AÇIORTAY TEOREMLERİ

1) İÇ AÇIORTAY TEOREMİ A N C B Bir üçgende, herhangi bir açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. AB AC BN NC

İSPAT: A H T B C N SONUÇ: [AN] açıortayının ayırdığı ABN ve ANC üçgenlerinin, [NB] ve [NC] kenarlarına ait yükseklikleri ortak olduğundan İSPAT: 1) A(ABN) A(ANC) BN NC Şekilden; [AN] açıortayının N noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikmeler eşittir. H T NH olur. NT 2) A(ABN) A(ANC) ½×AB×NT ½×AC×NH AB AC SONUÇ: (1) ve (2) den, BN NC Olur.

Örnek: [KT], K açısının açı ortayıdır. NK=12 cm KM=9 cm MN=14 cm ise TM doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 12 cm 14 cm T M K 9 cm ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

KM KN TM TN 9 12 x 14-x Çözüm: N TM=x dersek, TN=14-x olur. Açıortay 14 cm 12 cm 9 cm TM=x dersek, TN=14-x olur. Açıortay Teoremine göre, KM KN TM TN bulunur. Verilenler yerine yazılırsa; 9 12 x 14-x 12x = 9 (14-x) 21x=126 x=6 cm çıkar Yani |TM|=6 cm bulunur.

Örnek: A B C N 6 5 [AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cm ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. B C N 6 5 [AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cm ve ABC üçgeninin çevresi 33 cm ise |AC|=?

SONUÇ Çözüm: A N C B AB AC BN NC 22-x x 6 5 6x=5 (22-x) 6x=110-5x Üçgenin çevresi 33 cm verildiğine göre |AB|+|AC|+|BC|=33 cm’dir. |BC|=11 cm olduğundan |AB|+|AC|=22 cm olur. |AC|=x dersek |AB|=22-x olur. Açıortay teoremine göre, AB AC BN NC yazabiliriz. 22-x x 6 5 6x=5 (22-x) 6x=110-5x 11x=110 X=10 cm Dolayısıyla |AC|=10cm çıkar. SONUÇ Çözüm:

SONUÇ a ) b ) c ) A E D O B C N OA OB OC b+c a+c a+b ON OD OE a b c Şekildeki ABC üçgeninde, a, b, c kenar uzunlukları [AN], [BD], [CE] sırasıyla A, B, C açılarına ait açıortaylardır. Açıortayların kesim noktası O olmak üzere ; OA ON b+c a OB OD a+c b OC OE a+b c a ) b ) c )

AÇIKLAMA OA AB ON BN OA ON AC NC b c O OA ON AC NC AB BN a OA ON AC+AB (Açıortay teoremi) 1 ) OA ON AC NC a a b c 2 ) (Açıortay teoremi) E D O c b OA ON AC NC BİRLEŞTİRİRSEK; AB b c BN B C N BURADAN; a OA ON AC+AB NC+BN b+c a

Örnek: A E D O B C N |OA| =? |ON| ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. N Şekilde [AN] , [BD ] , [CE] sırasıyla A, B,C açılarının açıortaylarıdır. |AB|=8 cm |AC|=10 cm |BC|=12 cm olduğuna göre; |OA| =? |ON|

A N C B b c a E D O OA ON AB+AC BC 8+10 12 5 3 Çözüm:

1) DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ AB AC BN NC A B C N Bir ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı [BC] kenarının uzantısını N noktasında kesiyorsa; AB AC BN NC olur.

Örnek: A N C B 10 8 5 x Şekilde [AN] A açısının açıortayıdır. |AB|=10 cm |AC|=8 cm |BC|=5 cm ise, |CN|=x kaç cm dir? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

SONUÇ 10 8 5 x AB AC BN NC Çözüm: A N C B 5+x Dış açıortay teoremine göre ; AB AC BN NC yazabiliriz. Verilenleri yerine koyarsak; 5+x 10x = 8 (5+x) 10x = 40+8x 2x = 40 x = 20 cm çıkar. SONUÇ Çözüm:

A N C B D SONUÇ Şekildeki ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayı, [AN], A açısının dış açıortayı olmak üzere 1- [AD] diktir [AN] 2- BD DC BN NC olur.

Örnek: A N C B D 6 x 4 Şekildeki ABC üçgeninde [AD] ve [AN] sırasıyla A açısının iç ve dış açı ortaylarıdır. |BD|=6 cm |DC|=4 cm olarak veriliyor. |CN|=? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

Çözüm: BD DC BN NC A B C N D 6x=4 (10+x) 6 10+x 6x=40+4x 2x=40 4 x |CN|=x olsun olduğundan 6x=4 (10+x) 6x=40+4x 2x=40 X=20 cm çıkar. 6 10+x 4 x

SLAYT SONA ERMİŞTİR DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER …