Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

... konulu sunumlar: "Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki"— Sunum transkripti:

1 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
MKM 308 Makina Dinamiği Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

2 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Maddesel Nokta (Noktasal Kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana gelmiştir. Böyle noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel noktalar sistemi veya kısaca maddesel sistem veya mekanik sistem adı verilir. Yani, cismin bütün kütlesi ağırlık merkezinde toplanmış olup bunun dışında kütlesiz farz edilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

3 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Denge problemlerinin çözümünde bir katı cismin ağırlığı, ağırlık merkezinde bir tek kuvvet ile temsil edilir ve dış tepkiler yönünden mesnetlerdeki geometrik şeklini koruduğu düşünülür. Bunun statik bakımdan katı cisme eşdeğer olduğu bilinir. Yani, cismin bütün kütlesi ağırlık merkezinde toplanmış olup bunun dışında kütlesiz farz edilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

4 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Bir katı cismin keyfi seçilen noktalarına, toplamları cismin kütlesine eşit ve cisimle aynı ağırlık merkezine sahip olacak şekilde noktasal kütleler konursa, birbirlerine göre konumları değişmeyen, dolayısıyla yine katı cismi oluşturan bu noktasal kütleler sistemi gerçek katı cisme eşdeğerdir. Yani, cismin bütün kütlesi ağırlık merkezinde toplanmış olup bunun dışında kütlesiz farz edilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

5 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Gerçek katı cisim yerine noktasal kütleler konulması işlemine katı cismin kütlesinin statik bakımdan eşdeğer olarak noktasal kütlelere indirgenmesi denir. Yani, cismin bütün kütlesi ağırlık merkezinde toplanmış olup bunun dışında kütlesiz farz edilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

6 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Orijini ağırlık merkezinde bulunan eksen takımına göre maddesel noktaların koordinatları; xi, yi, zi Maddesel noktaların kütleleri; mi n maddesel nokta sayısı olmak üzere, Cismin Kütlesi; Statik eşdeğerlik için şart denklemleri; Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

7 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Bir noktasal kütlenin belirlenmesi için 3 konum koordinatı ve 1 kütle olmak üzere 4 büyüklük bulunur. Statik eşdeğerlik şartlarını belirleyen 4 denklem vardır. O halde noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 4*n-4 tanesi serbest seçilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

8 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 4*n-4 tanesi serbest seçilir. n=1 için s=0 olup, tek noktaya indirgeme halinde hiçbir serbestlik bulunmamaktadır. Yani tüm kütle ağırlık merkezinde toplanmıştır. n=2 için s=4 olur. Noktalardan birinin konumu seçilirse, diğer noktanın sadece bir koordinatı seçilebilir. Yani ikinci nokta ilk seçilen nokta ile ağırlık merkezini birleştiren bir çizgi üzerinde olmak zorundadır.. n=3 için s=8 olur. Noktalardan ikisinin konumu seçilirse, geriye serbest seçilecek iki büyüklük kalır. Üçüncü nokta bir yüzey üzerinde olmak zorundadır. Bu yüzey ilk iki nokta ile ağırlık merkezinin belirlediği düzlemdir. Daha fazla sayıda indirgeme durumunda, noktaların yerlerinin seçiminde bir sınırlama söz konusu değildir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

9 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Düzlemsel hareket yapan düzlemsel katı cisim ile bu cismin belirli noktalarına konmuş, bu noktalar dışında kütlesiz olan ve diğer cisimlerle bağlantı özelliklerini koruyan noktasal kütleler sisteminin dinamik bakımdan eşdeğer olması halidir. Bir rijit cismin bütün noktalarının yörüngeleri birbirine paralel düzlemler içinde kalacak şekilde hareket ediyorsa bu cismin düzlemsel hareket yaptığı söylenir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

10 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Dinamik eşdeğerlik için gerek ve yeter şart; Gerçek cismin kütlesinin noktasal kütlelerin toplamına eşit olması Gerçek cismin ağırlık merkezinin noktasal kütleler sisteminin ağırlık merkezi ile aynı olması S ağırlık merkezinden geçen ve hareket düzlemine dik olan eksene göre gerçek cismin ve noktasal kütleler sisteminin kütlesel atalet momentlerinin birbirine eşit olması Cismi bu 4 denklemi sağlayan noktalara ayırırsak dinamik haldeki eşdeğer maddesel noktaları buluruz. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

