Sapma (Dağılma) ölçüleri

... konulu sunumlar: "Sapma (Dağılma) ölçüleri"— Sunum transkripti:

1 Sapma (Dağılma) ölçüleri
Mutlak Sapma Ölçüleri Değişim aralığı Kartil ve Desil aralığı Ortalama mutlak sapma Standart sapma ve Varyans Nispi sapma ölçüleri Değişim Katsayısı

2 II. Sapma ölçüleri Bir veri setini meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli karakteristiklerinden biridir. Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir. Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma ölçüleri arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede veri setindeki dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir.

3 II.1. Mutlak Dağılma Ölçüleri
Mutlak dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi ölçüldüğü birim cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar. 1.1. Değişim Aralığı Gözlem değerlerinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark olup, verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir. R = Xmax – Xmin Xi : 12,15,20,30,50,52,58,70,90 olan bir serinin değişim aralığı R=90-12 =78 olur . Yani gözlem değerleri 78 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. Bu dağılım ölçüsü oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı olması sebebiyle serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalması zayıf yönünü oluşturur. Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.

4 1.2) Kartil ve Desil Aralığı
Bilindiği gibi değişim aralığı serideki sadece iki uç değeri dikkate almakta, dolayısıyla aşırı değerlerin etkisi altında kalmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kartil ve desillerden faydalanılmaktadır. Kartil ve desil aralıkları kullanılarak gözlem değerleri için daha tutarlı değişme aralığı belirlenmiş olacaktır. Kartil aralığı 3. kartil ile 1.kartil arasındaki fark olup serinin orta bölgesindeki %50’lik gözlem kümesinin değişim aralığını verir. Q = Q3 – Q1 şeklinde belirlenir. Desil aralığı ise 9. desil ile 1.desil arasındaki fark olup, her iki uçtaki %10 gözlem değeri haricinde kalan %80 lik gözlem değerinin değişim aralığını verir. D = D9 – D1 şeklinde belirlenir.

5 Örnek: Bir işletmede belli bir parçayı üreten işçinin bu parçayı üretim süresi gözlemlenmiş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre parça üretim süresinin; a) Değişim aralığını b) Kartil aralığını c) Desil aralığını bulunuz. Çözüm: a) R=Xmax – Xmin R = = 30 dakika b) Q = Q3 – Q1 idi Q3 için sıradaki değer Q3 dür. . Bu değer sınıfındadır. Benzer şekilde bulunur. Şu halde kartil aralığı Q = 41, = 4,76 dakika olur. Üretim Süresi Parça Sayısı fi 30-35 10 35-37 30 40 37-40 80 40-42 35 115 42-50 20 135 50-60 5 140

6 c) D=D9-D1 idi. D1 için olup D1 35-37 sınıfındadır
c) D=D9-D1 idi. D1 için olup D sınıfındadır. Bu sınıf içindeki değeri; D9 için sıradaki değer olup sınıfındadır. Bu sınıf içindeki D9 değeri şöyle bulunur. Desil aralığı ise D = 46,4-35,27 = 11,13 dakika olur. Burada aşırılıklar yok edildiğinden gözlem değerlerinin ortalamaya daha yakın dağıldıkları anlaşılmaktadır. Bununla birlikte yukarıda anlatılan sapma ölçüleri sadece iki değere bağlı olduklarından serideki bütün değerlerin sapmasını göstermekten uzaktır. Veri setindeki bütün değerlerin merkez noktadan sapmalarını gösterecek başka ölçülere ihtiyaç vardır. Bu amaçla ortalama mutlak sapma ve standart sapma ölçülerinden faydalanılır.

7 1.3. Ortalama (mutlak) Sapma
Bilindiği gibi sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir. Bu durumda sapmalar serisinin ortalaması da sıfır olacağından bir sapma ölçüsü elde etmek mümkün değildir. Serinin toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Çünkü mutlak sapmalar serisinin toplamı sıfırdan büyük olacaktır Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır.

8 Ortalama (mutlak) sapma formülleri
Ortalama sapmayı şöyle formüle edebiliriz. Basit Seride Tasnif Edilmiş Seride Gruplanmış Seride

9 Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz. Mamul Sayısı (Xi) Gün Sayısı (fi) fi.Xi 33 2 66 -3,5 7 34 5 170 -2,5 12,5 35 9 315 -1,5 13,5 36 30 1080 -0,5 15 37 20 740 0,5 10 38 16 608 1,5 24 39 195 2,5 40 3 120 3,5 10,5 Toplam 90 3286 105 Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 1,167 adet/gün

10 Örnek: Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere göre etkinlik sürenin ortalama sapmasını bulunuz. Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 2,68 saat Etkin.Sür(saat) Hast.Say mi fi.mi 2 - 5 10 3,5 35 -5,8 58 5 - 8 30 6,5 195 -2,8 84 8 - 12 50 500 0,7 16 256 6,7 107,2 Toplam 106 986 284,2 Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde ölçmektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistik analizde kullanılması mümkün olamamaktadır.

11 1.4-Standart Sapma Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilmektedir. Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. Yani gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalamasına standart sapma denir. Standart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütle ve örnek standart sapması için aşağıdaki formüller kullanılır.

12 Standart sapma formülleri
Aşağıda farklı seri ve veri türü için standart sapmanın formülleri verilmiştir. Yukarıdaki formüllerde örnek verileri için standart sapma formüllerinde paydada (n-1) serbestlik derecesi kullanılmıştır. Örnek hacmi büyük olduğunda bu düzeltmeye ihtiyaç kalmaz. Basit seri Kütle Örnek Tasnif edilmiş seri Gruplanmış seri

13 Örnek: Bir beyaz eşya servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin dağılımı ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz. Servis isteği 3 -4 16 4 -3 9 5 -2 7 10 13 6 36 ∑Xi=42 ∑74 Aritmetik ortalama: Standart sapma s = 3,85

14 Doğru Cevap. Sayısı Öğr. Sayısı (fi) fi.Xi
Örnek: Doğru, yanlış şeklinde cevap şıkları olan 10 soruya öğrencilerin verdikleri doğru cevap sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin standart sapmasını ve varyansını bulunuz. Doğru Cevap. Sayısı Öğr. Sayısı (fi) fi.Xi 2 4 -4,69 43,99 3 12 -3,69 54,46 5 20 -2,69 36,18 10 50 -1,69 28,56 6 120 -0,69 9,52 7 30 210 0,31 2,88 8 160 1,31 34,32 9 90 2,31 53,36 3,31 32,87 Toplam 104 696 296,15

15 Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim
Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim. Çözüm için önce aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir. Aritmetik ortalamadan farklar serisi oluşturularak standart sapma elde edilir. Yukarıdaki verileri örnek kabul edersek standart sapma şöyle olur. Örnek hacmi büyük olduğundan kütle ve örnek varyansları arasında önemli bir fark çıkmamıştır.

16 Örnek: Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz. ÖSS Puanları Öğr.Sayısı mi fi.mi 90-110 10 100 1000 -37,9 14364,1 30 120 3600 -17,9 9612,3 50 140 7000 2,1 220,5 25 160 4000 22,1 12210,25 5 190 950 52,1 13572,05 Toplam 16550 49979,2

17 Standart sapmanın kısa yoldan hesaplanması
ifadesi açılarak yazılırsa; şeklinde yazılabilir. Bu ifade ayırarak yazılırsa olduğuna göre; olur. Buna göre; Standart sapma kısa yoldan şeklinde yazılır. Şu halde varyans kareli ortalamanın karesinden aritmetik ortalamanın karesinin farkına eşit olup, bunun kare kökü standart sapmaya eşit olur.

18 Örnek: Yukarıdaki ÖSS örneği için standart sapmayı kısa yoldan hesaplayınız.
Aritmetik ortalama Kareli ortalama Standart sapma ÖSS Puanları Öğr.Sa yısı mi fi.mi fi.mi2 90-110 10 100 1000 100000 30 120 3600 432000 50 140 7000 980000 160 4800 768000 20 180 648000 200 2000 400000 Toplam 150 22000

19 Standart sapmanın kısa yoldan hesabı
Kütle verisi için standart sapma (kısa yol formülünün farklı yazılışı) Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride Örnek verisi için standart sapma hesaplamak için payda N-1 serbestlik derecesi ile bölünür.

