ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI

... konulu sunumlar: "ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI"— Sunum transkripti:

1 ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI

2 Kenarortay Bağıntıları
Kenarortay Nedir ? Ağırlık Merkezi Olma Şartları Kenarortay Uzunluğu Alan Özellikleri Çözümlü Sorular

3 Kenarortay Nedir? Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına KENARORTAY denir. A [AD] kenarortaydır. |BD|=|DC| C B D [ Örnek 1 ] [ İleri ] [ Menü ]

4 Kenarortay Nedir? Bir üçgende üç kenarortay vardır. Bunların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir. Kenarortaylarda köşeden ağırlık merkezine kadar uzunluk 2 birim, ağırlık merkezinden kenara kadar 1 birim oranı vardır. A 2x F E z y G 2y 2z x C B H [ Örnek 1 ] [ Geri ] [ Menü ]

5 Örnek 1 |BE| ve |AD| kenarortay ve |AK|=2|BK| ise |AD|+|BE|=? A E 3
A) 35 B) 31 C) 27 D) 24 E) 18 K B D C [ Çözüm 1 ] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

6 Çözüm 1 |AD| ve |BE| kenarortay olduklarından K noktası
ağırlık merkezidir. |BK|=2|KE| ve |AK|=2|KD| |BK|=2.3=6 verilerden |AK|=2|BK|  |AK|=2.6=12 |KD|=|AK|/2=6 |AD|+|BE|=18+9=27 |AD|=18 ve |BE|=9 Cevap : C A E 3 K B D C [ Örnek 1 ] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

7 Ağırlık Merkezi Olma Şartları
2x y E 2x 2y K K x x B B D C D C A A 2x K F G x 2x x K B B C H C D Dört şekilde de K noktası ağırlık merkezidir. [ Örnek 2] [ İleri ] [ Menü ]

8 Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.
C D [ Örnek 2] [ Geri ] [ Menü ]

9 Örnek 2 ABC dik üçgen |AB|=x, |AC|=6, |BD|=|DC|, |AD|=5 |AB|= x =? A x
A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6 D C [ Çözüm 2] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

10 Çözüm 2 A AD hipotenüse ait kenarortay olduğundan |AD|=|BC|/2
5=|BC|/2 ise |BC|=10 ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısından |BC|2=|AB|2+|AC|2 102=x2+62 x2=64 x=8 Cevap : B x 6 5 B D C [ Örnek 2] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

11 Kenarortay Uzunluğu 2Va2=b2+c2-(a2/2) 2Vb2=a2+c2-(b2/2)
2Vc2=a2+b2-(c2/2) Va 4(Va2+Vb2+Vc2)=3(a2+b2+c2) B C D [ İspatı ] [ Örnek 3] [ Menü ]

12 Kenarortay Uzunluğu Kenarortay Teoreminin İspatı ABH de c2=h2+(a/2-x)2
ACH de b2=h2+(a/2+x)2 b2+c2=2h2+a2/4-ax+x2+a2/4+ax+x2 b2+c2=2h2+2x2+2a2/4 b2+c2=2(h2+x2)+a2/2 b2+c2=2Va2+a2/2 2Va2=b2+c2-a2/2 bulunur. c b h Va B a/2-x x D a/2 C H [ Konuya Dön ] [ Menü ]

13 Örnek 3 ABC bir üçgen ve |AC|=|BC|=|CD|=4 |AB|=6 ise |AD|=x=? A A 4 6
A) √5 B) √12 C) √10 D) √8 E) 6 A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6 B C D 4 4 [ Çözüm 3] [Konuya Dön ] [ Menü ]

14 Çözüm 3 ABC de |AD|=x kenarortay olduğundan 2x2=b2+c2-a2/2
Cevap : C A 4 6 x B C D 4 4 [ Örnek 3] [Konuya Dön ] [ Menü ]

15 Alan Özellikleri A A E S S G S S S B B D C D C A A S K F S S G S S S S
H C D [ Örnek 4] [ Menü ]

16 Örnek 4 ABC bir üçgen G ağırlık merkezi |AE|=2|EC|, A(AGE)=10 cm2
ise A(ABC)=? E G A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 60 A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6 B C [ Çözüm 4] [ Konuya Dön] [ Menü ]

17 Çözüm 4 A |AE|=2x ve |EC|=x dersek A(GEC)=A(AGE)/2 A A(GEC)=10/2=5 cm2
A(AGC)=10+5=15 cm2 Üç köşeyi ağırlık merkezi ile birleştirirsek A(ABC)=3A(AGC) olur. A(ABC)=3A(AGC)=3.15=45 cm2 Cevap : D A 2x E G x B C [ Örnek 4] [ Konuya Dön] [ Menü ]

