SAYISAL DEVRELER BÖLÜM-2 Sayı Sistemleri ve Kodlar

... konulu sunumlar: "SAYISAL DEVRELER BÖLÜM-2 Sayı Sistemleri ve Kodlar"— Sunum transkripti:

1 SAYISAL DEVRELER BÖLÜM-2 Sayı Sistemleri ve Kodlar
Doç.Dr. Murat ÇAKIROĞLU Mekatronik Mühendisliği Sakarya Üniversitesi

2 On’lu Sayılar Basamaklı sayı sistemlerinde her bir basamağın değeri taban ve basamak çarpanın değerlerine göre hesaplanır. Onlu sayılarda taban 10’dur, çünkü herhangi bir sayı 10 farklı sayı (0’dan 9’a) ile ifade edilebilir. On’lu sayıların basamak çarpanları sağdaki basamaktan (100 =1) başlanarak ve sola doğru artarak 10’nun üssü olarak hesaplanır. … Kesirli sayılar için basamak çarpanları sağa doğru giderek azalan negatif üsler olarak ifade edilir. …

3 Örnek Çözüm On’lu Sayılar
On’lu sayıların değerleri ise her bir basamağın çarpanı ile basamak değerlerinin çarpımlarının toplamı sayesinde hesaplanır. Örneğin 9240 sayısı aşağıdaki şekilde gösterilir.      (9 x 103) + (2 x 102) + (4 x 101) + (0 x 100) veya 9 x 1, x x  x 1 Örnek sayısını basamakları toplamları şeklinde gösteriniz. Çözüm = (4 x 102) + (8 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) +(2 x 10-2)

4 İkili Sayılar Sayısal sistemler için, İkili (binary) sayı sistemi kullanılır. İkili sayılarda, basamakların rakamları 0 veya 1 olabilir. Taban ise 2’dir İkili sayıların basamak çarpanları sağdaki basamaktan (20 =1) başlanarak ve sola doğru artarak 2’nin üssü olarak hesaplanır. … Kesirli sayılar için basamak çarpanları sağa doğru giderek azalan negatif üsler olarak ifade edilir. …

5 0’dan 15’e kadar ikili sayıların sayımı yanda görülmektedir.
Onlu Sayılar İkili Sayılar 0’dan 15’e kadar ikili sayıların sayımı yanda görülmektedir. 1’lerin ve 0’ların değişim paternleri renkli olarak gösterilmiştir. Sayıcılar genellikle bu paternleri kullanılırlar.

6 Örnek Çözüm İkili Çevrimler
Bir ikili sayının onlu eşdeğeri, 1 olan basamakların çarpan değerlerinin toplanması ile hesaplanabilir. 0 değerine sahip basamaklar önemsizdir. Örnek sayısını onluya çevirelim. Çözüm Öncelikle basamakların çarpan değerleri yazılır. Sonra sayıdaki her bir 1’in çarpan değerleri topanır. ½ ¼ ¼ = 37¼

7 Example Solution İkili Çevrimler
Onlu sayılar ters işlemler uygulanarak ikili sayıya çevrilebilir. Her bir basamağın basamak çarpanları yazılır ve onlu sayıyı oluşturacak şekilde basamaklara 1’ler koyulur. Example 49 sayısını ikiliye çevirelim. Solution

8 Örnek Çözüm İkili Çevrimler
Kesirli onlu bir sayının ikili sayıya çevriminde sayının kesirli kısmı ardışık olarak 2 ile çarpılır. Eldeler ikili sayıyı oluşturur. 0.188 sayısını ikiliye çevirelim. Örnek Çözüm 0.188 x 2 = carry = 0 MSB 0.376 x 2 = carry = 0 0.752 x 2 = carry = 1 0.504 x 2 = carry = 1 0.008 x 2 = carry = 0 Cevap= (5 rakamlı sayı olarak kabul edilirse)

9 Example Solution İkili Çevrimler
Onlu sayının bir başka sayı sistemine çevriminde ardışık bölme yöntemi kullanılabilir. İkili sayıya çevrimde onlu sayı 2^ye ardışık olarak bölünür. 49 sayısını ikili sayıya bölme yöntemini kullanarak çevirelim. Example Bu işlem, ters bölme ile yapılır ve cevap soldan sağa doğru okunur. Bölüm sola kalan ise yukarı yerleştirilir. Solution CEVAP: 1 1 Kalan Bölüm 1 49 2 1 3 6 12 24 Onlu sayı taban Son bölüm 0 olana kadar devam edilir.

10 Örnek Çözüm Onaltılık Sayılar
Decimal Hexadecimal Binary Onaltılık sayı sistemi sayıları göstermek için 16 karakter kullanmaktadır. 0’dan 9’a kadar rakamlar ve A’dan F’ye kadar harfler. Büyük ikilik sayılar 4-bit olarak gruplandırılarak kolaylıkla onaltılık sayılara çevrilebilir. A B C D E F sayısını onaltılığa çevirelim: Örnek En sağdan başlayarak basamakları 4-bit olarak gruplandıralım. CEVAP=960E Çözüm

11 { Örnek Çözüm Onaltılık Sayılar
Decimal Hexadecimal Binary Onaltılık sayılarda basamakların çarpan değeri, 16’nın üstel değerleridir. A B C D E F { . Basamak çarpanları . Örnek 1A2F16 sayısını onluk karşılığı? En sağdaki basamaktan başlayarak: Çözüm A F16 1(4096) + 10(256) +2(16) +15(1) = 670310

12 Örnek Çözüm Sekizlik Sayılar
Decimal Octal Binary Sekizlik sayılar rakamları göstermek için 0’dan 7’ye kadar rakamları kullanır. İkilik sayılar, 3-bit olarak gruplandırılarak sekizlik sayılara kolaylıkla çevrilebilir. Örnek sayısını sekizlik olarak gösterelim: Sağdan başlayarak 3-bit gruplama yapalım. CEVAP= Çözüm

13 { Çözüm Çözüm Sekizlik Sayılar
Decimal Octal Binary Sekizlik sayılarda basamakların çarpan değeri 8’in üstel değerleridir. { . Basamak çarpanları . Çözüm 37028 sayısını onluk karşılığı? Çözüm En sağdaki basamaktan başlayarak: 3(512) + 7(64) +0(8) +2(1) = 198610

14 BCD Decimal Binary BCD İkili kodlanmış onluk (BCD), sayısal sistemlerde kullanılan bir sayı sistemidir. Özellikle, saat devreleri gibi ikili olarak işlenen sayıların onluk olarak gösterilmesi gereken durumlarda tercih edilir. Tablo, ikilik sayılar ile BCD sayılar arasındaki farkı göstermektedir. BCD’de her bir onluk basamak 4-bit ile gösterilir. 1010 ‘dan 1111’ e kadar olan ikilik sayılar BCD’de kullanılmaz.

15 BCD Örnek: ? BCD sayısını onluk karşılığı nedir? Cevap: =

16 BCD Lab etkinliğinde bir BCD sayının onluk sayıya çevrimi.

17 Gray kodu Gray kodu, basamak ağırlığı olmayan bir koddur.
Decimal Binary Gray code Gray kodu, basamak ağırlığı olmayan bir koddur. Sayıların sıralı artışlarında yada azalışında sadece bir bit değişim olur. Sayılarda basamak değeri olmadığından, aritmetik işlemlerin olduğu yerlerde kullanılması mümkün değildir. Sütun esasına göre çalışan cihazlardaki hatayı azalttığından, giriş / çıkış birimlerinde ve ADC’lerde tercih edilirler.

18 Gray kodu Enkoder, Gray kodunun kullanıldığı tipik bir örnektir.
3 adet IR gönderici/alıcı, şaftın posizyonunu kodlamak için kullanılır. Soldaki enkoder ikilik sıralama kullanmakta ve bu durumda 3 bit değişimi olabilmektedir. Sağdaki enkoder ise gray kodunu kullamakta ve her konum değişimi çin sadece 1 bit değişmektedir. İkilik Sıra Gray kod sırası

19 ASCII ASCII alfanümereik ve kontrol karakterlerinin bulunduğu bir koddur. Orjinal hali 7-bit uzunluğundaki toplam 128 karakterdir. 1981 yılında , IBM 8-bitlik genişletilmiş ASCII kodunu önermiştir. Böylece karakter sayısı 256’ya çıkarılmıştır. Bununla birlikte Unicode gibi diğer kodlar da geliştirilmiştir.

