Chapter 9: Box-Jenkins (ARIMA) Methodology

... konulu sunumlar: "Chapter 9: Box-Jenkins (ARIMA) Methodology"— Sunum transkripti:

1 Chapter 9: Box-Jenkins (ARIMA) Methodology

2 ARIMA Models The Box-Jenkins methodology refers to a set of procedures for identifying, fitting and checking ARIMA models with time series. The AR in ARIMA refers to Autoregressive models The MA in ARIMA refers to Moving Average models The I in ARIMA refers to the number of lags used in differencing the data

3 Autoregressive Models
Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 … + pYt-p + et, where t = coefficients to be estimated and p = number of lags The number of lags (p) used in the model is a parameter and its value must be determined by the user. An autoregressive model with a lag of two will be denoted as AR(2).

4 Moving Average Models Yt =  + et - w1et-1 - w2et-2 - … wqet-q,
where wt = coefficients to be estimated, and et are the error terms The number of error terms used in the model, q, is a parameter and its value must be determined by the user. A moving average model with two error terms will be denoted as MA(2).

5 ARMA models Combining AR and MA models, an ARMA(p,q) model is as follows: Yt = 0 + 1Yt-1 + 2Yt-2 … + pYt-p + et, - w1et-1 - w2et-2 - … wqet-q,

6 Differences Differences of the time series may be used if it is not stationary. In some cases, a difference of the differences may be necessary before a stationary data is obtained. We use the notation “d” to indicate the number of times the time series is differenced to obtain a stationary series. ARIMA Notation: ARIMA(p,d,q) = An ARIMA model with the time series differenced d times as the response variable with a p-order autoregressive model mixed with q-order moving average model.

7 Model Identification We use ACF (Autocorrelation function) and PACF (Partial Autocorrelation function) . PACF measures the autocorrelation between Yt and Yt-k, when the effects of other time lags, 1, 2, .., k-1, are removed

8 AR(1):Yt=0+ 1Yt-1+t ACF PACF  -1 1 k -1 1 k  -1 1 k -1 1 k  
k -1 1 k  -1 1 k -1 1 k   8

9 AR(2):Yt=0+ 1Yt-1+ 2Yt-2 +t
ACF PACF  -1 1 k -1 1 k   -1 1 k -1 1 k    9

10 MA(1):Yt=+t- 1t-1 ACF PACF -1 1 k -1 1 k   -1 1 k -1 1 k  
k -1 1 k   -1 1 k -1 1 k   10

11 MA(2):Yt=+t- 1t-1 - 2t-2
ACF PACF -1 1 k -1 1 k    -1 1 k -1 1 k    Pazarlıoğlu-Güneş 11

12 ARMA(1,1):Yt= 0+ 1Yt-1 +t- 1t-1
Otokorelasyon Kısmi Otokorelasyon -1 1 k -1 1 k   Pazarlıoğlu-Güneş 12

13 ARMA(1,1):Yt= 0+ 1Yt-1 +t- 1t-1
Auto Correlation Partial Auto Correlation -1 1 k -1 1 k   13

14 AR, MA or ARMA? Autocorrelations Partial Autocorrelations MA(q)
Cut off after the order of q of the process Die out AR(p) Cut off after the order of p of the process ARMA(p,q)

15 Model Building Strategy
Step 1: Model identification Plot the time series/ACF and examine whether it is stationary. If not, try some transformation and or differencing, until the data seems stationary. Compare ACF and PACF of the time series data and identify the ARIMA model to be used. To judge the significance of autocorrelation and partial autocorrelation, the corresponding sample values may be compared with ±2/ . Use the principle of parsimony. Step 2: Model estimation Use SPSS or other package to estimate the model parameters. t-test may be used to judge whether a parameter may be dropped from the model.

16 Model Building Strategy
Step 3: Model checking The model will be considered adequate if the residuals are random. The following three procedures may be used. Residual plots as in regression may be used, rk(e) must be within ±2/ of zero, and L-Q test may be used to test whether a group autocorrelation of lags 1, 2,.. m, is significant. Step 4: Model forecasting SPSS generates forecasts for a given number of future periods.

