3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY)

... konulu sunumlar: "3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY)"— Sunum transkripti:

1 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY)
Tüm toplu parametreli devrelerde, her t anında herhangi bir kesitlemeye ilişkin akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Teorem: Gauss Yüzeyleri için Düğümler için Kesitlemeler için KAY KAY KAY Tanıt: (1) (2) Gauss yüzeylerini düğümleri içerecek şekilde seç Düğümler için KAY (2) (3) Her kesitleme düğümleri iki gruba ayırıyor. Gruplardaki her düğüm için yazılan KAY’ları toplanırsa kesitleme için yazılan denklem elde edilir. (3) (1) Her kesitlemeye ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denklem kesitlemeye karşı düşen Gauss yüzeyine ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denkleme denk gelmektedir .

2 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? Hatırlatma Lineer Bağımsız Denklem Takımı ‘lerin belirlediği bilinmiyenli denklemin lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturduğunu nasıl anlarız? n m için sağlayan sıfırdan farklı ‘ler varsa bu denklem takımı lineer bağımlıdır. bazı denklemler diğerleri cinsinden m denklem lineer bağımlı ise ifade edilebilir. Örnek: Lineer bağımsızlar mı?

3 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? k. elemanın akımı i. düğümden dışarı ise k. elemanın akımı i. düğüme doğru ise k. eleman i. düğüme bağlı değil ise 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.d 2.d 3.d 4.d 5.d 9 bilinmiyenli 5 denklem var. Ø Boyutu ne? Aa i

4 sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız
bilinmiyenli denklem var ise lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturup oluşturmadıklarını nasıl anlarız? rankı inceleriz sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız Aa ‘nın rankı kaç? 2.d 3.d 4.d 5.d Boyutu ne? A Rankı ne?

5 İndirgenmiş düğüm matrisi A
Boyutu ne? A Rankı ne? İndirgenmiş düğüm matrisi A Ai=0

6 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur.
Teorem: nd düğümlü birleşik bir grafta nd-1 düğüm için yazılan KAY’ları lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur. Tanıt: nd -1 tane denklemden k tanesi lineer bağımlı olsun: Birleşik graf k düğüm ve nd –k düğümü ayrı iki grup olarak düşünelim. Bu düğüm gruplarını birleştiren bir graf elemanı mutlaka vardır. Bu graf elemanına ilişkin akım k denklemde sadece bir defa gözükecektir. Bu gruba bir düğüm bir denklem daha katıp aynısını yapsak.... Yazılan k denklemde bu akım diğer akımlar cinsinden ifade edilemez. k denklem lineer bağımlı olamaz. nd-1 denklem lineer bağımlı olamaz.

7 Matrise dikkatle bakın !!!!
KGY ‘ları ile elde ettiğimiz denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturuyor mu? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matrise dikkatle bakın !!!! M

8 Teorem: (Tellegen Teoremi)
ne elemanlı bir G grafında KAY’sını sağlayan bir küme, KGY’sını sağlayan bir küme olsun Tanıt: Referans düğümünü belirle ve A matrisini tanımla

9 Tellegen Teoremi ‘ne dikkat edersek:
v ve i birbirleriyle ilgili değil sadece G grafı için KGY ve KAY sağlamamları Yeterli. G için v’ ve v’’ KGY, i’ ve i’’ KAY’yi sağlıyorsa Tellegen Teoremi sadece devrenin topolojisine bağlıdır Lineer bağımsız akım ve gerilim denklemlerini elde etmenin başka yolu var mı?

10 KAY’sı ve KGY’sını başka nerede yazdık? K1 K5
2 3 4 5 6 7 8 9 K6 KAY’den başlayalım K3 K2 K4 K7 Burada aslında kaç tane lineer bağımsız denklem var? Bu sayı aynı zamanda neye eşit? Qa

11 Bir ağaç seçip temel kesitlemeleri belirleyelim
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ağaç: {1,3,4,5} temel kesitlemeler TK1: {1,2,8,9} TK2: {3,7,8} TK3: {4,6,7,9} TK4: {5,6} I QL Q

12 Şimdi de KGY’sına bakalım
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Şimdi de KGY’sına bakalım Çevreleri belirleyelim Ç1 : {1,2} Ç7 : {1,4,7,8} Ç2 : {2,3,8} Ç8 : {1,5,6,7,8} Ç3 : {3,4,7} Ç9 : {2,4,9} Ç4 : {4,5,6} Ç10 : {2,5,6,9} Ç5 : {7,8,9} Ç11 : {2,5,6,9} Ç6 : {1,3,8} Burada aslında kaç tane lineer bağımsız denklem var?

13 Şimdi de temel çevreleri belirleyelim
Ağaç: {1,3,4,5} kirişler: {2,6,7,8,9} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 temel çevreler Ç1 : {1,2} Ç3 : {3,4,7} Ç2 : {4,5,6} Ç4 : {1,3,8} Ç5 : {1,4,9} I Bt B

14 Dallar: {1,3,4,5} Kirişler: {2,6,7,8,9}

15 Toplam Lineer Bağımsız Denklem Sayısı
nd -1 denklem ne -nd +1 denklem Toplam sayı ne Bilinmiyen sayısı kaç? 2ne Eksik denklemleri nereden bulacağız? Teorem: Bir birleşik G’ında seçilen T ağacı için Q ve B sırasıyla temel kesitleme ve temel çevre matrisi olsun Tanıt:

16 KGY kapalı düğüm dizileri, düğüm gerilimleri cinsinden eleman gerilimleri,
çevreler için yazılıyor KAY Gauss yüzeyleri, kesitlemeler, düğümler için yazılıyor KAY’na ilişkin bağımsız denklem takımı nd -1 düğüm için yazılan denklemler KAY’na ilişkin bağımsız denklem takımı temel kesitlemeler için yazılan denklemler KGY’na ilişkin bağımsız denklem takımı temel çevreler için yazılan denklemler