20 İkili Toplama İkili toplama kuralları 0 + 0 = 0 Toplam= 0, elde = 0 0 + 1 = 0 Toplam= 1, elde = 0 1 + 0 = 0 Toplam= 1, elde = 0 1 + 1 = 10 Toplam= 0, elde = 1 Eğer önceki toplamalar nedeniyle bir giriş eldesi varsa kurallar aşağıdaki gibidir. = 01 Toplam= 1, elde = 0 = 10 Toplam= 0, elde = 1 = 10 Toplam= 0, elde = 1 = 10 Toplam = 1, elde= 1

21 Örnek Çözüm İkili Toplama
00111 ve sayılarını toplayınız ve 10 sayı olarak da gösteriniz. Örnek Çözüm 1 1 1 1 1 1 = 28

22 Örnek Çözüm İkili Çıkarma İki çıkarma için kurallar 0 - 0 = 0
1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 = 1 (1 borç var) 00111 sayısını sayısından çıkaralım ve onlu sayı sisteminde de gösterelim. Örnek Çözüm /1 /1 /1 1 1 1 = 14

23 1’e tümleyen Ikili bir sayının 1 tümleyeni rakamların terlenmesi ile bulunur.( Tüm 0’lar 1, tüm 1’ler ise 0 yapılır.) Örneğin sayısının 1’e tümleyeni Sayısal devrelerde 1’e tümleyen DEĞİL kapıları ile alınır.

24 2’ye tümleyeni bulmak için; 00110110 (2’ye tümleyen)
2’nin tümleyeni İkilik bir sayının 2’ye tümleyeni, O sayının 1’e tümleyenin LSB bitine 1 eklenmesi ile bulunur. Örneğin (1’e tümleyen) +1 2’ye tümleyeni bulmak için; (2’ye tümleyen) 1

25 İşaretli ikilik sayılar
İşaretli ikilik sayıların gösterimi bir kaç farklı yöntem ile olabilir. Bütün yöntemlerde MSB biti işareti gösteren bittir. Bilgisayarlar işaretli sayıları göstermek için 2’ye tümleyen aritmetiği kullanır. Bu yöntemde pozitif sayılar klasik ikilik formda gösterilirken (işaret biti 0) negatif sayılar 2’ye tümleyen olarak gösterilir (işaret biti 1). Örneğin, + 58, 8-bit olarak yazılırsa ; (true form). İşaret bit Ağırlık bitleri

26 İşaretli ikilik sayılar
Negatif sayılar ilgili sayının 2’ye tümleyeni alınarak yazılır. -58 = (Tümleyen) İşaret biti Ağırlık bitleri Negatif sayıların değerlerini hesaplamanın kolay yolu işaret bitinin değerini -128 (8-bit sayı için) kabul etmek ve geri kalan 1’lerin ağırlıklarını -128 ile toplamaktır. Basamak ağırlıkları : = -58

27 İşaretli sayılar ile Aritmetik işlemler
İşaretli sayılarda 2’ye tümleyen aritmetiği toplama ve çıkarma işlemlerini kolaylaştırmaktadır. Toplama için kural : İki işaretli sayıyı topla ve oluşan eldeyi önemseme. Sonuç işaretli bir sayıdır. Örnekler: = +30 = +15 = +14 = -17 = -1 = -8 = +45 = -3 1 = -9 Elde önemsiz

28 İşaretli sayılar ile Aritmetik işlemler
Çıkarmanın kuralı : Çıkan sayının 2’ye tümleyinini al ve çıkarılan sayı ile topla. Oluşan son eldeyi önemseme. Sonuç işaretli sayıdır. - (+30) –(+15) (+14) –(-17) (-1) –(-8) Çıkanın 2’ye tümleyeni ve çıkarılan ile toplanması = +30 = -15 = +14 = +17 = -1 = +8 1 = +15 = +31 1 = +7 Elde önemsiz Elde öenmsiz

29 İşaretli sayılar ile Aritmetik işlemler
NOT: Eğer işlemlerde sayı sistemin gösteremeyeceği bir sonuç çıkarsa TAŞMA durumu söz konusu olur. Taşma, işlem yapılan iki sayının da aynı işarette olduğu durumlarda ortaya çıkar ve yanlış sonuç doğurur. 2 örnek : = +128 = +129 = -127 = -126 Elde önemsiz = +2 Yanlış! Işaret biti değişti

30 Eşlik biti Eşlik biti, özellikle basit iletim ortamlarında hata denetimi için kullanılan ilkel bir yöntemdir. Bir eşlik biti, iletilen bir grup bite ekstra olarak eklenen ve sayıdaki 1’lerin adetini tek (tek eşlik) veya çift olmaya (çift eşlik) zorlayan bir yöntemdir.