GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

... konulu sunumlar: "GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir."— Sunum transkripti:

1 GEOMETRİK KAVRAMLAR Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

2 1. Nokta: “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.

3 2. Doğru: İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.

4 3. Düzlem: Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.
E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider. E düzlemi yandaki gibi gösterilir.

5 4. Doğru Parçası : İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir. [AB] sembolüyle gösterilir. [AB] AB doğru parçası |AB| AB doğru parçasının uzunluğu

6 5. Işın : Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir.
[AB AB ışını

7 6. Yarı Doğru: [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir. ]AB sembolüyle gösterilir. Doğrusal nokta kümelerinin gösterimi [AB]: A ve B noktaları dahil. [AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil ]AB[: A ve B noktaları dahil değil

8 AÇILAR Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir.
şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır. [ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının kenarları,A noktası açının köşesidir. Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.

9 1. Açının Ölçüsü [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsü denir. BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya m(A) = a olarak gösterilir.ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

10 2. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır. a. Açının kendisi[AB ve [AC ışınları.b. İç bölge (taralı alan)c. Dış bölge

11 3. Açı ölçü birimleri Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında, 360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) eşitliği vardır. Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir. Derecenin alt birimleri 1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye) ° = 3600" dir.

12 4. Ölçülerine göre açılar
a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir. b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir c. Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir. d. Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir. e. Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

13 5. Komşu açılar Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir.CAD ile DAB komşu açılardır.

14 6. Açıortay Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB açısının açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.

15 7. Tümler açı Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.
m(CAD)+m(DAB)=90° a+b=90° a açısının tümlerinin ölçüsü (90° – a) dır. Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir. [OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°

16 8. Bütünler açı Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. m(DAB)+m(CAD)=180° x+y=180° x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° – x) dir. Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir. m(KOL) = 90°

17 9. Ters Açılar Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.

18 a. Yöndeş açılar d1 // d2 ise Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.
m(a) = m(x) ; m(b) = m(y) m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)

19 b. İçters açılar d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters açılarıdır.
İçters açıların ölçüleri eşittir. m(a) = m(z); m(b) = m(t)

20 Dışters açılar d1 // d2 ise Dışters açıların ölçüleri eşittir.
m(c)=m(x) m(d)=m(y)

21 d. Karşı durumlu açılar d1 // d2 ise Karşı durumlu açıların toplamı 180° dır. m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z)=180° Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.

22 e. Birden fazla kesenli durumlar
d1 // d2 ise B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur. B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180° m(DBC) + z = 180° buradan x + y + z = 360° dir.

23 f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar
d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur. Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz.

24 g. Kolları paralel ve kolları dik açılar
Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı a + b = 180° olur.Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.

25 ÜÇGEN Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] U[AC]U [BC] = ABC dir.  Burada;  A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.  |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.   ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır.  ABC U {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

26 a. Çeşitkenar üçgen Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

27 b. ikizkenar Üçgen  Herhangi iki kenarının uzunluğu eşit olan üçgenlere denir.

28 c. Eşkenar Üçgen  Üç kenar uzunluğu da eşit olan üçgenlere denir.

29 2. Açılarına göre üçgenler
a. Dar açılı üçgen  Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.b. Dik açılı üçgen  Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.c. Geniş açılı üçgen  Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

30 ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARI
Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir. 1. Yükseklik  Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir. ha  a kanarına ait yükseklik. hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir. 

31 AÇIORTAY VE KENARORTAY
2. Açıortay Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir. nA A köşesine ait iç açıortay   n'A A köşesine ait dış açıortay  3. Kenarortay Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.  Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs) 

32 ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan,iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.a + b + c = 180° m(A) + m(B) + m(C) = 180° Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir. İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

33 ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı 360° dir. a' + b' + c' = 360° m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

34 ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan m(ACD)=a+b  m(DAC) = m(A') = b + c m(DBE) = m(B') = a + c m(ECF) = m(C') = a + b Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,  m(BDC) = a+b+c

35 ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:  lABl=lACl ise m(B)=m(C)  Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanı denir. Tepe açısına m(BAC) = a dersek Taban açıları m(B)=m(C)

36 EŞKENAR ÜÇGEN 5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60° Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

37 ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

38 1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler
1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. (Çemberin yarıçapı)

39 2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsü de kesinlikle açıortaydır.

40 3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

41 4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamı ve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

42 5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır. Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

43 6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek  Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

44 AÇI KENAR BAĞINTILARI 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC  üçgeninde  m(A) > m(B) > m(C)                                  a  >     b     >      c Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür. İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir. m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC| olur.

45 AÇI KENAR BAĞINTILARI 2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür. ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.

46 AÇI KENAR BAĞINTILARI 3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler. a. Bir dik üçgende kenarlar arasında a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır. b. Dar açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür. m(A) < 90° a^2 < b^2 + c^2 c. Geniş açılı üçgen  b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. m(A) < 90°  a^2 > b^2  + c^2

47 AÇI KENAR BAĞINTILARI 4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, |AH| = ha ; yükseklik |AN| = nA ; açıortay |AD| = Va ; kenarortay ha< nA <Va

48 AÇI KENAR BAĞINTILARI 5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama; ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. Bu durumda üçgende kenarlar :  a > b > c yükseklikler :     ha < hb < hc Açıortaylar :     nA < nB < nC Kenarortaylar : Va < Vb < Vc şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.  Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.