18 Çözümlü Sorular Soru 1 A ABC bir üçgen m(BAK)=m(KAC) |AE|=|EB|=|AD|= 6
|EC| / |KC|=? 6 6 E D A) 4/3 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 729/512 6 K C B [ Çözüm 1] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

19 Çözümlü Sorular Çözüm 1 ABD üçgeninde AK açıortay olduğundan
|AB|/|BD|=|BK|/|KD|=12/6=2 olduğundan |KD|=x ise |BK|=2x olur. |CE| kenarortay ve |BK|/|KD|=2 olduğundan K ağırlık merkezidir.  |EC| / |KC| = 3/2 CEVAP : B A 6 6 E D x 6 K 2x C B [ Soru 1] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

20 Çözümlü Sorular Soru 2 A BAC bir dik üçgen
m(BAC)=90, G ağırlık merkezi |AB|=8, |AC|=15 ise |AG| = ? 15 8 G C B D A) 17/3 B) 12 C) 6 D) 18/5 E) 5√3 [ Çözüm 2] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

21 Çözümlü Sorular Çözüm 2 BAC dik üçgen olduğundan A
pisagordan |BC|=17 çıkar. G ağırlık merkezi ise AD kenarortaydır. BC hipotenüs olduğundan |AD|=|BC|/2 |AD|=17/2 ve |AG|=2|AD|/3 |AG|=2.(17/2) / 3 = 17/3 Cevap : A A 15 8 G C B D [ Soru 2] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

22 Çözümlü Sorular Soru 3 A ABC bir üçgen |AB| = 5, |AC| = 6,
|BD|=|DE|=|EC|=3, |AD|=x, |AE|=y x2+y2=? 6 5 y x A) 23 B) 12 C) 13 D) 25 E) 32 B C D E 3 3 3 [ Çözüm 3] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

23 Çözümlü Sorular Çözüm 3 ABE ve ADC üçgenlerinde kenarortay teoremini uygularsak 2x2=52+y2-62/2 2y2=62+x2-62/2 taraf tarafa toplarsak x2+y2= x2+y2=25 Cevap : D A 6 5 y x B C D E 3 3 3 [ Soru 3 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

24 Çözümlü Sorular Soru 4 A ABC bir dik üçgen m(BAC)=90 G ağırlık merkezi
|AD|=Va, |BE|=Vb, |CF|=Vc, Va2+Vb2+Vc2=54 İse |BC|=? F E G B C A) 6 B) 8 C) 5 D) 10 E) 7 D [ Çözüm 4] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

25 Çözümlü Sorular Çözüm 4 |AB|=c, |BC|=a, |AC|=b olsun.
Kenarortay teoreminden 4(Va2+Vb2+Vc2)=3(a2+b2+c2) b2+c2=a2 olduğundan 4.(54)=3(2a2) 2a2=72 a2=36 a=6 Cevap : A A F E G B C D [ Soru 4 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

26 Çözümlü Sorular Soru 5 A |AE|=|EC| |BD|=2|DC| G ağırlık merkezi
A(DGEC)=25 cm2 ise A(ABC)=? E G C A) B) 60 C) 75 D) 80 E) 90 D B [ Çözüm 5] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

27 Çözümlü Sorular Çözüm 5 |AE|=|EC|=x, |BD|=2|DC|=2y olsun.
Üçgen alanları şekildeki gibi olur. Ağırlık merkezinin özelliğinden A(GAB)=A(GBC)=A(GAC)=6S olur. A(DGEC)=2S+3S=5S=25  S=5 A(ABC)=18S=90 olur. Cevap : E A x E 3S 6S G x 3S 4S 2S C D y B 2y [ Soru 5 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

28 Çözümlü Sorular Soru 6 A |AB|= 2√3 |AC|= 2√2 |AD|= √5 [AD] kenarortay
ise A(ABC)=? 2√2 2√3 √5 C D B A) 3√5 B) 2√7 C) 4√2 D) 6√3 E) 2√6 [ Çözüm 6 ] [ Önceki Soru ] [ Menü ]

29 Çözümlü Sorular Çözüm 6 Kenarortay teoreminden 2Va2=b2+c2-a2/2
Buradan |BC|=2√5 çıkar. Buna göre |BC|2=|AB|2+|AC|2 çıktığından m(BAC)=90 dir. A(ABC)=|AB|.|AC|/2=(2√2).(2√3)/2 A(ABC)=2√6 olur. Cevap : E A 2√2 2√3 √5 C D B [ Soru 6 ] [ Menü ]