Lineer Cebir (Matris).

... konulu sunumlar: "Lineer Cebir (Matris)."— Sunum transkripti:

1 Lineer Cebir (Matris)

2 şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn türünde(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir. Elemanların sıralanışı olarak tanımladığımız matris bir gösterim, determinant ise bir değerdir. Bunlar matris ve determinantı birbirinden ayıran en önemli iki özelliktir.

3 Matrisler büyük harfle gösterilir
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır. Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır. Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

4  MATRİSLERİN TOPLAMI Aynı boyutlu matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.

5 MATRİSLERİN FARKI Aynı boyutlu matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

6 MATRİSİN REEL SAYI (Skaler) İLE ÇARPIMI Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.

7 İKİ MATRİSİN ÇARPIMI A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır. m x n türünde A matrisi ile n x p türünde B matrisinin çarpımı m x p türünde olur. Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

8  MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

9 MATRİSİN ÖZELLİKLERİ 1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.) 3. k(A+B)=kA+kB (k:skaler) 4. (k1.k2)A=k1(k2)A=k2(k1)A 5. (k1+k2)A=k1A+k2A 6. A(B+C)=AB+AC 7. (A+B)C=AC+BC 8. A(BC)=(AB)C 9. AB≠BA (genellikle) 10. AB=BC ise A=C olması gerekmez. 11. AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.

10 ÖZEL MATRİSLER 1-Kare Matris
Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir. Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. A matrisi (4 x 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

11 2-Sıfır Matris Tüm elemanları sıfır olan matristir.
A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matristir.

12 3-Köşegen Matris 4-Birim Matris
Köşegen üzerindeki elemanların dışında tüm elemanları 0 olan matrise köşegen matris denir. aij elemanlarından bazıları 0 olabilir. 4-Birim Matris Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Aşağıdaki matris 4 x 4 boyutlu birim matristir.

13 5-Periyodik Matris A bir kare matris olmak üzere; Ak+1 = A oluyorsa A’ya periyodik matris denir. k=1 için A2 = A ise A İdempotent matristir. Ak=0 (kєN) ise A matrisi Nilpotent matristir.

14 6-Tekil Matris 7-Transpoze Matris
A bir kare matris olsun. Eğer detA=0 ise A matrisine tekil matris denir. 7-Transpoze Matris mxn boyutlu bir A matrisinin aynı numaralı satırları ile sütunları yer değiştirilirse ortaya çıkan nxm boyutlu matristir. A’nın transpozesi AT veya A’ ile gösterilir. (AB)T=BTAT

15 8-Simetrik ve Yarı Simetrik Matris
A bir kare matris olsun. Eğer A’nın transpozesi A’ya eşitse A’ya simetrik, A’nın transpozesi A’nın negatifine eşit ise A’ya yarı simetrik matris denir. AT=A simetrik AT=-A yarı simetrik

16 9-EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)
Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir. ÖZELLİKLERİ A.Ek(A)=Ek(A).A Ek(A.B)=Ek(A).Ek(B)

17 10-Ters Matris Özellikler; A tekil olmayan bir matris olsun;
A.B=B.A= I bağıntısını sağlayan B matrisine A ’nın tersi denir. B= A-1 ile gösterilir. Özellikler;

18 BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A–1 biçiminde gösteririz. Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

19 11-Ortagonal Matris A bir kare matris A-1 = AT ise A ’ya ortagonal matris denir.

20 Bir Matrisin Rankı mxn boyutlu bir A matrisinin tekil olmayan en büyük boyutlu kare alt matrisinin rxr boyutuna A matrisinin rankı denir.(r≤m, r≤n) RankA=r şeklinde gösterilir.

21 Denk Matrisler Boyutları ve rankları aynı olan A ve B gibi iki matrise denk matrisler denir. A~B ile gösterilir.Aşağıdaki elemanter işlemleri içeren matrisler denk matrislerdir. Anın i’inci satırı ile j’inci satırı yer değiştirebilir. Bu işlem Hij ile gösterilir. A matrisinin i’inci satırı 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılabilir.Bu işlem Hi(k) ile gösterilir. A matrisinin i’inci satırındaki elemanları 0’dan farklı bir k sayısı ile çarpılıp j’inci satıra eklenebilir. Bu işlem Hji(k) ile gösterilir. Bu işlemler matrisin sütunlarına da uygulanabilir. Sütun işlemleri K ile gösterilir KJİ(k)

22 Bir Matrisin İzi A kare matrisinin köşegen üzerindeki elemanlarının toplamına matrisin izi denir. Özellik: