Bir problemin çözümünün en etkili ya da açıklayıcı yöntemi konuyu keşfetmektir. Bazen bir yöntem verilen problemi daha kolay çözülebilir hale getirmek.

... konulu sunumlar: "Bir problemin çözümünün en etkili ya da açıklayıcı yöntemi konuyu keşfetmektir. Bazen bir yöntem verilen problemi daha kolay çözülebilir hale getirmek."— Sunum transkripti:

1

2 Bir problemin çözümünün en etkili ya da açıklayıcı yöntemi konuyu keşfetmektir. Bazen bir yöntem verilen problemi daha kolay çözülebilir hale getirmek için en açıklayıcı yöntem olabilir.

3 İnsanlar yeni bir bilgisayar aldıklarında tek seferde makinanın bütün özelliklerini nasıl kullanabileceklerini nadiren öğrenirler, basit problemleri çözerek bilgisayarı öğrenmeye çalışırlar.

4 - Bu basit problemleri daha sonra sonuçlarla birleştirirler. -Tek seferde birkaç adımda tam öğrenilen basit problemleri çözerek tüm karmaşıklığı er ya da geç öğrenirler.

5 Ardışık sayılar için; pozitif ve tek tamsayı a, b, c veriliyor. ( a< b< c ) göre; ( c - a)( b - a )( c - b)( a - c)( a - b)(b - c) İfadesinin işareti nedir?

6 Verilen: a, b ve c ardışık sayı, pozitif ve tek tamsayı a< b< c İstenen: Verilen ifadenin sonucunun negatif mi pozitif mi olduğu soruluyor. Koşul: a, b ve c ardışık sayı, pozitif ve tek tamsayı a< b< c

7 Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

8 a= 1 b= 3 c= 5 ; (c – a).(b - a).(c - b).(a - c).(a - b).(b - c) =(5 - 1).(3 - 1).(5 - 3).(1 - 5).(1 - 3).(3 - 5) = 4. 2. 2. -4. -2. -2 = - 256

9 *Geriye doğru bakma stratejisi uygulanır a= 21 b= 23 c= 25 ya da a= 101 b= 103 c= 105

10 Soru-) a=529 b) 324 c)144 sayıları veriliyor. Buna göre aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.

11 D&R’da 3 CD’lik paket 39 TL’ye satılmaktadır. Market sahibi bu pakete %20 indirim uygulayarak satış yapar. Aynı zamanda sadece Pazartesi günleri olmak üzere %10 indirim daha uygulanır. Nurdan, Pazartesi günü dükkana gider ve ne kadar indirim kazandığını sorar. Kasiyer, Nurdan’a toplamda %30 indirim kazandığını ve 27,30 TL ödemesi gerektiğini söyler. Sizce kasiyer haklı mıdır? Neden?

12 Verilenler: İstenilenler: 3 CD’lik paket = 39 TL Market sahibi (her gün) = %20 indirim yapar. Pazartesi’leri= +%10 indirim yapar. Kasiyer %30 indirim kazandığını söyler.

13 Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

14 CD= 100 TL olsun. Kasiyer Market sahibi + Soruda”%20 indirim + Pazartesileri %10”dediğinden market sahibi haklı çıkıyor.

15 Verileri organize etme stratejisini uygulayalım. 3’lü CD Fiyatı=39 TL %20 + %10= %30 indirim=27,30 TL %20 indirim=31,2 TL %10 indirim=28,08 TL

16 İleri düzey problem kurma: Ayşe’nin iki sınav notu 30 ve 60 dır. 3.sınava öğretmen «eğer 10 artı toplarsanız notunuzu %10 arttıracağım.» demiştir. Ama 3.sınav notlarını açıklamamıştır. Dönem sonunda Ayşe’nin 11 artısı olmuştur. Ayşe karnedeki ortalamasını 66 olarak hesaplarken karnesinde 63 olduğunu görmüştür. Sizce hatayı kim yapmıştır?

17 (3x+7) (x²-9) =1 x’in alabileceği tüm integral değerleri bulunuz.

18 Verilenler: (3x+7)’nin (x 2 -9)’uncu kuvveti 1’e eşit. İstenenler: x’in alabileceği integral değerler isteniyor. Koşul: Bu kuvvet 1’e eşit.

19 Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

20 1. Durumda : 1’in bütün kuvvetleri 1’dir. Buna göre, 3x+7=1 3x=-6→ X=-2 2.durumda : Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. X 2 -9=0 X 2 =9→ X=± 3

21 3.durumda : (-1)in çift kuvvetleri 1’dir. 3x+7=-1 3x=-8→ X=-8/3 4.durumda : 0’ın 0’ıncı kuvveti 1’dir. 3x+7=0 x 2 -9=0 3x=-7 → X=-7/3 x 2 =9→x=±3 İntegral değer olduğu için -2,+3,-3’ü alınır.

22  X=-2 için [3.(-2)+7] (-2)²-9) =1 -5 =1  X=3 için  X=-3 için  X=-8/3 için  X=-7/3 için Geriye doğru bakma stratejisi uygulanır;

23

24 16 L’lik fıçıdaki şarabı Behlül şu şekilde içiyor. 1. gün yalnızca 1 L şarap içip fıçıyı su ile dolduruyor. 2. gün karışımdan 2 L içip yine fıçıyı su ile dolduruyor. 3. gün karışımdan 3 L içip yine fıçıyı su ile dolduruyor. Bunu böyle devam ettiren Behlül 16L’lik karışımdan oluşan tüm fıçıyı 16. günde bitiriyor. Behlül toplam kaç L su içmiştir?

25 Verilenler:  16 L Fıçı İstenen: 1.gün 2.gün 3.gün 1L şarap+ kalana su dök 2L şarap+ kalana su dök 3L şarap+ kalana su dök...... 16.gün 16L şarap+ kalana su dök Toplam kaç L su eklemiştir?

26 Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

27 Toplamda ne kadar içtiğinden bir miktar şaraptan düşeriz; 1 + 2 + 3 + … + 13 + 14 + 15 + 16 – 16= 120 L Behlül toplamda 136 L karışım, 120 L su tüketmiştir.

28 Verileri organize etme stratejisinden yararlanalım: 15 + 14 + 13 + 12 + … + 4 + 3 + 2 + 1= 120 L

29 İleri Düzey Problem Kurma:

30 PROBLEM-5) 360’ın bölenleri toplamı 1170’dir. 360’ın bölenlerinin, çarpmaya göre terslerinin toplamı nedir?

31 Problemi Anlama: Verilenler: 360 sayısı Koşul : 360 sayısının bölenleri toplamı 1170 İstenen: 360 sayısının bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı soruluyor.

32 Plan Hazırlama: Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

33 Planı Uygulama: -İlk önce; 360’ın bütün bölenleri bulunur. Daha sonra çarpmaya göre terslerinin toplamı bulunur. -360’ın bölenleri; 1,2,3,4,5,6,8,9,…………………………..,120,180,360 dır. -Bu rakamların çarpmaya göre tersleri; 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/9,………, 1/120, 1/180, 1/360 dır. -Ortak paydayı 360 yapmak için bütün kesirler genişletilir ve bunlar toplanır. !!! Bir mekanik veya hesaplama hatası yapılabilmesi kolaydır ve aynı zamanda bir veya birkaç bölen gözden kaçırılabilir.

34 Planı Uygulama: Şimdi buna benzer daha basit bir problemi inceleyelim; (Geriye Bakma) -12’nin bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı bulunur. 12’nin bölenleri; 1,2,3,4,6 ve 12’dir. Bunların toplamı 28’dir. Şimdi de bu rakamların çarpmaya göre terslerinin toplamını bulunur; 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 28/12 İşte kesrin payı bölenlerin toplamıyken, paydası çalışılan sayıdır.

35 Planı Uygulama: Şimdi asıl problem çözülür; 360’ın bölenlerinin toplamı 1170 olarak verilmiş. Dolayısıyla 360’ın çarpmaya göre terslerinin toplamı 1170/360 olur.

36 İleri Düzey Problem Kurma:

37 PROBLEM-6) Yedinci devre sonunda beyzbol maçının skoru Okul Öncesi 8, Sınıf Öğretmenliği 8’dir. 6. devre sonunda birbirinden farklı kaç olası sonuç oluşmuş olabilir?

38 Problemi Anlama: Verilenler: Beyzbol maçında yedinci devre sonunda iki takım berabere kalmış ve beraberlik skoru 8-8’dir. İstenenler: Maçın 6. devresinin sonucu kaç farklı skor olabilir. Koşul : Beraberlik skoru 8-8’dir.

39 Plan Hazırlama: Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

40 Planı Uygulama: Şimdi daha basit bir problem çözme stratejisini uygulayalım ve ne olduğunu görelim! (Geriye Bakma) 8-8 skoru yerine 0-0, 1-1, 2-2,….,vb. skorlar alalım. Belki bu şekilde bir örüntü yakalayabiliriz. *Problemi çözerken birden fazla strateji kullanılmaktadır.

