2- Geometrik Ortalama (G)

... konulu sunumlar: "2- Geometrik Ortalama (G)"— Sunum transkripti:

1 2- Geometrik Ortalama (G)
Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. olup yazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

2 ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

3 Tasnif edilmiş seride;
logaritmik olarak; olur. Gruplanmış seri için; Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir dizi logaritması alınarak aritmetik diziye dönüştürülür.

4 Kusurlu parça sayısı (Xi)
Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. Kusurlu parça sayısı (Xi) logXi 3 0.477 5 0.699 8 0.903 15 1.176 30 1.477 log Xi = 4.732

5 Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (fi) mi logmi filogmi 0 – 10 5 10 – 13 8 11.5 1.0606 8.4848 13 – 15 10 14 1.146 11.46 15 – 20 12 17.5 1.243 14.316 20 – 40 30 1.477 7.385 fi = 40 filogmi = G=13,98 G=13,98 parça

6 Tartılı Geometrik Ortalama: Önem derecesi farklı olan verilere tartılı ortalamalar tatbik edilmektedir. Tartılı geometrik ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

7 Örnek Bir işletmede verimin tecrübeye bağlı olduğu düşünülmektedir
Örnek Bir işletmede verimin tecrübeye bağlı olduğu düşünülmektedir. Bu işletmede çalışan işçilerin üretim miktarları ve tecrübe (çalışılan yıl) dağılımı aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. İşçi başına günlük üretimin tartılı geometrik ortalamasını hesaplayınız. Günlük üretim (adet) İşçi sayısı (fi) Tecrübe (çalışılan yıl) (ti) logXi fiti fitilogXi 40 5 3 1.602 15 24.03 45 7 8 1.653 56 92.568 50 1.699 225 55 20 1.74 400 696,14 Toplam 696 1195,313 logG = G = 101,717  G = 52,12 parça

8 Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı
Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.

9 Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa;
Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı TL , 2003 yılı fiyatı TL olduğu bilindiğine göre; Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız 2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz 1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir 1999 yılı fiyatını tahmin ediniz Hangi yılda fiyatlar TL olur? Çözüm P1995 = P2003 = n= 8 ( ) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. P2010 = P2003(1,53)( ) P2010 = (1,53)7 = (19,626) P2010 = TL olur.

10 Geometrik ortalamanın özellikleri
1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. GN = X1X2X3XN GN = Xi 2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir. 3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur (logXi - logG) = 0 logXi - NlogG = 0 4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.

11 5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur. 6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. 7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.) Xi logXi 3 0,477 9 0,954 27 1,431 81 1,908 243 2,386

12 3- Harmonik Ortalama Harmonik ortalama bir serideki gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir. Basit bir seri için bu ifade şöyle gösterilebilir. Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride

13 1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi)
Örnek Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz 1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi) 60 0,0166 68 0,0147 72 0,0139 75 0,0133 80 0,0125 Toplam 0,0710 H=70,42 kelime

14 Örnek: Sakarya ilinde aylık yağışların dağılımı ile ilgili yapılan çalışmada aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle aylık yağışların harmonik ortalamasını bulunuz. Yağış (kg/m2) Ay sayısı (fi) mi 4 10 0,4 20- 40 6 30 0,2 40- 60 50 60- 80 7 70 0,1 27 0,9

15 Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler
Harmonik ortalama az kullanılan ortalamalardan biri olup, özellikle oran şeklinde ortaya çıkan verilerin ortalamasında kullanılır. Bir seride sabit ve değişken unsurun yer değiştiriyorsa, yani sabit unsur, değişken, değişken unsur sabit oluyorsa böyle durumlarda harmonik ortalama kullanılır. Hız → yol (km)/zaman(saat):zaman sabit, alınan yol değişken Verim → zaman/parça: üretilen parça sabit,zaman değişken Fiyat → ödenen para(TL)/miktar(kg): miktar sabit, ödenen para değişken olarak ifade edilir. Bu ifadeler tam ters şekilde; yani sabit unsuru değişken, değişken unsuru sabit tutmak sureti ile de ifade edilebilir. Hız → zaman/yol şeklinde ters olarak ifade edilebilir. (Belli uzunluktaki bir yolun ne kadar zamanda alındığı ifade edilebilir.) Verim → parça/zaman: Belli bir zamanda ne kadar parça üretildiği Fiyat → miktar/ödenen para: Para miktarı sabit iken, bu paraya alınabilecek değişen mal miktarı şeklinde düşünülebilir Bu gibi durumlarda harmonik ortalama en uygun sonucu verir.