11 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Dinamik bakımdan eşdeğerliğe sahip, gerçek katı cisim ile noktasal kütleler sistemi, aynı hareket durumunda; aynı kinetik enerji, aynı atalet kuvveti ve aynı atalet momentlerine sahiptir. Katı cismin içinde doğacak iç kuvvetler yönünden bir eşdeğerlik söz konusu değildir. Zaten katı cisimler için iç kuvvetlerin bir önemi de yoktur. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

12 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Katı cisim dinamik eşdeğer noktasal kütlelere indirgenecekse; herbir noktasal kütlenin belirlenmesi için 2 konum koordinatı (xi, yi) ve 1 kütle (mi) olmak üzere 3 büyüklük bulunur. Statik eşdeğerlik şartlarını belirleyen 4 denklem vardır. O halde noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 3*n-4 tanesi serbest seçilir. n=1 için s=-1 olur, katı cismi bir tek noktasal kütleye indirgemek mümkün değildir. O halde dinamik problemlerde katı cismin kütlesi ağırlık merkezinde toplanmış farzedilemez. Ancak katı cismin özel olarak öteleme hareketi yapması durumunda bu mümkün olabilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

13 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
İki Noktasal Kütleye İndirgeme Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. n=2 ise s=3*2-4=2 olur. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

14 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
İki Noktasal Kütleye İndirgeme Eşdeğerlik şartları yazılırsa; 2 nolu denklemden mB çekilip 1 nolu denklemde yerine yazılırsa; mA 2 nolu denklemde yerine yazılırsa; Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. A ve B noktaları karşılıklı olarak asılma ve titreşim merkezleridir. Buna göre düzlemsel hareket yapan bir dijit cismi, kütle merkezinden geçen bir doğru üzerine her biri kütle merkezinin bir yanında kalacak şekilde yerleştirilecek iki maddesel noktadan oluşan bir maddesel noktalar sistemine indirgenebileceği anlaşılmaktadır. Bu indirgemede noktalardan birinin konumu keyfi seçilirse diğerinin konumu ve indirgeme kütleleri yukarıdaki son iki formülle hesaplanabilir. mA ve mB 4 nolu denklemde yerine yazılırsa; Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

15 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
Üç Noktasal Kütleye İndirgeme n=3 ise s=3*3-4=5 olur. İki noktanın koordinatları seçilirse (x1,y1,x2,y2) diğer noktanın sadece bir koordinatı (x3) seçilebilir. Diğer koordinat (y3) ve üç kütle (m1,m2, m3) eşdeğerlik şartlarından elde edilir. Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

16 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

17 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme Eşdeğerlik şartları yazılırsa; 2 nolu denklemden mBLB2 çekilip 4 nolu denklemde yerine yazılırsa mA bulunur. mA 2 nolu denklemde yerine yazılırsa mB bulunur. 1 nolu denklemde mA ve mB yerine yazılırsa mS bulunur. Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

18 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme Herbir noktayı belirleyen 3 büyüklük (x,y,m) var. 6 büyüklükten 2 si serbest seçilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

19 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA Şekildeki üç çubuk mekanizmasının uzuvlarının kütlelerini dinamik eşdeğer olarak A0, A, S3, B, S4, B0 noktalarına indirgeyiniz. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

20 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA 2 nolu uzvu inceleyelim. 1.Kütlelerin toplamı cismin kütlesine eşit olmalı 2.Ağırlık merkezi etrafında dengede olmalı 3. Ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momentleri eşit olmalı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

21 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA 3 nolu uzvu inceleyelim. 1.Kütlelerin toplamı cismin kütlesine eşit olmalı 2.Ağırlık merkezi etrafında dengede olmalı 3. Ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momentleri eşit olmalı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

22 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA 4 nolu uzvu inceleyelim. Aynı denklemler kullanılarak; 1.Kütlelerin toplamı cismin kütlesine eşit olmalı 2.Ağırlık merkezi etrafında dengede olmalı 3. Ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momentleri eşit olmalı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

23 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA Belirtilen noktalara gelen toplam kütleler; 1.Kütlelerin toplamı cismin kütlesine eşit olmalı 2.Ağırlık merkezi etrafında dengede olmalı 3. Ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momentleri eşit olmalı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

24 Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini
UYGULAMA 1.Kütlelerin toplamı cismin kütlesine eşit olmalı 2.Ağırlık merkezi etrafında dengede olmalı 3. Ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momentleri eşit olmalı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki