MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR

... konulu sunumlar: "MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR"— Sunum transkripti:

1 MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
DİK ÜÇGENDE METRİK BAĞINTILAR HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ASIM ÜLKER LİSESİ

2     1. Pisagor ve öklid bağıntıları h a2 = b2 + c2 h2 = p . k
1. Pisagor ve öklid bağıntıları B H C p k A h b c a  a2 = b2 + c2  h2 = p . k  Pisagor Bağıntısı c2 = p . a  b2 = k . a Öklid Bağıntısı

3 2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir.
2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir. 3k 4k 5k 8k 15k 17k 5k 12k 13k 7k 24k 25k

4 ÖRNEK ÇÖZÜM 9 12 x = ? 5 y = ? 16 30 z = ? x = 5.3 = 15 y = 13
ÖRNEK 9 12 x = ? 5 y = ? 16 30 z = ? ÇÖZÜM x = 5.3 = 15 y = 13 z = 17.2 = 34 3.3 5 8.2 4.3 12 15.2

5 5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma!
ÖRNEK A B C x 3x – 3 13 x = ? mü diye sorgulamadan bunu yapma! ÇÖZÜM ( 3x – 3 )2 + x2 = 132  9x2 – 18x x2 = 169  10x2 – 18x = 169  10x2 – 18x – = 0  x = 5

6 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde ha + hb + hc = ? B H C 8 6 A ÇÖZÜM l BC l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni) A ( ABC ) = = 24 A ( ABC ) = = 24  ha . 10 = 48 hb = 6 hc = 8  ha = 4,8

7  ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde a2 + b2 + c2 = 128 ise
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde a2 + b2 + c2 = 128 ise a kaç birimdir ? B C b c A a ÇÖZÜM a2 = b2 + c2 a2 + b2 + c2 = 128 a a = 128 2 a = 128  a = 64 a = 8

8 5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma!
ÖRNEK . x 11 20 x = ? A B C D 13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! y ÇÖZÜM 400 = x2 + y2 + 22y +121 l AB l = y olsun. 400 = y +121  400 – 290 = 22y 132 = x2 + y2 110 = 22y  5 = y 202 = x2 + ( y +11 )2  x = 12 ( )

9 ÖRNEK l AC l = ? ÇÖZÜM y = 9 l AC l2 = 122 + 162 l AC l2 = 144 + 256 
ÖRNEK l AC l = ? 7 12 B C A 15 E y ÇÖZÜM y = 9 ( 3k – 4k – 5k ) l AC l2 = l AC l2 =  l AC l2 = 400  l AC l = 20 -

10    ÖRNEK Şekilde ABC üçgeninde x = ? ÇÖZÜM Birinci üçgende
ÖRNEK . A C B K 3 5 x 4 Şekilde ABC üçgeninde x = ?  4  ÇÖZÜM Birinci üçgende İkinci üçgende l BK l = 4 x2 = ( )2 ( 3 – 4 – 5 üçgeni ) x2 = 16 + 48 x2 = 64  x = 8

11  ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ? h ÇÖZÜM l AH l = h olsun
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ? B H C 3 6 A h ÇÖZÜM l AH l = h olsun h2 = l BH l . l HC l h2 = 3. 6  h2 = 18 h = 3

12 Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ?
ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ? 4 9 x A ÇÖZÜM x2 = l BH l . l BC l (Öklid Bağıntısı ) x2 = 4. 13 x2 = 52 x =

13 Şekilde verilenlere göre
ÖRNEK Şekilde verilenlere göre B H C x 4x c A ÇÖZÜM c2 = l BH l . l BC l (Öklid Bağıntısı ) c2 = x. 5x. c2 = 5x2 c =

14  ÖRNEK ÇÖZÜM l AD l = y olsun x2 = y . 6 42 = y . ( 6 + y )
ÖRNEK . 4 x 6 x = ? A B C D y ÇÖZÜM l AD l = y olsun x2 = y . 6 ( Öklid ) 42 = y . ( 6 + y ) x2 = ( Öklid ) x2 = 12 16 = 6y + y2 0 = y2 + 6y – 16  x = 2 y = 2

