denklemlerin çözümünde tümünün çözümünü elde edebilecek standart bir yöntem mevcut değildir. Fakat belirli tipler için özel yöntemler vardır. Ele alınacak yöntemler sonucunda y bağımlı değişkeninin x bağımsız değişkeni cinsinden analitik çözümü elde edilecektir.

19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Ancak bazı durumlarda analitik çözümün elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu durumlarda Nümerik yöntemler uygulanarak bağımlı değişkene ilişkin yaklaşık bir sonuç elde edilmektedir. İzleyen kısımlarda değişik tip diferansiyel denklemler için çözüm yöntemleri örneklerle açıklanmıştır.

20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.3. Bu tür diferansiyel denklemlerde ardarda integral işlemi bizi sonuca götürür.

21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.2. (1.9) diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. a bir sabit değeri ifade etmektedir.

22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa,

23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa,

24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
ifadesinin x’e göre integrali alınırsa, (1.10) (A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x’e göre integrali alınırsa, (1.11) (B bir sabit) bulunur.

25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Elde edilen bu ifadenin x’e göre bir kez daha integrali alınırsa, (1.12) elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel denkleminin çözümüdür ve bu çözüm A, B, C gibi sabitleri içerdiğinden genel çözüm olarak bilinir.

26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13)

27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)

28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
A, B, C sabitlerini elde etmek için x = 0 iken şartları (başlangıç şartları) verilirse, bu değerler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu eşitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14) (1.15)

29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur.

30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden bulunur. Elde edilen bu değerler (1.12) nolu eşitlikte yerine konursa, elde edilir. Bu (1.9) nolu diferansiyel denklemin özel çözümüdür. Özel çözüm olarak belirtilmesinin nedeni, başlangıç koşulları değiştirildiğinde A, B, C değerlerinin de bu koşullara göre değişmekte olmasından dolayıdır.

31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.5. Kısmi integral yöntemi uygulanırsa

34 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

36 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

38 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

39 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

40 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

41 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

42 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler