GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar

... konulu sunumlar: "GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar"— Sunum transkripti:

1 GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar
Hatırlatma GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar Tanım: (Derece) Bir düğüme bağlı eleman sayısına o düğümün derecesi denir. Tanım: (Yol) G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Gy alt grafına yol denir: Gy ‘nin n çizgisi, n+1 düğümü vardır. Gy ‘deki çizgiler e1, e2, ...,en düğümler d1,d2, ....,dn+1 olmak üzere sırasıyla öyle numaralanabilirler ki ek çizgisinin düğümleri dk ve dk+1 olur. d1 ve dn+1 düğümlerinin dereceleri bir diğer düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Birleşik Graf) Verilen G grafında herhangi iki düğüm arasında en az bir yol varsa buna birleşik graf denir.

2 G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir:
Tanım: (Çevre) Hatırlatma G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir: Ga birleşik bir graftır. Ga ‘daki bütün düğümlerin dereceleri ikidir. Tanım: (Ağaç) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GT alt grafına ağaç denir: GT , G’nin tüm düğümlerini kapsar. GT çevre içermez. Tanım: (Dal) Ağaç’ın elemanlarına dal denir. Tanım: (Kiriş) G grafından GT çıkarıldığında geriye kalan alt grafa kirişler kümesi denir. Sonuç: nd düğümlü bir G grafında seçilecek dal sayısı nd-1 dir.

3 Tanım: ( Temel Çevreler Kümesi)
ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun Bu ağacın belirlediği (ne –nd +1) adet kirişin her birisi diğer elemanları dal olmak üzere bir çevre tanımlar. Bu çevreye temel çevre, temel çevrelerin oluşturduğu kümeye de temel çevreler kümesi denir. Tanım: ( Kesitleme) Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GK alt grafına kesitleme denir: G grafından GK çıkarıldığında geriye kalan graf iki parçadır. GK ‘nın bir elemanını yerine koyarsak graf birleşik olur. Tanım: ( Temel Kesitlemeler Kümesi) ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun nd-1 tane dalın her biri diğer elemanları kiriş olmak üzere bir kesitleme tanımlar. Bu kesitlemeye temel kesitleme, temel kesitlemelerin oluşturduğu kümeye de temel kesitlemeler kümesi denir.

4 1-a) Şekilde verilen devreye ilişkin grafı çiziniz.
b) 4 düğümden oluşan 10 tane kapalı düğüm dizisi belirleyiniz ve KGY yazınız. c) 7 tane Gauss yüzeyi belirleyiniz ve KAY yazınız. d) 10 tane çevre seçip KGY yazınız. e) 7 tane kesitleme seçip KAY yazınız. f) Ağaç seçip ağacın belirlediği temel kesitleme ve temel çevreler için KAY ve KGY yazınız. g) 4 Düğüm için KAY yazınız.

5 3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY)
Tüm toplu parametreli devrelerde, her t anında herhangi bir kesitlemeye ilişkin akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Teorem: Gauss Yüzeyleri için Düğümler için Kesitlemeler için KAY KAY KAY Tanıt: (1) (2) Gauss yüzeylerini düğümleri içerecek şekilde seç Düğümler için KAY (2) (3) Her kesitleme düğümleri iki gruba ayırıyor. Gruplardaki her düğüm için yazılan KAY’ları toplanırsa kesitleme için yazılan denklem elde edilir. (3) (1) Her kesitlemeye ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denklem kesitlemeye karşı düşen Gauss yüzeyine ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denkleme denk gelmektedir .

6 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? Hatırlatma Lineer Bağımsız Denklem Takımı ‘lerin belirlediği bilinmiyenli denklemin lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturduğunu nasıl anlarız? n m için sağlayan sıfırdan farklı ‘ler varsa bu denklem takımı lineer bağımlıdır. bazı denklemler diğerleri cinsinden m denklem lineer bağımsız ise ifade edilemez. Örnek: Lineer bağımsızlar mı?

7 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i Ø n bilinmiyenli m denklem var. Lineer bağımsız denklem takımı oluşturup oluşturmadıklarını nasıl anlarız? Boyutu ne? Aa

8 sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız
bilinmiyenli denklem var ise lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturup oluşturmadıklarını nasıl anlarız? rankı inceleriz sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız Aa ‘nın rankı kaç? 2.d 3.d 4.d 5.d Boyutu ne? A Rankı ne?

9 İndirgenmiş düğüm matrisi A
Boyutu ne? A Rankı ne? İndirgenmiş düğüm matrisi A Ai=0

10 lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur.
Teorem: nd düğümlü birleşik bir grafta nd-1 düğüm için yazılan KAY’ları lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur. Tanıt: nd -1 tane denklemden k tanesi lineer bağımlı olsun: Birleşik graf k düğüm ve nd –k düğümü ayrı iki grup olarak düşünelim. Bu düğüm gruplarını birleştiren bir graf elemanı mutlaka vardır. Bu graf elemanına ilişkin akım k denklemde sadece bir defa gözükecektir. Bu gruba bir düğüm bir denklem daha katıp aynısını yapsak.... Yazılan k denklemde bu akım diğer akımlar cinsinden ifade edilemez. k denklem lineer bağımlı olamaz. nd-1 denklem lineer bağımlı olamaz.

11 Matrise dikkatle bakın !!!!
KGY ‘ları ile elde ettiğimiz denklemler lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturuyor mu? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matrise dikkatle bakın !!!! M

12 Teorem: (Tellegen Teoremi)
ne elemanlı bir G grafında KAY’sını sağlayan bir küme, KGY’sını sağlayan bir küme olsun Tanıt: Referans düğümünü belirle ve A matrisini tanımla