(Yapay) Zekâ ve Mantık (Programlama) -Bugünü ve Açmazları- Yılmaz Kılıçaslan

Sunulacak / Tartışılacak Konular ZEKÂ YAPAY ZEKÂ MANTIK MANTIK PROGRAMLAMA

Boole Mantığı ve De Morgan Yasaları 19. YY. matematikçisi George Boole’dan adını alan Boole Mantığı (Boolean Logic), bütün değerlerin Doğru ya da Yanlış’a indirgendiği bir Cebir türüdür. Bool mantığı her bitin alabileceği 0 ve 1 değerlerinden oluşan ikili sistemle çok iyi örtüştüğü için Bilgisayar Bilimleri açısından özel bir önem taşır. 19. YY. mantık ve matematikçisi Augustus De Morgan’dan adını alan De Morgan Yasaları (ya da De Morgan Teoremi) Bool Cebrinin ve Küme Teorisinin iki önemli prensibini oluşturur: değil (P ve Q) = (değil P) veya (değil Q) değil (P veya Q) = (değil P) ve (değil Q)

Önermeler Mantığında bir İspat Hizmetçi kız tarafından işlendiyse, ancak salonda olması halinde cinayet, tabancayla gerçekleştirilmiştir. Fakat, salonda gerçekleşmemiş olması halinde, baş uşak suçsuz ise, cinayet hizmetçi kız tarafından işlenmiştir. Ancak tabancayla işlenmiş olması halinde cinayeti hizmetçi kız işlemiş iken, salonda gerçekleşmiş olması halinde baş uşak suçludur. Öyleyse, baş uşak suçludur. p  (q  r) öncül (¬p1  ¬r)  p öncül (p  q)  (r  p1) öncül ¬p1 varsayım ¬r varsayım ¬p1  ¬r E, 4, 5 p Ç, 2, 6 q  r Ç, 1, 7 p  q Ç, 3 q Ç, 7, 9 r Ç, 8, 10 ┴ Ǭ, 5, 11 r E¬ r  p1 Ç, 3 p1 Ç, 3, 14 ┴ Ǭ, 4, 15 P1 E¬ Anahtar: p: Cinayeti hizmetçi kız işledi. q: Cinayet tabancayla işlendi. r: Cinayet salonda işlendi. p1: Cinayeti baş uşak işledi.

Kötümser Bir Filozof Kant 1789’da, Saf Aklın Eleştirisi (Critique of Pure Reason) kitabının ikinci baskısının önsözünde şöyle diyordu: Mantık Aristo’dan bu yana hiçbir şey kaybetmedi ama hiçbir şey kazanmadı da. Ayrıca, gelecekte de mantık alanında hiçbir gelişme olmayacağına dair her türlü işaret var.

Modern Yüklem Mantığı Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Aristo’nun özne-yüklem formundaki önermelerini almakla birlikte, iki (ya da daha fazla) şey arasındaki ilişkileri ifade eden cümleleri de mantığa kazandırdı. Artık, aktif cümlelerin pasif biçimleri ile ‘eşanlamlılıkları’ görülebilecekti: Yunanlılar Plataea’da Persleri yendi. Persler Plataea’da Yunanlılara yenildi. Ayrıca, aşağıdaki türden çıkarımları yapmak da mümkün olacaktı: Ali Banu’dan uzundur. Banu Cem’den uzundur. ----------------------------- Ali Cem’den uzundur.

Birinci Dereceden Yüklem Mantığı Her köpek bir kediyi kovaladı. 7

Birinci Dereceden Yüklem Mantığında Bir İspat x(akıllı(x)) Varsayım akıllı(a) Varsayım x(akıllı(x)) Varsayım akıllı(a) Ç , 3 ┴ Ç , 2, 4 x(akıllı(x)) E  akıllı(a)  x(akıllı(x)) E  x(akıllı(x)) Ç , 1, 7

Yüksek Dereceden Yüklem Mantığı John became something Mary already is. P(P(j)  P(m)) Geleneksel Fonksiyon Gösterimi: Örn.: f(x) = 2 x + 3 f(4) = 2.4 + 3 Lambda Calculus: Örn.: x(2 x + 3) x(2 x + 3)(4) = 2.4 + 3 x( y( L(x, y)  ((y = x)  (L(y, x) ) ) )

Aristo Mantığının Temel İlkeleri Her önerme ya doğru ya yanlıştır. Bu ikisinin arasında ya da dışında üçüncü bir olasılık yoktur.