41 Skor Kaç Tane? 0-0 1 1-1 4 2-2 9 3-3 16 6. devre sonunda oluşabilecek skorlar (0-0) (0-1)(1-0)(0-0)(1-1) (2-0)(0-2)(1-0)(1-1)(2-1)(1-2)(0-1)(0-0)(2-2) (3-0)(0-3)(2-0)(0-2)(1-0)(1-1)(3-1)(1-3)(2-1)(1-2)(0-1)(0-0)(3-2)(2-3)(2-2)(3-3) Planı Uygulama:

42 Skor kaç tane sütunundaki sayılar tam kare sayılardır. Dolayısıyla herhangi bir skor (n-n) için (n+1)² tane farklı skor oluşmuş olabilir. Dolayısıyla 8-8’lik bir skor için 9’un karesi yani 81 olası skor oluşmuş olabilir. Planı Uygulama:

43 Geriye Bakma: Geriye Bakma: Bu problem bir başka şekilde de çözülür; Okul Öncesi için 0’dan 8’e kadar 9 farklı olası skor ve Sınıf Öğretmenliği için de yine 0’dan 8’e kadar 9 farklı olası skor mevcut olabilir. Dolayısıyla; 9.9=81 tane olası skor mevcuttur.

44 İleri Düzey Problem Kurma: Yedinci devre sonunda beyzbol maçının skoru Okul Öncesi 9 ve Sınıf Öğretmenliği 8 dir. 6. devre sonunda birbirinden farklı kaç olası sonuç oluşmuş olabilir?

45 PROBLEM-7) İki tren Ankara - İstanbul arasında gidiş geliş yapıyorlar. Aralarındaki mesafe 800 km dir. Birbirlerine doğru aynı zamanda yola çıkmaktadırlar.Trenlerinin birinin hızı 60km/s diğerinin hızı 40 km/s dir. Aynı zamanda bir arı trenlerden birinin önünden 80 km/s hızla diğer trene doğru uçuyor. Diğer trenin ucuna konduğu anda tekrar ters yönde harekete geçip diğer yönde gelen trenin ucuna konuyor. İki tren çarpışana kadar arı bu uçuşuna devam ettiğine göre, arı kaç km yol alır?

46 Arının hızı 80 km/s sabit. 800 km Trenlerden biri 60 biri 40 km/s hızla ilerliyor. Trenler çarpışıncaya kadar arının aldığı yol soruluyor. Verilenler: Koşul: İstenen: Problemi Anlama;

47 Plan Hazırlama: Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

48 Plan Uygulama: Eğer arının seyahatinin zamanını bilirsek, arının aldığı yolu bulabiliriz. Arının hızını biliyoruz. Arının hızı 80 km/s sabit. 800 km

49 Plan Uygulama: Zaman= t 1.trenin aldığı yol= 60t 2.trenin aldığı yol= 40t İki trenin toplamda aldığı yol= 800km 60t + 40t= 800 t=8 Arının aldığı yolu bulmak için zamanı biliyoruz. Buradan; 8.80= 640 km’dir.

50 Geriye Doğru Bakma: Geriye doğru işlem yapma stratejisi kullanılır. Arının her trene varışı için aldığı yol tek tek hesaplanıp toplanır.

51 İleri Düzey Problem Kurma:

52 4 tane sayı veriliyor; 7.895 13.127 51.873 7.356 Yukarıdaki sayıların toplamının yüzde kaçı sayıların ortalamalarını verir ?

53 Verilenler: 4 tane sayı veriliyor. İstenenler: Toplamlarının yüzde kaçının sayıların ortalamasını verdiği soruluyor. Koşul:

54 Basit benzer problem çözme stratejisi uygulanır.

55 Sayıların toplamını ‘S’ ile gösterelim. 4 sayının ortalamasını hesaplayalım: S/4 S/4 1 S 4 = % 25

56 Geriye doğru işlem yapma stratejisi uygulanır. (7.895+13.127+51.873+7.356):4=20.06

57 İLERİ DÜZEY PROBLEM KURMA: 8 tane sayı veriliyor. 7.356 9.225 8.895 10.353 13.127 11.987 51.873 12.654 Bu sayıların herhangi dördünün toplamının yüzdesi 25’tir. Bu dört sayı hangileridir?

58 SUNUMDA EŞLİK ETTİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