EŞİTSİZLİK AKSİYOMLARI

... konulu sunumlar: "EŞİTSİZLİK AKSİYOMLARI"— Sunum transkripti:

1 EŞİTSİZLİK AKSİYOMLARI
Eşitsizlik çözümleri denklem çözümlerinde olduğu gibi eşitsizliğin her iki tarafına aynı miktarların eklenip çıkarılmasını gerektirebilir.Aksiyomların eşitsizliklerde kullanım şekli farklı boylardaki çubuklar veya dengede olmayan bir terazi üzerinde yapılan deneylerle gösterilebilir. ETKİNLİK Farklı boyda iki çubuğun seçilmesi ve üzerine x ve y yazılması. Hangisinin uzun olduğunun tespit edilmesi ve sonucun x < y şeklinde yazılması. Her iki çubuğa aynı miktarların eklenmesi ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Sonucun ;   x + 3 < y + 3 şeklinde ifade edilmesi.

2 Terazinin her iki kefesine çok miktarda malzeme konması ve bir taraf daha ağır olacak şekilde bırakılması. Her iki taraftan sayarak aynı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bilye) alınması, eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi Her iki tarafa aynı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bilye) konması ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Sonucun sınıfça tartışılması ve "bir eşitliğin her iki tarafına aynı miktarların eklenip çıkarılmasıyla eşitsizliğin bozulmayacağı" sonucuna ulaşılması. Bilindiği gibi eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayı ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir.

3 EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI
ÖRNEK : Bir mağaza elindeki bir kısım mala kampanya fiyatı uyguluyor.Satış fiyatlarını, alış fiyatından az olmamak koşulu ile, alış fiyatının 3 katından 15 lira eksik olarak belirliyor.Bu mağazada fiyatı kaç lira olan mallar kampanyaya dahil değildir. Alış fiyatı = x dersek , satış fiyatı=3x-15 olur. x>3x-15 koşuluna uygun mallar kampanya dışında tutulacaktır. x>3x-15 x+15>3x-15+15 x+15>3x -x+x+15>3x-x 15>2x 7,5>x

4 İKİNCİ DERECEDEN ÜÇ TERİMLİNİN İŞARETİNİN İNCELENMESİ
İkinci dereceden üç terimlinin genel şekli dir. Eğer yazılırsa ikinci dereceden bir denklem, yazılırsa ikinci dereceden bir fonksiyon elde edilir.Burada ikinci dereceden denklemin, fonk.grafiğinin Ox eksenini kestiği noktaları bulmak olduğu anlaşılmaktadır. ÖRNEK: Bir şans oyunu makinesi girilen x sayısı için puan kazandırıyor. Bu oyunda ödül almak için kazandığımız puanın negatif olması gerekiyor. Oyuncular kazanmak için hangi sayılar girilmelidir.

5 Bu fonksiyonların grafikleri ve işareti birlikte incelendiğinde fonksiyonun işaretinin pozitif veya negatif olmasının anlamını kavramaları kolay olur.Bunun için öğrencilerin tanıdıkları veya en azından aşina oldukları fonksiyonlardan yararlanılmalıdır.

6 İki zar birlikte atıldığında kaç durumda toplanan sayı, en az 10 olur
İki zar birlikte atıldığında kaç durumda toplanan sayı, en az 10 olur?"Bu problemin çözülebilmesi için birinci sayıya x, ikinci sayıya y denmesi ve x+y ≥ 10 eşitsizliğinin çözümünü gerektirir. Böyle bir eşitsizliği çözmek için muhtemel tüm durumların listesi yapılıp bunların içinden eşitsizliğe uygun olanların seçilmesi gerekir. Tüm durumların listesi; { (1,1) , (1,2) , (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) } Bunların içinden { (4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) } çözüm kümesidir. Bu eşitsizliğin çözümünü grafikle göstermek için elde edilen bu noktaların analitik düzlemde işaretlenmesi gerekir.

7 LİNEER CEBİR Lineer cebir matematiğin vektörler, lineer dönüşümleri, denklem sistemleri ve matrisler konularını inceleyen alanıdır. Öğrencilerin önceki yıllardan; denklem sistemi çözmeyle ilgili bilgileri olduğundan, matris ve determinant bilgisi denklem sistemi ile ilgili bilgiler üzerine yapılandırılabilir.

8 Lineer Denklem Sistemleri ve Yok Etme Yöntemi İle Çözüm
Ortak çözümü bulmak amacıyla birden çok denklemin bir araya getirilmesiyle elde edilen denklem kümesine , denklem sistemi adı verilir. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem ve birer denklem sistemidirler

9 Yok Etme Yöntemi ÖRNEKLER 1)
Yok etme yöntemi denklik aksiyomlarına dayanarak bilinmeyenlerden birini, yok etmek ( sonra başka birini ) ve bu yöntemle tek bilinmeyenli denkleme ulaşmak, onu çözmekle çözüme ulaşılır. ÖRNEKLER 1) Bir eşitliğin her iki yanına aynı miktarlar eklenip veya çıkarıldığında eşitlik bozulmaz aksiyomuna dayanarak taraf tarafa toplarsak; Elde edilir, sonra herhangi denklemlerden birinde x=4 yerine yazarsak y=1 olduğu bulunur.

10 Denklem Sisteminin Matrisler Yardımı İle Çözümü
ETKİNLİK Denklem sisteminin şifrelenmesi Denklem sistemini ; 1) 2) 1) Ve 2) şeklinde gösterebiliriz.

11 Öğrencilerle bu etkinlik üzerine tartışılır. Bu gösterim denklem
sisteminin matris formunda gösterimi olarak bilinir ve bazı ön Kabullerle anlam kazanır. Satır-sütun çarpımı ile satır bazında eşit yazma gibi iki temel kabul ile bu yazılımdan 1).form elde edilir. Sütun-sütun çarpımı ve satır bazında eşit yazma gibi iki temel kabul ile bu yazılımdan 2).form elde edilir. Ama literatür 1).form üzerine kuruludur. Matrislerde çarpma ile bu gösterim açılarak öğrencinin daha rahat anlaması sağlanır.Buna göre 1) formunda matris çarpımı yaptığımızda;

12 ETKİNLİK: DENKLEM SİSTEMİ KURMA
Çözümü x=1, y=3 ve z= 5 olan bir denklem sistemi kurunuz ve matris formda gösteriniz ; Matris formda gösterimi;

13 Şeklinde matris gösterimi vardır
Şeklinde matris gösterimi vardır. Öğrenciler sınıfta tartışarak çözümü (1,3.5) olan farklı denklem sistemlerinin olduğunu ve sonsuz sayıda olabileceğini fark ederler.

14 ELEMENTER SATIR İŞLEMLERİ
Elemanter satır işlemleri bize ters çevrilebilir matrislerin tersinin bulunmasında,matrislerin rankının hesaplanmasında, lineer denklem sistemlerin çözümünde ve determinatların hesaplanmasında bize kolaylık sağlayan elemanter işlemlerdir. Denklem sistemlerinin matris formu üzerinde yürütülen elemanter satır işlemlerinin temel amacı denklem sistemindeki bir denklem yerine, aynı çözümü kabul eden, çözülmesi daha kolay bir denklem koymadır. Bir A matrisine uygulanan aşağıdaki işlemlere elemanter satır işlemleri denir.

15 A matrisinin herhangi iki satırının yer değiştirilmesi
A matrisinin herhangi bir satırının sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması ya da bölünmesi A matrisinin herhangi bir satırının belli bir katının diğer bir satıra ilave edilmesi KATSAYILAR MATRİSİ Denklem sisteminin matris gösterimi; Şeklindeki gösterimi yerine daha ileri bir şifreleme ile Şeklinde yazarız. Buna katsayılar matrisi denir.