16 İşçiler Üretim süresi (dk) A 5 B 6 C 10 D 20
Örnek: Bir işletmede çalışan ve aynı parçayı işleyen 4 işçinin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu işçiler hep birlikte bu parçayı 4 saat süre ile Ürettiklerinde ürettikleri parçaların Ortalama üretim süresini bulunuz. Çözüm: Üretim süresi 4*60=240 dakika İşçinin üretimi 240/5=48 parça İşçinin üretimi 240/6=40 parça, İşçinin üretimi 240/10=24 parça, İşçinin üretimi 240/20=12 parça. İşçilerin 4 saatteki toplam üretimi =124 parça Toplam işçilik süresi 4*240=960 dakika Parçanın ortalama üretim süresi: 960/124=7,74 dakika/parça İşçiler Üretim süresi (dk) A 5 B 6 C 10 D 20

17 Yukarıdaki örneğin Harmonik ortalama ile çözümü:
Üretim süresi (Xi) 1/Xi 5 0,2 6 0,167 10 0,1 20 0,05 Toplam 0,517 Harmonik ortalamanın özellikleri - Harmonik ortalama seride sıfır değeri varsa hesaplanamaz, Seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama mantıklı olmayan sonuçlar verir. Xi: -2, 5,10,20 serisinin harmonik ortalaması olup sonuç mantıksızdır.

18 4. Kareli Ortalama (K) Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

19 Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir.
Araç sayısı (Xi) Gün sayısı (fi) 1 4 2 8 32 3 12 9 108 10 16 160 5 6 25 150 Toplam ∑fi= 40

20 Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Aylık elektrik Tüketimi (Kwh) Konut sayısı (fi) mi fimi2 0 – 60 10 30 9000 60 – 100 20 80 128000 100 – 120 40 110 484000 120 – 140 50 130 845000 140 – 180 45 160 180 – 250 35 215 Toplam 200

21 Kareli ortalamanın kullanıldığı yerler
Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir. Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Sapmalar serisi verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarını veren seridir. Yani serisidir. Sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { =0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir. Analitik ortalamalar arasındaki ilişkiler Normal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır. K >X > G > H

22 Kareli ortalamayı bulunuz.
Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle; Aritmetik ortalamayı, Geometrik ortalamayı, Harmonik ortalamayı, Kareli ortalamayı bulunuz. Aritmetik ortalama: , logGeometrik ortalama: 2,105 Harmonik ortalama: , Geometrik ortalama: ,36 Kareli ortalama: ,53 K = 145,53>X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür. Üretim (Kg) fi mi fi.mi fi/mi mi2 fimi2 logmi filogmi 0 – 60 10 30 300 0,3333 900 9000 1,47712 14,771 60 – 100 20 80 1600 0,25 6400 128000 1,90309 38,062 100 – 120 40 110 4400 0,3636 12100 484000 2,04139 81,656 120 – 140 50 130 6500 0,38462 16900 845000 2,11394 105,7 140 – 180 45 160 7200 0,2813 25600 2,20412 99,185 180 – 250 35 215 7525 0,1628 46225 2,33244 81,635 Toplam 200 27525 1,7756 12,0721 421,01

23 Analitik olmayan ortalamalar
Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar. 1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

24 Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 6 7 Yağışlı gün sayısı Ay sayısı 3 2 4 5 7 6 9 Mod = 5 gün Mod= 6 gün

25 Gruplanmış seride modun hesaplanması
Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l1: mod sınıfının alt sınırı 1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı, 2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

26 Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün) Öğrenci sayısı 0 – 0,5 30 l1 = 1 0,5 – 1 50 1 = 100 – 50 = 50 1 – 1,5 100 Mod sınıfı 1,5 – 2 70 2 = 100 – 70 = 30 2 – 2,5 20 s = 0,5

27 Üretim süresi Parça sayısı (fi) mi fimi 5-9 4 7 28 0,571 49 196 9-13
Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52) b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03) d) Kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Üretim süresi Parça sayısı (fi) mi fimi 5-9 4 7 28 0,571 49 196 9-13 10 11 110 0,909 121 1210 13-17 15 105 0,467 225 1575 17-21 19 76 0,211 361 1444 21-25 2 23 46 0,087 529 1058 Toplam 27 365 2,245 5483

28 Modun Grafikle Gösterilmesi
modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

29 Modun özellikleri Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

30 2. Medyan (Ortanca) Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer Medyan = 20,5 olur.

31 Medyanın serideki sırası
Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. Çözüm: Medyanın serideki sırası Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı 10 2 10 ve daha az 12 3 12 ve daha az 5 15 4 15 ve daha az 9 16 6 16 ve daha az 18 18 ve daha az 25 20 21 Toplam (N) 36

32 Gruplanmış seride medyanın hesaplanması
Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. l1 : Medyan sınıfının alt sınırı Nm : Medyan sınıfının frekansı Sm : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

33 Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. sıradaki değer medyandır. Bu değer sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Saat ücreti (Bin TL) İşçi sayısı 500 – 600 10 600 den az l1=700 600 – 700 50 700 den az 60 N/2=150/2=75 700 – 800Medyan sınıfı 40 800 den az 100 Ni= 60 800 – 1000 30 Nm=40 1000 – 1500 20 Sm= = 100 Toplam 150

34 Medyanın grafikle belirlenmesi
Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir. Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımı Ters kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL) fi 500 den az 500 den çok 150 600 den az 10 600 den çok 140 700 den az 60 700 den çok 90 800 den az 100 800 den çok 50 1000 den az 130 1000 den çok 20 1500 den az 1500 den çok

35 Medyanın grafikle gösterilmesi

36 Medyanın özellikleri 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır. Xi-medyan  minimum 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

37 Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler
1- Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur. X = medyan = mod 2- Sağa çarpık serilerde 3- Sola çarpık seride 4- Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.

38 3. Kartil(Q), Desil(D) ve Santiller(C)
Bir serinin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralandığında, seriyi dört eşit parçaya bölen değerlere kartil, on eşit parçaya bölen değerlere desil, yüz eşit parçaya bölen değerlere santil adı verilir. 2.kartil, 5.desile ve 50.santile eşit olup, bu değer seriyi iki eşit parçaya bölen medyana eşittir. Basit ve tasnif edilmiş seride kartil, desil ve santilin hesaplanması Basit ve tasnif edilmiş serilerde kartil, desil ve santilin sıra değerleri formülü ile bulunur. N: Serinin toplam gözlem sayısı h: Q, D veya C nin derecesi r: Bölen değer olup, Q için 4, D için 10, C için 100 değerini alır. Q, D, C nin serideki değeri saymak suretiyle bulunur. Eğer bu değer kesirli ise Q, D, C iki sayının arasına düşer.

39 Örnek: Xi:5,8,9,12,18,22,23,28,32,45,54,67,71,75,84 seri değerleri verilmiştir. Bu verilerden hareketle; a)Q1’i (1.kartili) b)D8’i (8.desili) c)C38’i (38.santili) bulunuz. Çözüm a) N= Q1’in sıra değeri 4,25. sıradaki değer 12;18 aralığına düşmektedir. Şu halde; Q1=0,75*12+0,25* Q1=13,5 olur. b) D8’in sıra değeri : olup D8 değeri; D8 = D8 = 0,5*67+0,5*71  D8 = 69 olur. c) C38’in sıra değeri olur. C38 = 0,8*22 + 0,2*23  C38 = 22,2 bulunur.

40 Gruplanmış seride kartil, desil ve santillerin hesaplanması
Gruplanmış serilerde önce ile Q, D veya C’nin ait olduğu sınıf bulunur. Bu sınıf içerisinde değerlerin eşit aralıklarda dağıldıkları kabulüne göre medyanın hesaplanmasında kullanılan formül tatbik edilir. l1: Q,D veya C sınıfı alt sınırı : Q,D veya C’nin sıra değeri : Q,D veya C sınıfından önceki frekanslar toplamı NQ,D,C : Q,D veya C sınıfının frekansı SQ,D,C : Q,D veya C sınıfının sınıf aralığı