49 AÇI KENAR BAĞINTILARI 6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.  |BD| + |DC| < |AB| + |AC| ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir. ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD| köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha küçük ve çevrenin yarısından daha büyük olmak zorundadır. İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından |DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| toplamından daha büyüktür. 

50 AÇI KENAR BAĞINTILARI 7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için; Eğer ABC üçgeninin çevresi verilirse Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı verilirse

51 DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde, m(A) = 90° [BC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır.

52 PİSAGOR BAĞINTISI Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde  m(A) = 90° => a^2=b^2+c^2

53 ÖZEL DİK ÜÇGENLER (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunlukları  ( ) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. ( ), ( ), … gibi ( ) Üçgeni Kenar uzunlukları ( ) sayıları ve bunların katı olan bütün  üçgenler dik üçgenlerdir.  ( ), ( ), … gibi.  Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir. Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

54 3. İkizkenar dik üçgen ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = a2
m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların 2 katıdır.

55 4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,30° nin karşısındaki kenarın 3 katıdır.

56 5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar a3  olur.

57 6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni   (15° - 75° - 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur.  Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır. (22,5 – 67,5 – 90 ) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 22.h olur. 

58 ÖKLİT BAĞINTILARI h^2 = p.k b^2 = k.a a.h =b.c c^2 = p.a
Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır. Yüksekliğin hipotenüste ayıldığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir. h^2 = p.k b^2 =  k.a a.h =b.c c^2 = p.a

59 İKİZKENAR ÜÇGEN İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

60 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|
|BH| = |HC| m(B) = m(C)

61 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC] m(B) = m(C)

62 Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC) m(B) = m(C) İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

63 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir
İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

64 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

65 İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir
İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

66 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.   |AB| = |AC|  =>    |LC| = |HP| + |KP|

67 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.

68 EŞKENAR ÜÇGEN Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc 

69 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik
Bu durumda eşkenar üçgenin alanı  yükseklik cinsinden alan değeri Alan(ABC) = 

70 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende; 

71 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

72 ÜÇGENDE ALAN 1. TEMEL ALAN FORMULU Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir. Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.

73 2. Dik Üçgende Alan Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. 3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı; ABC üçgeninde m(ABC) = α |AB| = c |BC| = a

74 a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;
eşitliği vardır.

75 b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.

76 c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.

77 4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c Çevrenin yarısına u dersek

78 5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun. Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz. A(ABC) =u.r ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|

79 6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.

80 Orta Dikme Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının[FO, b kenarının[DO, c kenarının orta dikmeleridir.O noktası çevrel çemberin merkezidir.

81 7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.

82 8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir.

83 ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

84 AÇIORTAY Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir. AOB bir açı, [OC açıortay m(AOC) = m(COB) |AC| = |CB| AOC ve BOC eşüçgenler olduğundan|OA| = |OB|

85 İç Açıortay Bağıntısı ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan olur .....(1) ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir. olur .....(2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den olur

86 İç Açıortay Uzunluğu ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
dir. Buradan b.y=c.x eşitliği de elde edilir. ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna nA dersek

87 Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.

88 Dış Açıortay Uzunluğu ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna nA dersek

89 İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı m(DAE)=90°
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için 2a + 2b = 180° a + b = 90° dir. [DA] ^ [AE] Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir. P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

90 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
Ağırlık Merkezi Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir. ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.

91 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler. ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır.

92 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.

93 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

94 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

95 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

96 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay|AG|=|DC|=|BD|

97 Kenarortayların Böldüğü Alanlar
a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler. b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

98 Kenarortayların Böldüğü Alanlar
ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x|KG| = x |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır. [FE] //[BC]2[FE]=[BC] a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur. b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.

99 Kenarortay Uzunluğu 5. ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğuna Va dersek Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

100 Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

101 1. Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. ABC ve DEF üçgenleri için; oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik  katsayısı denir.  k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir. ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

102 2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir. şekilde verilen üçgenlerde İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.  m(C)=m(F)

103 3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir. ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

104 4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir. m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F)

105 5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş  açılar eş  olacağından   ADE ~ ABC dir.  Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]  |AK|=2|KB||AL|=2|LC|

106 6. Tales Teoremi Paralel doğrular kendilerini kesen  doğruları aynı oranda bölerler.  d1 // d2 // d3  doğruları için  [AB] // [DE] ise oluşan içters  açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan, eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

107 7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır. ABC ~DEF  Burada k ya benzerlik oranı denir.

108 a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

109 b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

110 c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

111 d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

112 e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.

113 f. Alanlar oranı Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

114 g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.
Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar. [AB] // [EF] // [DC]  benzerlik özelliklerinden,  |AB|.|FC|=|DC|.|BF|

115 8. Özel Teoremler a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise b. Seva ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,  

116 AÇILAR VE ÜÇGENLER

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186