17 Model Selection Criteria
Akaike Information Criterion (AIC) selects the best model from a group of candidate models as the one that minimizes Bayesian Information Criterion (BIC) selects the best model e that minimizes where σ2 residual variance

18

19

20 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
-0.23 -0.2 -1.93 -0.97 0.1 0.63 -0.21 1.87 0.83 -0.62 0.48 0.91 -0.33 2.27 -0.83 -0.36 0.46 -0.03 2.12 -1.13 0.74 1.31 0.61 -2.11 2.22 -0.16 0.86 -1.38 0.7 0.8 1.34 -1.28 -0.04 0.69 -1.95 -1.83 0.9 -0.24 2.61 0.31 -0.63 1.79 0.34 0.59 1.13 0.08 -0.37 0.6 0.71 -0.87 -1.3 0.4 0.15 -0.84 1.45 1.48 -1.19 -0.02 -0.11 -0.28 0.98 1.27 -0.51 -0.79 -1.51 -0.54 -0.8 -0.41 1.86 0.89 -0.76 0.49 0.07 -1.56 1.07 1.58 1.54 0.09 2.18 0.2 -0.38 -0.96 20

21 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
Tanımlama Süreci verilerin dağılma grafiği, otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarını incelemekle başlar. 21

22 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
22

23 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
Hem zaman serisi grafiğine hem de otokorelasyon fonksiyonları serinin durağan olduğunu göstermektedir. Sadece 1.gecikmedeki otokorelasyon katsayısı anlamlıdır. Diğer gecikmelerdeki otokorelasyon katsayılarının her biri küçük olup hata sınırları içersindedir. Örnek otokorelasyon katsayıları birinci gecikmeden sonra kesilmektedir. İlk üç Örnek kısmi otokorelasyon katsayılarının hepsi negatif olup sıfıra doğru azalmaktadır. 23

24 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
Örnek otokorelasyon katsayıları ile Örnek kısmi otokorelasyon katsayılarının davranışı MA(1) teorik davranışa benzemektedir. Otokorelasyon Kısmi Otokorelasyon -1 1 k -1 1 k   24

25 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
MA(1):Yt=+t+ 1t-1 25

26 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
ARIMA Model: sapma Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 26

27 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
Relative change in each estimate less than Final Estimates of Parameters Type Coef SE Coef T P MA Constant Mean Number of observations: 90 Residuals: SS = (backforecasts excluded) MS = DF = 88 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value Forecasts from period 90 95% Limits Period Forecast Lower Upper Actual 27

28 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
28

29 ATR şirketi üretim hedefleri Öngörüsü
Gözlem no Sapma tahmin hata 1 -0.23 2 0.63 3 0.48 4 -0.83 5 -0.03 . 86 -0.51 87 -0.41 88 0.49 89 1.54 90 -0.96 91öngörü 92öngörü 0.4335 0.4335 0.0000 0.1513 29

30 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
235 200 250 270 275 320 290 225 240 205 115 220 125 265 355 400 295 245 190 285 170 185 175 370 280 310 255 340 215 300 260 180 195 30

31 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
31

32 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Hisse seneti fiyatlarının hem zaman serisi grafiğine hem de otokorelasyon fonksiyonları serinin durağan olduğunu göstermektedir. Zaman serisi grafiği yaklaşık 250 birim lira civarında değişmektedir. Autocorrelation Function: ISC Lag ACF T LBQ 1.gecikmedeki otokorelasyon katsayısı ile 2.gecikmedeki 0.33 otokorelasyon katsayısı anlamlıdır. Örnek otokorelasyon katsayıları ikinci gecikmeden sonra kesilmektedir. Diğer gecikmelerdeki otokorelasyon katsayılarının her biri küçük olup hata sınırları içersindedir. 32

33 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Lag PACF T İlk örnek kısmi otokorelasyon katsayısı negatif olup sıfıra doğru azalmaktadır. 33

34 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Örnek otokorelasyon katsayıları ile Örnek kısmi otokorelasyon katsayılarının davranışı AR(2) teorik davranışa benzemektedir. -1 1 k -1 1 k    Pazarlıoğlu-Güneş 34

35 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
AR(2):Yt=0+ 1Yt-1+ 2Yt-2 +t 35

36 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Örnek otokorelasyon katsayıları ile Örnek kısmi otokorelasyon katsayılarının davranışı AR(2) teorik davranışa benzemektedir. ARIMA Model: ISC Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 36

37 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Final Estimates of Parameters Type Coef SE Coef T P AR AR Constant Mean Number of observations: 65 Residuals: SS = (backforecasts excluded) MS = DF = 62 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value Forecasts from period 65 95% Limits Period Forecast Lower Upper Actual 37

38 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
38

39 ISC şirketi hisse senetleri kapanış fiyatları
Gözlem no ISC tahmin hata 1 235 2 320 50.158 3 115 4 355 37.229 5 190 -5.006 . 61 340 62 63 250 64 300 65 195 66öngörü 67öngörü 287.4 234.5 39