15 ÖRNEK l AK l = 4 . l BK l ise x = ? ÇÖZÜM a = 2 x
ÖRNEK B H C 4 x A l AK l = 4 . l BK l ise x = ? K 4a a ÇÖZÜM l AK l = 4 . l BK l ise l BK l = a , l AK l = 4a l BK l = a , l AK l = 4a l AH l2 = x2 = lAHl2 + lHCl2 42 = l BK l . l KA l x2 = 80 + l AH l2 = 16 = a.( 4a ) l AH l2 = 80 x2 = x2 = 121 a2 = 4 x = 11 a = 2

16 ÖRNEK B C b c A H ÇÖZÜM

17   ÖRNEK ÇÖZÜM = 3 4 c b b 4k = c 3k = 5k BC = 5k BC = 20 k = 4 A c b
ÖRNEK B C b c A H ÇÖZÜM = 3 4 c b b 4k  = c 3k = 5k BC ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) = 5k BC  = 20 k = 4

18 Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ?
ÖRNEK 1999 B H x A K 20 16 Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ? ÇÖZÜM B H x A K 20 16 l KH l = h = 12 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) 122 = l BK l . 16 ( Öklid Bağıntısı ) l BK l = 9 9 12 l BH l = x = 15 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

19 m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise
3. MUHTEŞEM ÜÇLÜ A B H C A B H C m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise  l AH l = l BH l = l HC ise  l AH l = l BH l = l HC l m ( A ) = 90°

20 Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise l AC l = ?
ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise l AC l = ? 10 A 13 ÇÖZÜM 10 B H C A 13 l BH l = l HC l ise muhteşem üçlü gereği l BH l = l HC l = l AH l = 13 l AC l = 24 ( 5k–12k–13k Üçgeni ) 13

21 Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ?
ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ? 7 A 10 ÇÖZÜM l AB l = 142 B H C 7 A 10 !? Muhteşem üçlü gereği 90° olmalı l AB l = 196 l AB l2 = 196 – 100 l AB l2 = 96 l AB l = 4

22  ÖRNEK l BD l = l DC l ise x = ? ÇÖZÜM l AD l = 10
ÖRNEK 6 8 x A B H D C l BD l = l DC l ise x = ? ÇÖZÜM 6 8 x A B H D C l AD l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) l BD l = l DC l ise [ AD ] kenarortaydır. 10 l BD l = l DC l = l AD l ( Muhteşem … ) l BH l = 10 – 6 = 4 4 10 x2 =  4 x2 = 80

23 ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
ÖRNEK B H C A 5 12 ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir? ÇÖZÜM B A H C 5 12 F K l BF l = l FA l = l FH l = 5 ; muhteşem… 12 5 l AK l = l KC l = l KH l = 12 ; muhteşem… l BC l = 26 ; 5k – 12k – 13k Üçgeni 5 Ç (ABC ) = = 60

24 4. ÖZEL DİK ÜÇGENLER  Dik üçgende 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.  60° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının katına eşittir. 60° 30° 60° 30° 2a 2a a a

25  İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan birinin katına eşittir. 45° a a a

26  67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri
 67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri A 67,5° 22,5° B C h H A 75° 15° B C h H   m ( B ) = 67,5° m ( B ) = 75° l BC l = h dır. l BC l = 4h dır.

27 = 3 10 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM B C 20 x A 60°
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? B C 20 x A 60° ÇÖZÜM = 3 10

28  ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM x 4 = x = 8 2 x 4 30° .
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? . 4 x 30° ÇÖZÜM x  4 = x = 8 2

29 Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? . 3 x 45° ÇÖZÜM . 3 45° 45° x = 3 3

30 ÖRNEK x = ? 12 ÇÖZÜM l HB l = 12 l AB l = x = 12 x A B H C 5 13 12
ÖRNEK A B H C 5 13 12 x x = ? 12 ÇÖZÜM l HB l = 12 ( 5 – 12 – 13 Üçgeni ) l AB l = x = 12 ( 45° – 45° - 90° üçgeni )

31 ÖRNEK l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ? ÇÖZÜM 2 A 67,5° 22,5° B C A 2 D 2
ÖRNEK C A 67,5° B 22,5° l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ? ÇÖZÜM A 2 D 2 45° 2 2 45° 67,5° 22,5° 22,5° B C

32    ÖRNEK l BD l = l DC l , l AD l = 5 cm İse l AB l kaç cm’ dir?
ÖRNEK . B D C A l BD l = l DC l , l AD l = 5 cm İse l AB l kaç cm’ dir? 5 y 3 x x ÇÖZÜM y2 + x2 + 3x2 = 52 l AB l = y olsun. x = 52 52 = x2 + y2  3x = 52 – 25 3x = 27  x2 = 9  x = 3 y2 + 4x2 = 52 y = 4 ; 3 – 4 – 5 üçgeni

33      ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM B H C 6 x A 60°
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? B H C 6 x A 60° ÇÖZÜM B H C 6 x A 60°   30°   60° 30° 

34 ÖRNEK ÇÖZÜM 2a 2a a a a 2 A B D C 45° 30° A B D C 45° 30°
ÖRNEK A B D C 45° 30° ÇÖZÜM A B D C 45° 30° 2a 2a a a 2 a

35 ÖRNEK 1996-ll ÇÖZÜM l AH l = 3 l BH l = 3 x = A l AB l = ? x 6 45° 30°
ÖRNEK 1996-ll 30° A B C x l AB l = ? 45° 6 ÇÖZÜM A l AH l = 3 ; 30° nin karşısındaki... 45° 60° x 6 l BH l = 3 ; İkizkenar dik üçgen 3 x = 45° 30° ; İkizkenar dik üçgen B 3 H C

36 İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ
İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

37 1. İkizkenar üçgende [ BC ] tabanına ait yükseklik ,açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır. A C l AH l = Va = na =ha B H 2. İkizkenarlara ait yükseklikler birbirine ,açıortaylar birbirine ve kenarortaylar birbirine eşittir. A B C A B C A hb hc nb nc Vb Vc hb = hc nb = nc B C Vb = Vc

38 3. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ikizkenarlardan birine ait olan yüksekliğe eşittir. F E B C A D Yani ; D  [ BC ] , l AB l = l AC l ise l DE l + l DF l = hb = hc

39 4. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı ikizkenarlardan birinin uzunluğuna eşittir. B F E A D C       Yani ; D  [ BC ] , l AB l = l AC l , DF // AC , DE // AB ise l DE l + l DF l = l AB l = l AC l = b

40 D  BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE  AC , DF  AB ise
5 İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları farkı ikizkenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. A B C D F E Yani ; D  BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE  AC , DF  AB ise l l DF l – l DE l l = hb = hc

41 ÖRNEK x = ? ÇÖZÜM l AD l = l DB l l CD l = 12 l MD l = 9 – 4 = 5
ÖRNEK 15 14 4 x x = ? ÇÖZÜM C l AD l = l DB l ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. 15 15 l CD l = 12 ; 5 – 12 – 13 üçgeni x 12 l MD l = 9 – 4 = 5 5 9 A 4 x = 13 M D 14 B ; 5 – 12 – 13 üçgeni 4 14

42 ÖRNEK ÇÖZÜM Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ? ;
ÖRNEK F E B C A D Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ? 5 3 30° ÇÖZÜM F E B C A D İkizkenarlara çıkılan dikmelerin toplamı ikizkenarlardan birinin yüksekliğine eşittir. ; hc = 3 + 5 = 8 30° hc= 8 l AB l = l AC l = 16 ; 30° nin karşısındaki kenar… 5 3

43 ÖRNEK l BC l = ? ÇÖZÜM l AH l = 2 l HC l = l BC l = A 120° 4 30° C B A
ÖRNEK 120° 30° A B C 4 l BC l = ? ÇÖZÜM A l AH l = 2 ; 30° nin karşısındaki ….. 60° 120° 60° 4 l HC l = 4 ; 60° nin karşısındaki … 2 l BC l = 30° 30° B H C

44 3 2 3  3 ÖRNEK l AB l = 2 ise l BC l = ? ÇÖZÜM l BD l 2 l BD l = 4 =
ÖRNEK l AB l = 2 ise l BC l = ? 105° 60° A B C ÇÖZÜM l BD l  A 2 l BD l = 4 = 2 105° 15° 4 3 = 3 2 2 l AD l = 2 3 2 60° 3 30° 15° l BC l = 4 + 2 B 4 D 2 3 C