Megara Okulu - Eubulides Atina’daki felsefe okuluna rakip olan Megara Okulu Aristo’nun hep canını sıkmıştır. Bu Stoacı okulun kurucusu yine bir Öklid’dir. Megara okulundan filozof Eubulides (MÖ. 405 – 330) Aristocu paradigmadaki problemleri dört paradoks ile açığa çıkarmıştır (Seuren 2005): Kel Adam ya da Yığın (The Heap) Şapkalı Adam, Fark Edilmeyen Adam ya da Elektra (The Hooded Man, the Unnoticed Man, or the Electra) Boynuzlu Adam (The Horned Man) Yalancı (The Liar)

Kel Adam Paradoksu A: ‘Eğer bir adamın yalnızca bir saç teli olsaydı, ona kel der miydiniz? B: Evet. A: Eğer iki saç teli olsaydı kel der miydiniz? A: Eğer üç saç teli olsaydı, … vs. A: Öyleyse kel olma durumu ile kel olmama durumu arasındaki sınırı nereye çizeceğiz?’

Yığın Paradoksu Bir çıkarım şeması: N kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1) N kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2) ------------------------------------------------------------------------- (N-1) kum tanesi bir kum yığınıdır. (Sonuç) Uygulama: 1,000,000 kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1) 1,000,000 kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2) ----------------------------------------------------------------------- 999,999 kum tanesi bir kum yığınıdır. (Sonuç) Çıkarım şemasını her defasında elde ettiğimiz sonuçla başlayarak defalarca uygularsak, neticede bir kum yığınının tek bir kum tanesinden oluşabileceği sonucunu kabul etmek zorunda kalırız.

Elektra Paradoksu While Agamemnon, king of Mycenae, was away to fight in the Trojan war, his wife Clytemnestra had set up house with another man. Obviously, when Agamemnon was due back, there would be a problem. So when Agamemnon came home Clytemnestra let him a warm bath, during which she chopped his head off with a sword. That would have been the end of the affair, had it not been for the children, in particular the son Orestes, who now had the holy duty to avenge his father. However, in order to do that, he would have to kill his mother, which would be a heinous crime. In order to sort out his moral dilemma, Orestes went to stay with an uncle for a while. At the end of that period he has made up his mind and has decided that the right thing to do, after all, is to kill his mother. So he returns to Mycenae, but, sensibly fearing to receive a treatment similar to his father’s, he disguises himself as a beggar so as not to be recognized. He then knocks at the gate and is let in. His sister Electra has him shown to the kitchen and given some soup. At this point in the story, Eubulides steps in and asks: ‘Is the sentence Electra knows that her brother Orestes is in the kitchen true or false?’

Boynuzlu Adam Paradoksu What you have not lost, you have. But you have not lost horns. Therefore you have horns.

Yalancının Paradoksu ‘Şu an bu cümleyle söylediğim yanlıştır.’ ‘Aşağıdaki cümle yanlıştır.’ ‘Yukarıdaki cümle doğrudur.’

‘Bütün Doğrulara’ Erişme Girişimi Russellın Paradoks’u: Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümeleri içeren küme. Matematiğin bütün doğrularını, yüklem mantığı içinde, iyi tanımlanmış bir aksiyomlar ve çıkarım kuralları kümesinden çıkarma girişimi.

Hilbert Programı Hilbert proposed to ground all existing theories to a finite, complete set of axioms, and provide a proof that these axioms were consistent. Hilbert proposed that the consistency of more complicated systems, such as real analysis, could be proven in terms of simpler systems. Ultimately, the consistency of all of mathematics could be reduced to basic arithmetic.

Gödel’in Eksiklik Teoremi (1931) Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi: “Bu önerme ispatlanabilir değildir.” … Aritmetiğin her tutarlı biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.

Durma Problemi Program ALGORİTMA (BİLGİSAYIM MODELİ) Durur / Durmaz ? Input Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.

Abductive ‘Logic’ The Speculative Reasoning of Sherlock Holmes It's not the science of deduction that gives Holmes his power over us, since he doesn't in fact use it. In The Sign of Four, Holmes declares: "I never guess. It is a shocking habit - destructive to the logical faculty." Yet the type of reasoning which Holmes uses in most of Conan Doyle's stories includes a good deal of guesswork. The type of reasoning Holmes uses is of another, more conjectural kind - sometimes called abductive reasoning - that can't offer certainty or any precise assessment of probability, only the best available account of events. Importantly, this kind of reasoning can't be practised simply by following rules. Holmes notices things other people don't, and then - using a mental agility that involves creative imagination rather than the mechanical application of any method of reasoning - comes up with hypotheses he tests one by one. (John Gray, A Point of View: The enduring appeal of Sherlock Holmes, BBC News Magazine, 17 August 2012)

???