Analitik olmayan ortalamalar Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri.

... konulu sunumlar: "Analitik olmayan ortalamalar Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri."— Sunum transkripti:

1 Analitik olmayan ortalamalar Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar. 1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

2 Mod = 5günMod= 6 gün Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 5 5 6 6 7 Ay sayısı 32 44 57 69 74

3 Gruplanmış seride modun hesaplanması Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l 1 : mod sınıfının alt sınırı  1 : mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı,  2 : mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

4 Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün)Öğrenci sayısı 0 – 0,530 l 1 = 1 0,5 – 150  1 = 100 – 50 = 50 1 – 1,5100  Mod sınıfı 1,5 – 270  2 = 100 – 70 = 30 2 – 2,520 s = 0,5

5 Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52)b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03)d) Kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Üretim süresi Parça sayısı (f i )mimi fimifimi 5-947280,57149196 9-1310111100,9091211210 13-177151050,4672251575 17-21419760,2113611444 21-25223460,0875291058 Toplam273652,2455483

6 Modun Grafikle Gösterilmesi modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

7 Modun özellikleri Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

8 2. Medyan (Ortanca) Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer. Medyan = 20,5 olur.

9 Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. Çözüm: Medyanın serideki sırası Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı 10210 ve daha az2 12312 ve daha az5 15415 ve daha az9 16616 ve daha az15 181018 ve daha az25 205 214 252 Toplam (N)36

10 Gruplanmış seride medyanın hesaplanması Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. l 1 : Medyan sınıfının alt sınırı N m : Medyan sınıfının frekansı S m : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

11 Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. sıradaki değer medyandır. Bu değer 700-800 sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Saat ücreti (Bin TL)İşçi sayısı 500 – 60010600 den az10 l 1 =700 600 – 70050700 den az60N/2=150/2=75 700 – 800  Medyan sınıfı40  800 den az  100  Ni= 60 800 – 100030N m =40 1000 – 150020S m = 800-700 = 100 Toplam150

12 Medyanın grafikle belirlenmesi Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir. Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımıTers kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL)fifi fifi 500 den az0500 den çok150 600 den az10600 den çok140 700 den az60700 den çok90 800 den az100800 den çok50 1000 den az1301000 den çok20 1500 den az1501500 den çok0

13 Medyanın grafikle gösterilmesi

14 Medyanın özellikleri 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır.  Xi-medyan   minimum 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.