45  ÖRNEK 1999 ÇÖZÜM M( AKB ) = 30° 8 x = x = 4 2
ÖRNEK 1999 30° x M L 6 2 B D A AL // MB , l AD l = 6 cm l BD l = 2 olduğuna göre l ML l = x kaç cm dir? ÇÖZÜM 30° x M L 6 2 B D A M( AKB ) = 30°  ; ( İçters açı ) 8  x x = x = 4 2 2 30° K

46 ÖRNEK 7 A D B C E 24 l DC l = 7br , l AD l = 24br , l AE l = l EB l ise l BD l =? ÇÖZÜM 7 A D B C E 24 İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır. l AC l = l BC l ; x + 7 x + 7 = 25 ; 7 – 24 – 25 Üçgeni x = 18 x

47 ÖRNEK ÇÖZÜM Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 102 = 6.( 12 + x )
ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 10 B A C D 12 x ÇÖZÜM 10 B A C D x 102 = 6.( 12 + x ) 6 12 E 6 100 = x 100 – 72 = 6x 28 = 6x 14 / 3 = x

48 EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZLLİKLERİ
EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZLLİKLERİ

49 1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar.
A B C 60° a ha na Va H 1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar. 2. Bütün yükseklik , açıortay ve kenarortay eşittir. Va = na =ha = x Vb = nb =hb = x Vc= nc =hc = x

50 [ MD ]  [ AB ] , [ DK ]  [ AC ] , [DN ]  [ BC ] ise
3. Eşkenar üçgende üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı , bir yüksekliğe eşittir. D A B C K N M h Yani ; [ MD ]  [ AB ] , [ DK ]  [ AC ] , [DN ]  [ BC ] ise l DK l + l DM l + l DN l = h =

51 [ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise
4. Eşkenar üçgende , üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklar toplamı, üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir. D A B C K N M    a Yani ; [ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise l DK l + l MD l + l DN l = a

52  ÖRNEK ABC eşkenar üçgen , l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK ABC eşkenar üçgen , l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ? B C D A x ÇÖZÜM l BC l = 2.l CD l = 2  A l CD l = 1 , l BC l = 2 60° l BH l = l HC l = 1 ; Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. 2 l AH l = ; 60° nin karşısındaki…. B 1 H 1 C 1 D 2

53     x = 2 ÖRNEK ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen
ÖRNEK ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen l AE l = 2.l EF l ve l FC l = 10 ise A B C E F l BF l = ? ÇÖZÜM A B C E F l AE l = 2.l EF l  l EF l = x , l AE l = 2x 2x 2 x + 10 3x =  6x = x + 10 x 60° x  5x = 10 60° 60° 30° x 10  x = 2

54 ÖRNEK  ÇÖZÜM l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm m( ADC ) = m ( BCD ) = 60°
ÖRNEK A l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm 60° m( ADC ) = m ( BCD ) = 60°  B ise l DC l = x kaç cm ’ dir? D C ÇÖZÜM A B C D 60° l DC l = x = = 9 2 60° E 30° 4 7 60° 5 5 5 60° 4 5

55   ÖRNEK 1997-l ÇÖZÜM Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler ,
ÖRNEK 1997-l A D B C Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler , E ÇÖZÜM A D B C E  l DC l = 2k , l DA l = 3k 3k 2k  30° 60° 4k k

56 ÖRNEK 1996-l C D O A B E L x Yandaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler , l CL l = l LB l l AO l = l OB l , [ DE ] // [ AB ] ve l DE l = 8 cm olduğuna göre l OL l = x kaç cm dir? D O A B C E L ÇÖZÜM l OC l = h olsun 30° x  8 Eşkenar üçgende yükseklik tanımı 30° x ; x 60° 60°

57 Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir. [ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ]
ÖRNEK Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir. [ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ] [DF ] // [ AB ] ve l ABl = 6 br ise l DF l + l GD l + l DE l = ? D A B C E F G ÇÖZÜM l DF l + l GD l + l DE l = l AB l = 6