16 Biçiminde yazılabilir. Eğer katsayılar matrisi elemanter satır
Daha genel olarak; katsayılar matrisi= Biçiminde yazılabilir. Eğer katsayılar matrisi elemanter satır işlemleri İle …..(1) bu forma getirilebilirse matrise bakarak Doğrudan diyebiliriz. . Bu formu tekrar denklem sistemi formunda yazarsak bunu diyebiliriz

17 ÖRNEK : denklem sisteminin çözüm kümesini
bulalım. Denklem sisteminin matris formu Katsayılar matrisi ‘ dir. Elemanter satır işlemleri ile çözüm kümesini bulalım. Matrisi (1) formu haline getirebilmek için; 1) İkinci satır ile birinci satır toplayıp birinci satır yerine yazalım; olur. Bu işlem yok etme yönteminde taraf tarafa toplamaya denk gelir. ( 5x=20) 2) İlk terimi 1 dönüştürmek için ilk satır 5 ile bölünür.

18 olur. Bu işlem yok etme yönteminde x=4 denk gelir
olur. Bu işlem yok etme yönteminde x=4 denk gelir. 3) İkinci satırdaki 3’ ü 1 yapmak için birinci satırı (-3) ile çarpıp ikinci satırla toplayıp ikinci satırda yazalım; olur. (-1) ‘ leri 1 yapmak için ikinci satır (-1) ile çarpılmalı. Buradan matris (1) formuna gelmiş olur. Burada dir. Öyleyse çözüm x=4 ve y=1 deriz.

19 Burada açığa kavuşturulması gereken nokta katsayıları sıfırlaştırma işlemine nereden başlanacağıdır. İki bilinmeyenli denklem sisteminde bu oldukça kolaydır. Nereden başlarsak başlayalım sonuç değişmez. Üç bilinmeyenli denklemlerde ise öğrenciler kendi deneyimlerine bakarak karar verebilirler. şeklinde üç bilinmeyenli denklem sis. alalım. Katsayılar matrisi aşağıdaki gibidir. Katsayılar matrisine elemanter satır işlemleriyle

20 Ederiz. …..(2) formuna ulaşarak sistemin çözümünü elde
Peki katsayılar matrisini sıfırlama işlemine üst üçgenden başlanacaksa sırası İle alt üçgenden başlanacaksa sırasıyla yapmak Uygun düşer ‘ü sıfırlamak için ortadaki terimlerden yararlanılabilir. ÖRNEK: sisteminin katsayılar matrisi; ‘dir.

21 Denklem Sisteminin Ters Matris Yardımı İle Çözümü
Eğer bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit ve A katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise, o taktirde AX=B lineer denklem sisteminin çözümü vardır.

22 AX=Y denklem sisteminin çözümünü bulmak için (detA 0) Eşitliğin her iki yanını ile çarpacak olursak; elde edilir.Böylece X vektörünü bulmuş oluruz.Bu Çözüm A katsayılar matrisinin tersinin bulunması ihtiyacını doğurur. 1.YOL: olduğundan, matrisin tersinin elemanları ile gösterecek olursak; eşitliği yazılır.Buradan matris çarpımı yaparak hesaplarız.

23 2.YOL :Elemanter satır işlemleri ile
katsayılar matrisinin elemanter satır işlemleri ile Birim matris haline dönüştürülmesidir. 3.yol : Kofaktör yardımı ile Tersi aranan matrisin elemanlarının yerine , elemanların kofaktörleri (eş çarpanları) nın yazılması ile elde edilen matrise kofaktörler matrisi denir.Her bir elemana karşılık gelen kofaktör; ile hesaplanır.Yani matris üzerinde elemanın bulunduğu satır Sütun silinerek kalan matrisin determinantıyla çarpılmasıdır. matrisinin kofaktörünü bulalım;

24 ‘ dir. Yani kofaktörler matrisi= şeklindedir.Bu kofaktörler Matrisinin transpozuna ek matris ( adjointi) denir.EK matrisin ana matrisin determinantına bölünmesi, başka deyişle İle çarpılması suretiyle ters matris ( matrisin tersi ) bulunur. matrisinin kofaktörler matrisi = , kofaktörler Matrisin transpozu yani ek matrisi; ‘dir. Yani

25 O halde çözüm ; ‘ den x=4 , y= 1 ‘dir
O halde çözüm ; ‘ den x=4 , y= 1 ‘dir. ÖRNEK: ters matris yöntemi ile çözelim. ‘ dir. Kofaktörler matrisi tanımlayalım;