Π sayısı CmpE 220 Burak KEÇELİ 2008400165 21.12.2010.

... konulu sunumlar: "Π sayısı CmpE 220 Burak KEÇELİ 2008400165 21.12.2010."— Sunum transkripti:

1 π sayısı CmpE 220 Burak KEÇELİ 2008400165 21.12.2010

2

3 π Tarihi Hemen herkes π’yi daire çevresinin çapa bölümü olduğunu düşünür. Bu sonuca insanoğlu tekerleğin icadından da (M.Ö. 3500 / Mezapotamya) önceki tarihlerde varmışlar.

4 Bakmışlar ki, güneş yuvarlak ay yuvarlak.

5 Yaptıkları aletlerden de görüldüğü gibi, yuvarlak şekiller çizmeye başlamışlar. Bazıları farketmişler ki, çap büyüdükçe çevre artıyor, küçüldükçe azalıyor. Ama bunun oranı hep sabit kalıyor!!!

6 Ama M.Ö. 3000li yıllarda neden π’nin değerini bulmak istemişler ki? π’nin var olduğunu farketmişlerdir...

7 Burada yine karşımıza Mısırlılar çıkmaktadır Tam olarak kesin sebepleri bilinmiyor ancak bazı hipotezler var :

8 1- Mesela pi sayısının değeri MÖ 2800- 2700 yıllarına ait, Gize Kasabası yakınlarındaki büyük Keops Piramidi’nin ölçülerine göre hesaplanabilmektedir.

9 Keops Piramidi

10 Keops Piramidi üzerinde yapılan incelemeler, bu piramidin inşa edildiği tarihte, bugünkü ölçü birimi i1le 232.805 metre kenarlı bir kare tabanı olduğu ve 148.208 metre yüksekliğinde bulunduğu izlenmiştir. Taban çevresi : (4 x 232.805 ) = 931.220 metre olacaktır. Bu çevrenin yükseklik değerinin iki katına bölünmesiyle : (931,22)/(2x148,208) = 3,14159 Bu sonuç beş ondalıklı yakınlıkla, π sayısının bilinen değerinin vermektedir.

11 2) Başka bir araştırmada da; Keops Piramidinin tabanı olan karenin kenarı 440 Eski Mısır kulacı, yüksekliği de, 280 kulaç değerini vermektedir. Bu sayılara göre : (Taban Çevresi)/(yüksekliğin İki Katı)=(4x440)/(2x280)=22/7

12 Arşimet (287-212 M.Ö.) Arşimet, suyun kaldırma kuvvetini bulmasıyla çok ünlüdür. Ancak onun geometriye yaptığı katkılarda vardır. Geometriye yapmış olduğu en önemli katkılardan birisi, bir kürenin yüzölçümünün 4πr 2 ve hacminin ise 4/3 πr 3 eşit olduğunu kanıtlamasıdır.

13 Aynı zamanda π’nin değerini çok yakın hesaplamıştır. Bir çemberin içine ve dışına düzgün çokgenler çizmiştir ve o çokgenlerin çevreleriyle, dairenin çevre uzunluğuyla işlem yapmıştır. 96 kenarlı çokgeni yerleştirerek π’in 3 10 / 71 ile 3 1 / 7 arasında olduğunu hesaplamış

14 Sonraları daire içine çokgen yerleştirme yöntemi bir çok matematikçi tarafından uygulanmıştır. ► MS 265 yıllarında Çinli matematikçi Liu Hui π ’yi daha net heasplamıştır. 3072 kenarlı düzgün çokgen kullanmıştır. Archimedesinkine benzer bir yöntemle π ’ nin değerinin 3.1416 olduğunu hesaplamıştır. ► MS 480 yıllarında yine Çinli matematkçi Zu Chongzhi tarafından bu sefer 12288 kenarlı düzgen çokgen yerleştirmişlerdir. Ve π‘ yi 3.1415926 < π < 3.1415927 bu aralıkta bulmuşlardır.

15 1000-2000li yıllar Milattan sonra 1000-2000 yılları arasında bilim insanları artık serilerle ilgilenmeye başlamışlardı. 1400lü yıllarda Madhava of Sangamagrama şöyle bir seri bulmuştur : O zamana kadar 10 haneden daha azı bilinen π’nin 11. hanesi hesaplanmıştır.

16 Doğal olarak Newton da bir tane seri bulmuştur.

17 Bilgisayar Çağı Ocak 2010’da da π’nin 2.7 trilyonuncu hanesi bulunmuştur. Günümüze doğru yaklaşıldığı zamanlarda ise gelişen yazılımlarla birlikte gelişen algoritmalar pinin hesaplanmasını kolaylaştırmıştır. Mesela bu formülle gelen Chudnovsky kardeşler 1989da 1,011,196,691 tane digitini hesaplayabilmişler. Bu dönemde ise 1949 de John von Neumann π’nin 2037 hanesini ENIAC kullanarak hesaplamıştır. Ve bu işlem tam 70 saat sürmüştür.

18 Sembol Nereden Geldi? π sembolü, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı. Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.

19 En İlginç π hesaplama yöntemi 18. yy'da Fransız doğa bilimci Buffon, İğne Problemi’nde kullanmıştır. Bir düzlem, araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu d'den kısa olan bir iğne, bu çizgili yüzeye düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi atış olarak kabul edilir. Buffon'un şaşırtıcı buluşu; iyi atışların kötü atışlara oranının π’yi içeren bir açıklamasının olmasıdır. Eğer iğnenin uzunluğu d birimse, iyi atış olasılığı 2/ π’ dir. 1901'de Lazzerini 3408 atış yaparak π'nin değerini 3.1415929 olarak hesaplamıştır ki; bu altı ondalık basamağa kadar doğruydu.

20 Devamlı Kesir ve π

21 İrrasyonel Olduğunun İspatı π çok yerde kullanılmıştır ancak 18. yüzyıla kadar π’nin irrasyonel olduğu bilinmemişti. Ve Johann Heinrich Lambert π’nin irrasyonel olduğunu şu şekilde kanıtlamıştır : Bu devamlı kesre göre eğer x != 0 rasyonel ise, sağ taraf irrasyonel olmalıdır. tan(π /4) = 1 olduğundan π /4 irrasyonel ve π de irrasyoneldir.

22 HANGİ GRUPLAR İÇİN PİNİN DEĞERİ NEDİR? ► Matematikçi: " π, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır.“ ► Bilgisayar Programcısı: " π 3,14159265389 dur" ► Fizikçi: "3,14159artı eksi 0,000005'tir" ► Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir"

23 Doğum Günü ve π π, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun π 'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. http://www.angio.net/pi/piquery

24 π ile ilgili şiir "An Ode to π" or "A Mathematician's Fantasy" ~A Shakespearean Sonnet~ by Bryan Beyer Oh π, every night I think of you, Your perfect circles wander through my dreams. I would like to deny it, but its true, Forever I will adore you, it seems. Squares just can't shape up; triangles are lame. A heptagon is just too hard to draw, Each hexagon looks exactly the same. But I will not forget the time I saw That enchanting ratio in your eyes. Your diameter to circumference Will never change, would not dare to surprise, And that, dear π, makes all the difference. I commit you to my heart evermore- Alas, my π, you are three-point-one-four.

25 KAYNAKÇA http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/mate matik/sayilar.htm http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/mate matik/sayilar.htm http://www.angio.net/pi/piquery http://library.thinkquest.org/C0110195/what/ findingpi.html http://library.thinkquest.org/C0110195/what/ findingpi.html http://en.wikipedia.org/wiki/Pi