Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ

Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ
DR. öğr. Üyesİ Nurdan Bİlgİn

Mekanizmaların Kinematik Analizi
Giriş Mekanizmalarda hız ve ivme analizi vektörel olarak bağıl hız ve ivme kavramı ile yapılır. Genel olarak verilen değerler ile başlanılır ve A,B,C,… gibi genellikle mafsal eksenlerinin geçtiği noktalar sırası ile kullanılarak analiz gerçekleştirilir. Seçilen A,B,C,D noktaları döner mafsal ekseni üzerinde olursa, bu noktada her iki uzvun hız ve ivmesi eşit olacaktır. Mekanizmaların Kinematik Analizi Konum Analizi Hız Analiz İvme Analizi

Değişken Tanımları Konum (mafsal) değişkenleri: vektör kapalılık denkleminde 𝑠 𝑖𝑗 𝑣𝑒 𝜃 𝑖𝑗 şeklinde yer alan değişkenlerdir. Hız değişkenleri: konum değişkenlerinin zamana bağlı türevi olan değişkenlerdir. Zamana bağlı türevi alınan değişkenler 𝑠 𝑖𝑗 𝑣𝑒 𝜃 𝑖𝑗 şeklinde gösterilir. İvme değişkenleri: hız değişkenlerinin zamana bağlı türevi olan değişkenlerdir. Konum değişkenlerinin ise ikinci türevi, ivmeyi ifade eder örneğin, 𝑠 𝑖𝑗 𝑣𝑒 𝜃 𝑖𝑗 şeklindedir.

Hız ve ivme analizi F serbestlik dereceli bir sistem için hız analizi
Verilenler: bütün konum değişkenleri ve serbestlik derecesine uygun sayıda hız değişkeni Bulunmak istenenler: bütün bilinmeyen hız değişkenleri (dolayısıyla herhangi bir uzvun üzerindeki herhangi bir noktanın hızı belirlenebilir.) F serbestlik dereceli bir sistem için ivme analizi Verilenler: bütün konum ve hız değişkenleri ve serbestlik derecesine uygun sayıda ivme değişkeni Bulunmak istenenler: bütün bilinmeyen ivme değişkenleri (dolayısıyla herhangi bir uzvun üzerindeki herhangi bir noktanın ivmesi belirlenebilir.)

İşlem Sırası Konum analizleri: Vektör kapalılık denklemleri temel alınarak bütün bilinmeyen konum değişkenleri çözülür. Hız Analizleri: Vektör kapalılık denkleminin zamana göre birinci türevi alınarak hız döngü denklemi elde edilir. Hız döngü denkleminden çıkarılan eşitlikler doğrusal denklemlerdir, çözümleri sonucunda bilinmeyen hız değişkenleri bulunur. İvme Analizleri: İvme döngü denklemi hız döngü denkleminin zamana bağlı türevidir. İvme döngü denkleminden çıkarılan eşitlikler doğrusal denklemlerdir, çözümleri sonucunda bilinmeyen ivme değişkenleri bulunur. Yukarıdaki analizler verildikleri sırayla yapılmalıdır. Her üç analizde, değişken sayısı eksi serbestlik derecesi kadar bilinmeyen değişken bulunur.

Dört Çubuk Mekanizması Örneği Üzerinden Hız ve İvme Analizi
Bu yöntemi, dört-çubuk mekanizması üzerinde ele alacağız. Devre kapalılık denklemi 𝐴0𝐴+𝐴𝐵=𝐴0𝐵0+ 𝐵 0 𝐵 Bu durumda devre kapalılık denklemi kompleks sayılar ile: 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 1 + 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 Önce Konum Analizi Yapılmalı veya Tüm Verilmiş Olmalıdır: Giriş: 𝜃 12 ; Bilinmeyenler: 𝜃 13 , 𝜃 14 (1) denkleminden çözülür.

𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 1 + 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 Hız Analizi Giriş: 𝜃 12 ( 𝜃 12 , 𝜃 13 ve 𝜃 14 konum analizinden biliniyor.) Bilinmeyenler: 𝜃 13 , 𝜃 14 𝑑 𝑑𝑡 𝑉𝐾𝐷= 𝑑 𝑑𝑡 1 ⟹ 𝑎 2 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝑖 𝜃 14 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 14 𝑖 𝜃 (2)

𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 14 𝑖 𝜃 (2) (2) denklemini gerçel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı yazalım. 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 = 𝑎 4 𝜃 14 cos 𝜃 (3) 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 = 𝑎 4 𝜃 14 sin 𝜃 (3) ve (4) iki bilinmeyenli ( 𝜃 13 , 𝜃 14 ) doğrusal iki denklemdir. Çözüm için bu iki denklemi matris formunda düzenleyelim. − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 (5)

− 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 (5) 𝐴= − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 ; Ω = 𝜃 𝜃 ; 𝑏 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 olmak üzere, (5) denklemi kapalı formda (6) denklemindeki gibi yazılabilir. 𝐴 Ω = 𝑏 (6) Eğer 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0 ise (6) denkleminin Ω vektörü için tekil bir çözümü vardır.

𝐴= − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 ; 𝑑𝑒𝑡𝐴=− 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 cos 𝜃 13 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 13 𝑑𝑒𝑡𝐴=− 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 − 𝜃 (7) Dolayısıyla 𝑑𝑒𝑡𝐴=0⟹⟹ sin 𝜃 14 − 𝜃 13 =0 ⟹⟹ 𝜃 14 − 𝜃 13 =0 𝑦𝑎 𝑑𝑎 𝜃 14 − 𝜃 13 =𝜋

Tekil Olmama Durumları
𝑑𝑒𝑡𝐴=0⟹⟹ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 14 − 𝜃 13 =0 𝜃 14 − 𝜃 13 =0 𝑑𝑒𝑡𝐴=0⟹⟹ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 14 − 𝜃 13 =0 𝜃 14 − 𝜃 13 =𝜋

𝐴 Ω = 𝑏 Denkleminin Çözümü
Hatırlatma: Cramer Kuralı 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑐 𝐶 Ω 1 Ω 2 = 𝑘 1 𝑘 2 Ω 1 = 𝑘 1 𝑐 2 𝑘 2 𝑐 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑐 4 , Ω 2 = 𝑐 1 𝑘 1 𝑐 3 𝑘 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑐 4 𝐷𝑒𝑡 𝐶 ≠0 ise denklem takımı kramer kuralıyla çözülür.

− 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 (5) Bu durumda 𝜃 13 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 = 𝑎 2 𝑎 4 𝜃 sin 𝜃 14 cos 𝜃 12 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 − 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 cos 𝜃 13 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 13 𝜃 14 = − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 = − 𝑎 2 𝑎 3 𝜃 sin 𝜃 12 cos 𝜃 cos 𝜃 12 sin 𝜃 − 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 cos 𝜃 13 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 13

𝜃 13 = 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 = 𝑎 2 𝑎 4 𝜃 sin 𝜃 14 cos 𝜃 12 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 − 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 cos 𝜃 13 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 13 𝜃 14 = − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 − 𝑎 3 cos 𝜃 𝑎 4 cos 𝜃 −𝑎 3 sin 𝜃 𝑎 4 sin 𝜃 = 𝑎 2 𝑎 3 𝜃 cos 𝜃 12 sin 𝜃 13 − sin 𝜃 12 cos 𝜃 − 𝑎 3 𝑎 4 sin 𝜃 14 cos 𝜃 13 − cos 𝜃 14 sin 𝜃 13 𝜃 13 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 14 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 (8) 𝜃 14 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 13 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 (9)

Hız Etki Katsayısı 𝜃 13 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 14 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 12 = 𝑔 32 𝜃 12 𝜃 14 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 13 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 12 = 𝑔 42 𝜃 12 Burada 𝑔 𝜃 13 ve 𝜃 12 arasındaki etki katsayısı ve 𝑔 𝜃 14 ve 𝜃 12 arasındaki etki katsayısıdır. Etki katsayıları daima uzuv uzunluklarının ve pozisyon değişkenlerinin bir fonksiyonudur. det(A)=0 olursa o zaman etki katsayısı sonsuza gider.

İvme Analizi 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 14 𝑖 𝜃 (2) Hız analizi sonunda (2) denklemindeki tüm hız değişkenlerinin çözüldüğü veya verildiği durumda, mekanizmanın serbestlik derecesi kadar ivme değişkeni verilirse tüm ivme değişkenleri çözülebilir. İvme Analizi Giriş: 𝜽 𝟏𝟐 ( 𝜃 12 , 𝜃 13 ve 𝜃 14 konum analizinden, 𝜃 12 , 𝜃 13 ve 𝜃 14 hız analizinden biliniyor. Bilinmeyenler: 𝜽 𝟏𝟑 , 𝜽 𝟏𝟒 𝑑 𝑑𝑡 𝐻𝐷𝐷= 𝑑 𝑑𝑡 2 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 14