20 Örnek: Bir çekme halatının kopma kuvveti için yapılan deneyde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Kopma kuvvetinin standart sapmasını yukarıdaki formülden hesaplayınız. Kopma kuvveti Halat sayısı mi fimi mi2 fimi2 5 – 7 3 6 18 36 108 7 – 9 7 8 56 64 448 9 – 11 10 100 1000 5 12 60 144 720 Toplam 25 234 2276

21 Standart Sapmanın Özellikleri:
Matematik işlemler için uygun bir dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple en yaygın kullanılan ölçüdür. Standart sapmada aritmetik ortalama gibi istatistik analiz için temel ölçülerden birisidir. Genel olarak standart sapma ortalama sapmadan daha büyüktür. (OS < ) N1 ve N2 gözlemden oluşan iki serinin ortalamaları aynı ve sırayla varyansları 12 ve 22 olsun. Bu iki serinin birleştirilmiş ortak varyansı . şeklinde olur.

22 II. 2. Nispi sapma ölçüleri
Mutlak dağılma ölçüleri gözlem değerlerinin ifade edildiği birimler cinsinden sonuç vermekte idi. Mutlak dağılma ölçülerinin bu özelliği farklı birimlerle ifade edilen serilerin değişkenliklerini karşılaştırma imkanı vermemektedir. Diğer taraftan aynı birimle ifade edilen serilerde bile gözlem değerleri arttıkça mutlak dağılma ölçüleri de buna paralel olarak artmaktadır. Bu durumda aynı cins serilerin dağılımlarını da mutlak sapma ölçüleri ile karşılaştırmak çoğu zaman mümkün olamamaktadır. Nispi dağılma ölçüleri serideki gözlem değerlerinin ölçüldüğü birim farklılıklarını ortadan kaldırmakta ve değişkenliği yüzde(%) cinsinden ifade etmektedir. Böylece nisbi dağılma ölçüleri farklı birimlerle ifade edilen ve farklı büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte ifade etme imkanı tanımaktadır. Nispi sapma ölçüleri bu özellikleri dolayısıyla farklı birimlerle ölçülmüş, farklı büyüklük ve özelliklerdeki verilerin sapmalarının karşılaştırılmasına imkan sağlamaktadır

23 2.1. Değişim Katsayısı Standart sapmanın ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilmesine değişim katsayısı adı verilir. Bu tanıma göre standart sapmanın büyüklüğü aritmetik ortalamaya göre ifade edilmektedir. Bu ölçü farklı cins ve büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte (yüzde cinsinden) ifade etme imkanı sağlamaktadır. Ancak bu ölçünün bir dezavantajı bir üst sınırının olmamasıdır. Yani değişim katsayısı %100 ü geçen değerler de alabilmesi bu ölçünün zayıf tarafıdır. Eğer bu ölçünün üst sınırı %100 olsaydı verinin değişkenliğini daha iyi yorumlamak mümkün olurdu. Özellikle ortalaması sıfıra yakın seriler için kullanımı pek uygun değildir.

24 Örnek: Elektrik Tüketimi İçin: Değişim katsayısı:
Konutlarda tüketilen aylık elektrik ve su miktarları için aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Değişim katsayılarını bularak hangi grupta değişikliğin daha fazla olduğunu araştırın. Elektrik Tüketimi İçin: Değişim katsayısı: Elekt. Tük.(kw/h) Konut Say.(fi) mi fi.mi fi.mi2 50-100 10 75 750 56250 20 125 2500 312500 30 175 5250 918750 15 250 3750 937500 5 400 200 800000

25 Su Tüketimi İçin değişim katsayısı;
Su Tük.(ton/h) Konut Say. mi fi.mi fi.mi2 5-15 10 100 1000 15-25 30 20 600 12000 25-35 40 1200 36000 35-45 800 32000 45-65 55 550 30250 Su Tüketimi İçin değişim katsayısı; Bu verilere göre elektrik tüketiminin değişkenliği (DK=44,8) su tüketiminin değişkenliğine göre (DK=39.7) daha fazladır.

26 KAYNAKLAR 1. Yüksel, İ., ‘İstatistik ve Olasılık Ders Notları’, 2011.