41 Örnek Bir lisede ÖSYS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre; a) Q3 ü b) D2’yi c) C65’i bulunuz d) Puanı en düşük olan 29. Öğrencinin puanını tahmin ediniz e) Puanı en fazla olan 32. Öğrencinin puanını f) 273’den az puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz. g) 287’den fazla puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz h) En yüksek puana sahip %28’lik öğrenci grubunun en düşük puanını tahmin ediniz. Puanlar Öğrenci sayısı Küm. Frekans fi 180 – 220 20 220 – 240 30 50 240 – 260 40 90 260 – 290 25 115 290 – 350 135

42 Çözüm a) Q3 ün sıra değeri olup bu değer – 290 sınıfındadır. b) D2 değeri sıradaki değer olup, bu değer sınıfındadır. e) Puanı en fazla olan 32. öğrenci; puanı en az olan =104. öğrenci demektir. O halde olup bu değer 260 – 290 sınıfındadır. Puanı en fazla olan 32.öğrencinin puanı=

43 Puanlar Öğrenci sayısı Küm. Frekans fi 180 – 220 20 220 – 240 30 50
240 – 260 40 90 260 – 290 25 115 290 – 350 135 c) C65’i bulunuz d) Puanı en düşük olan 29. Öğrencinin puanını tahmin ediniz f) 273’den az puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz. g) 287’den fazla puan alan öğrenci sayısını tahmin ediniz h) En yüksek puana sahip %28’lik öğrenci grubunun en düşük puanını tahmin ediniz.

44 Örnek: Bir doğum evinde yapılan 7 günlük gözlemde doğan çocuk sayıları aşağıda verilmiştir.
Çocuk sayısı 5 7 9 10 11 13 Doğum evinde günlük doğan çocuk sayısının a) Aritmetik b) Geometrik c) Harmonik d) Kareli ort. d) Mod f) Medyanı bulunuz.

45 Örnek: Bir X malının piyasadaki fiyatı üzerine yapılan araştırmada aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Malın fiyatı Satıcı sayısı 20 – 22 3 22 – 24 5 24 – 26 9 26 – 28 6 28 – 30 1 Malın fiyatının a) Aritmetik f) Medyanını b) Geometrik g) 1. Kartilini c) Harmonik h) 8. desilini d) Kareli ort. ı) 43. santilini e) Modunu j) Fiyatı en düşük olan %36 lık grubun en yüksek fiyat düzeyini tahmin ediniz

46 Malın fiyatı Satıcı sayısı 20 – 22 3 22 – 24 5 24 – 26 9 26 – 28 6
28 – 30 1 Malın fiyatının a) Aritmetik f) Medyanını b) Geometrik g) 1. Kartilini c) Harmonik h) 8. desilini d) Kareli ort. ı) 43. santilini e) Modunu j) Fiyatı en düşük olan %36 lık grubun en yüksek fiyat düzeyini tahmin ediniz

47 Örnek: Basit bir seri için aşağıda bazı veriler verilmiştir
Örnek: Basit bir seri için aşağıda bazı veriler verilmiştir. Bu verilerden hareketle; a) Gözlem sayısını b) Aritmetik ortalamayı c) Harmonik ortalamayı d) Medyanı tahmin ediniz. e) Geometrik ortalaması en az ve en fazla ne olur? f) Medyan serideki kaçıncı elemandır? g) Serinin asimetrisi hakkında ne söyleyebilirsiniz?

48 Örnek: Simetrik bir seride medyan=12 olarak verilmiştir
Örnek: Simetrik bir seride medyan=12 olarak verilmiştir. ∑Xi=132, ∑Xi2=1859, ∑1/Xi=1,06 olarak verilmiştir. a) Gözlem sayısını bulunuz, b) Serinin modunu bulunuz, c) Kareli ortalamayı bulunuz, d) Harmonik ortalamayı bulunuz, e) Serinin 5. desilini bulunuz, f) Serinin geometrik ortalaması en az ne olur,

49 Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs A 10 15 18 20 8 71 B 12 16 25 75 C 24 22
Örnek: Bir işletmede bulunan 4 tezgahın 5 aylık üretim miktarları ile ilgili veriler aşağıda sunulmuştur. Yukarıdaki tabloyu analiz ediniz ( Üretim in tezgahlara ve aylara göre yüzde dağılımı, aylara göre üretimin değişimi vs.) Tezgahlar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Toplam A 10 15 18 20 8 71 B 12 16 25 75 C 24 22 14 92 D 23 13 6 62 50 60 70 80 40 300