İvme Analizi 𝑑 𝑑𝑡 𝐻𝐷𝐷= 𝑑 𝑑𝑡 2 ⟹ 𝑑 𝑑𝑡 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 14 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 𝑎 3 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 13 = 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 14 𝑖 𝜃 𝑎 4 𝑒 𝑖 𝜃 𝜃 (10) (10) denkleminin gerçel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı yazalım. Dikkat: 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖=𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑎 2 𝜃 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 − 𝑎 3 𝜃 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 =− 𝑎 4 𝜃 sin 𝜃 𝑎 4 𝜃 14 cos 𝜃 (11) 𝑎 2 𝜃 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 cos 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 = 𝑎 4 𝜃 cos 𝜃 𝑎 4 𝜃 14 sin 𝜃 (12)

İvme Analizi −𝑎 2 𝜃 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 − 𝑎 3 𝜃 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 =− 𝑎 4 𝜃 sin 𝜃 𝑎 4 𝜃 14 cos 𝜃 (11) 𝑎 2 𝜃 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 cos 𝜃 𝑎 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 = 𝑎 4 𝜃 cos 𝜃 𝑎 4 𝜃 14 sin 𝜃 (12) (11) ve (12) denklemleri iki doğrusal denklem bilinmeyenler 𝜃 13 ve 𝜃 14 , hız analizinde öğrendiğimiz kramer kuralıyla çözebiliriz. Önce denklemi matris formunda yazalım. 𝐴 a = 𝑑 (13) 𝑑 = −𝑎 2 𝜃 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 − 𝑎 3 𝜃 sin 𝜃 𝑎 4 𝜃 sin 𝜃 𝑎 2 𝜃 cos 𝜃 𝑎 2 𝜃 12 sin 𝜃 𝑎 3 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝑎 4 𝜃 cos 𝜃 14

İvme Analizi 𝐴 a = 𝑑 (13) Dikkat;
𝐴 matrisi hız analizinde bulunan matrisin aynısıdır; (5)’de 𝐴 matrisinin açık hali yazılıdır. (6) denkleminde bilinmeyenler vektörü Ω hızları içerirken, (13)’de bilinmeyen vektörü a , ivmeleri içerir. 𝑑 vektörü, uzuv boyutlarının, pozisyon değişkenlerinin, hız değişkenlerinin ve bilinen ivme değişkenlerinin fonksiyonudur.

İvme Analizi için Alternatif Yöntem
Hız Etki katsayılarını kullanarak İvme analizi; Hatırlatma 𝜃 13 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 14 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 12 = 𝑔 32 𝜃 12 𝜃 14 = 𝑎 2 sin( 𝜃 12 − 𝜃 13 ) 𝑎 3 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝜃 12 = 𝑔 42 𝜃 12 Hız analizinde bilinmeyen hızlarla bilinen hızlar arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyonlara etki katsayısı demiştik ve g ile göstermiştik. Alternatif yöntem bu ifadelerin türevinin alınmasına dayanmaktadır.

İvme Analizi için Alternatif Yöntem
Hız Etki katsayılarını kullanarak İvme analizi; 𝑑 𝑑𝑡 𝜃 13 = 𝑔 32 𝜃 12 = 𝜃 13 = 𝑔 𝜃 𝑔 32 𝜃 (14) 𝑑 𝑑𝑡 𝜃 14 = 𝑔 42 𝜃 12 = 𝜃 14 = 𝑔 𝜃 𝑔 42 𝜃 (15) 𝑔 32 = 𝑎 2 𝑎 3 𝑑 𝑑𝑡 sin 𝜃 12 − 𝜃 sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝑔 32 = 𝑎 2 𝑎 3 ( 𝜃 12 − 𝜃 14 )cos( 𝜃 12 − 𝜃 14 ) sin (𝜃 14 − 𝜃 13 )− ( 𝜃 14 − 𝜃 13 ) cos (𝜃 14 − 𝜃 13 )sin( 𝜃 12 − 𝜃 14 ) sin 2 (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝑔 42 = 𝑎 2 𝑎 3 𝑑 𝑑𝑡 sin( 𝜃 12 − 𝜃 13 ) sin (𝜃 14 − 𝜃 13 ) 𝑔 42 = 𝑎 2 𝑎 3 ( 𝜃 12 − 𝜃 13 )cos( 𝜃 12 − 𝜃 12 ) sin (𝜃 14 − 𝜃 13 )− ( 𝜃 14 − 𝜃 13 ) cos (𝜃 14 − 𝜃 13 )sin( 𝜃 12 − 𝜃 13 ) sin 2 (𝜃 14 − 𝜃 13 )

Örnek: Krank-Biyel Mekanizması
Sabitler; 𝐴 0 𝐴= 𝑟 2 ,𝐴𝐵= 𝑟 3 , 𝑂𝐵= 𝑟 1 Değişkenler; 𝐴 0 𝑂= 𝑠 14 , 𝜃 13 Giriş; 𝜃 12 = 𝜔 12 O 𝐴 0 𝐴 = 𝐴 0 𝑂 + 𝑂𝐵 + 𝐵𝐴 𝑟 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 = 𝑠 14 + 𝑟 1 𝑖+ 𝑟 3 𝑒 𝑖 𝜃 (𝑉𝑒𝑘𝑡ö𝑟 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙ı𝑙ı𝑘 𝐷𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖−1)

Hız Analizi: Giriş: 𝜃 12 = 𝜔 12 𝑣𝑒 𝑡ü𝑚 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑚 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑘𝑒𝑛𝑙𝑒𝑟𝑖 Bilinmeyenler; Ω =[ 𝑠 14 ; 𝜃 13 ] 𝑟 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 = 𝑠 14 + 𝑟 1 𝑖+ 𝑟 3 𝑒 𝑖 𝜃 (𝑉𝑒𝑘𝑡ö𝑟 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙ı𝑙ı𝑘 𝐷𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖−1) 𝑑 𝑑𝑡 1 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑟 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 = 𝑠 14 + 𝑟 1 𝑖+ 𝑟 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑑 𝑑𝑡 1 ⟹ 𝑟 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 12 = 𝑠 𝑟 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 13 (𝐻ı𝑧 𝐷ö𝑛𝑔ü 𝐷𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖−2)

Hız Analizi: 𝑟 2 𝑒 𝑖 𝜃 12 𝑖 𝜃 12 = 𝑠 𝑟 3 𝑒 𝑖 𝜃 13 𝑖 𝜃 13 (2) (2) denklemini gerçel ve sanal kısımlarına ayıralım. Burada, 𝑒 𝑖𝜃 𝑖=𝑖𝑐𝑜𝑠𝜃− sin 𝜃 olduğuna dikkat edelim. − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 = 𝑠 14 − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 𝑟 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 = 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 ⟹ 𝜃 13 = 𝑟 2 𝜃 12 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 13 ∴ 𝑠 14 = 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12

Hız Analizi: 𝜃 13 = 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 𝜃 12 = 𝑔 32 𝜃 (4) 𝑠 14 = 𝑟 3 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 𝜃 12 − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 𝜃 12 𝑠 14 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 cos 𝜃 13 = 𝑔 42 𝜃 (5) 𝑔 32 𝑣𝑒 𝑔 42 etki katsayıları cos 𝜃 13 ≠0 𝑖ç𝑖𝑛 çö𝑧ü𝑚 𝑣𝑎𝑟. Dolayısıyla 𝜃 13 =90° 𝑣𝑒 270° için çözüm yok. Ancak uzuv boyutları doğru tasarlanırsa mekanizma bu tekil noktalara ulaşmaksızın çalışmasını sürdürebilir.

İvme Analizi: 𝜃 13 = 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 𝜃 12 = 𝑔 32 𝜃 (4) 𝑠 14 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 cos 𝜃 13 = 𝑔 42 𝜃 (5) Giriş: 𝜃 12 = 𝛼 12 𝑣𝑒 𝑡ü𝑚 ℎı𝑧 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑘𝑒𝑛𝑙𝑒𝑟𝑖 Bilinmeyenler; a =[ 𝑠 14 ; 𝜃 13 ] Alternatif ivme hesaplama yönteminden yararlanalım ve sırasıyla (4) ve (5) denklemlerinin türevini alalım

İvme Analizi: 𝑑 𝑑𝑡 4 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜃 13 = 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 𝜃 12 𝑑 𝑑𝑡 4 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑔 32 𝜃 12 ⟹ 𝜃 13 = 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 3 cos 𝜃 𝜃 𝜃 12 − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 cos 𝜃 𝑟 2 𝜃 13 sin 𝜃 13 cos 𝜃 𝑟 3 c os 2 𝜃 13

İvme Analizi: 𝑑 𝑑𝑡 5 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 14 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 𝜃 12 𝑑 𝑑𝑡 5 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 14 = 𝑔 42 𝜃 12 ⟹ 𝑠 14 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 𝜃 𝜃 𝑟 2 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝜃 12 cos 𝜃 13 − 𝑟 2 𝜃 13 sin 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝜃 c os 2 𝜃 13 𝑠 14 = 𝑟 2 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 𝜃 𝑟 2 𝜃 𝜃 13 cos 2 𝜃 13 − 𝜃 12 − 𝜃 12 cos 𝜃 13 − 𝜃 12 cos 𝜃 c os 2 𝜃 13

Örnek: Çok devreli mekanizma örneği Hız ve İvme Analizi
Bu mekanizmanın konum analizini yapmıştık ve 𝑠 34 e i 𝜃 𝑟 2 e i 𝜃 12 =𝑖 𝑟 (1) 𝑟 3 e i 𝜃 𝑟 5 e i 𝜃 15 =𝑖 𝑏 1 + 𝑠 (2) (1) ve (2) denklemini çözerek konum değişkenlerini bulmuştuk. Şimdi örneğe hız ve ivme analizi için devam edelim; Bilinenler 𝑠 34 , 𝜃 12 , 𝜃 13 , 𝑠 16 , 𝜃 15 , 𝜃 İstenenler; 𝑠 34 , 𝜃 12 , 𝑠 16 , 𝜃 15

(1) ve (2)’yi gerçel ve sanal kısımlarına ayıralım ve türevlerini alalım ve bilinmeyenleri bulmak üzere düzenleyelim 𝑠 34 cos 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 12 = (3) 𝑠 34 sin 𝜃 𝑟 2 sin 𝜃 12 = 𝑟 (4) 𝑟 3 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 15 = 𝑠 (5) 𝑟 3 sin 𝜃 𝑟 5 sin 𝜃 15 = 𝑏 (6) 𝑠 34 cos 𝜃 13 − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 (3′) 𝑠 34 sin 𝜃 𝑟 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 =− 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 (4′) 𝑟 5 𝜃 15 sin 𝜃 𝑠 16 =− 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 (5′) 𝑟 5 𝜃 15 cos 𝜃 15 =− 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 (6′)

(3′) - (6′) denklemlerini matris formunda yazalım 𝑠 34 cos 𝜃 13 − 𝑟 2 𝜃 12 sin 𝜃 12 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 (3′) 𝑠 34 sin 𝜃 𝑟 2 𝜃 12 cos 𝜃 12 =− 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 (4′) 𝑟 5 𝜃 15 sin 𝜃 𝑠 16 =− 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 (5′) 𝑟 5 𝜃 15 cos 𝜃 15 =− 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 (6′) cos 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 5 sin 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝑠 𝜃 𝑠 𝜃 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 13

cos 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 𝑟 5 sin 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝑠 𝜃 𝑠 𝜃 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 Diagonal (2x2) sıfır matrislerinin varlığı sistemi iki bağımsız matris kümesi olarak ele almamıza olanak verir. Yani; cos 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 𝑠 𝜃 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 13 1 𝑟 5 sin 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝑠 𝜃 = − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 13

cos 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 𝑠 𝜃 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 13 𝑠 34 = 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝑟 2 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 = 𝑠 34 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13 𝜃 12 = cos 𝜃 𝜃 13 𝑠 34 sin 𝜃 sin 𝜃 − 𝜃 13 𝑠 34 cos 𝜃 𝑟 2 cos 𝜃 13 − 𝜃 =− 𝑠 34 𝑟 2 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13

1 𝑟 5 sin 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝑠 𝜃 = − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 13 − 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 13 𝜃 15 =− 𝑟 3 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝜃 13 𝑠 16 = − 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 𝑟 5 sin 𝜃 15 − 𝑟 3 𝜃 13 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 15 = 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 15 − 𝜃 cos 𝜃 15

İvme analizinde bulunan hız ifadelerinin direkt türevini alabiliriz. 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 34 = 𝑠 34 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13 ⟹ 𝑠 34 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 34 sin 𝜃 13 − 𝜃 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13 𝑑 𝑑𝑡 𝜃 12 =− 𝑠 34 𝑟 2 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13 ⟹ 𝜃 12 = 𝑑 𝑑𝑡 − 𝑠 34 𝑟 2 cos 𝜃 13 − 𝜃 𝜃 13 𝑑 𝑑𝑡 𝜃 15 =− 𝑟 3 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝜃 13 ⟹ 𝜃 15 = 𝑑 𝑑𝑡 − 𝑟 3 cos 𝜃 𝑟 5 cos 𝜃 𝜃 13 𝑑 𝑑𝑡 𝑠 16 = 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 15 − 𝜃 cos 𝜃 ⟹ 𝑠 16 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑟 3 𝜃 13 sin 𝜃 15 − 𝜃 cos 𝜃 15

Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Mekanizma Tekniği MEKANİZMALARDA HIZ VE İVME ANALİZLERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim