Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 121 - Genel Matematik I Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Ofis: B 224 e-mail : karakas@baskent.edu.tr Webb : www.baskent.edu.tr/~karakas Başkent Üniversitesi Ticari Bilimler Fakültesi Bankacılık ve Finans Bömlümü

DERS – 1 : Sayı Kümeleri ve Koordinatlar Küme, sayı, mutlak değer, sigma gösterimi, tümevarım, denklem, eşitsizlik, çözüm, sayı ekseni, koordinat, aralık, Düzlemde Kartezyen koordinatlar, grafik, simetri, matematiksel modelleme

b, K nın elemanı değildir. Kümeler. Matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır. Bu dersi alan öğrencilerin küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kabul ediyoruz. Küme: Nesneler topluluğu. Topluluktaki nesnelerden her birine kümenin bir elemanı denir. aK , bK K : küme. a , b : nesneler. a, K nın elemanıdır. b, K nın elemanı değildir.

Sayılar. Matematiğin temel kavramlarından biri de sayı kavramıdır. Bu dersi alan öğrencilerin sayı kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel özellikleri bildiğini kabul ediyoruz. ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ℝ \ ℚ

tanımsız

Reel Sayılarda Sıralama Bağıntısı : < Reel Sayılarda Sıralama Bağıntısı : < . Herhangi bir reel sayının ya pozitif ya negatif ya da sıfır olduğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildiğinde, eğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y den küçüktür denir ve x < y yazılır. # Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y sayısı x den büyüktür denir. # x < y veya x = y ise, x  y ( veya y  x ) yazılır.

Mutlak Değer. x  ℝ nin mutlak değeri olarak tanımlanır.

Sigma Gösterimi. Bir n doğal sayısı için a1, a2, . . . , an reel sayıları verilmiş olsun. Bu sayıların toplamı olan a1+ a2+ . . . + an toplamı için ∑ (sigma) gösterimi adı verilen gösterimi kullanılır:  Benzer şekilde, 1 ≤ k ≤ n olmak üzere,   ak+ ak+1+ . . . + an toplamı için  gösterimi kullanılır: 

n0 bir tamsayı ve Ö(n), n0 ve n0 dan büyük her tamsayı için tanımlı bir öner-me olsun. Eğer Tümevarım İlkesi. a) Ö(n0) ın doğru olduğu b) n  n0 için Ö(n) nin doğru olduğu kabul edilince Ö(n + 1) in de doğru olduğu kanıtlanabiliyorsa, Ö(n) önermesi her n  n0 için doğrudur.

Denklemler ve Eşitsizlikler. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir değişken denir. Bu dersimizde, aksi belirtilmedikçe, değişkenler reel sayılar için kullanılacaktır. Bir denklem veya eşitsizliği sağlayan her sayıya o denklem veya eşitsizliğin bir çözümü denir.

Bir denklem veya eşitsizliğin tüm çözümlerinin oluşturduğu kümeye o denklem veya eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Eğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir. Bir denklemi (veya bir eşitsizliği) çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen denklem (veya eşitsizlik), kendisine denk olan öyle bir dizi denklemle (veya eşitsizlikle) değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin (veya eşitsizliğin) çözüm kümesinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir. Örnek. x2-5=2x+10 denkleminin çözümü :

İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c reel sayılar, a sıfırdan farklı olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümleri aşağıdaki formülle elde edilir:

Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi ℝ , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Başka bir deyişle, reel sayılar sistemini, bir doğru üzerinde her noktaya bir reel sayı karşılık getirerek koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokta(orijin , merkez) ve bir birim uzunluk işaretlendiği takdirde, doğru üzerindeki noktalar ile reel sayılar sistemi arasında bire-bir bir eşleme elde edilir. 1 3 sayı ekseni -3 -1

a b a b a b a b Aralıklar. açık aralık yarıaçık aralık yarıaçık aralık kapalı aralık

Sonsuzluk. Reel sayılar sistemi ℝ ye her reel sayıdan büyük olduğu kabul edilen  (sonsuz) sembolü ve her reel sayıdan küçük olduğu kabul edilen - (eksi sonsuz) sembolü katılarak sonsuz aralıklar tanımlanır: a a

Eşitsizlikler. Reel sayılar ile ilgili olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin standart yöntemini daha önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bazı örnekler vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden ifade edilebildiğini göreceğiz Örnek. 2x + 1 < 0 eşitsizliğinin çözümü.

Örnek. x2-5 < 2x+10 eşitsizliğinin çözümü :

Örnek. eşitsizliğinin çözümü.

Mutlak değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zaman aralıklara karşılık gelir. Örneğin, -c c a-c a a+c

Düzlemde Koordinatlar Düzlemde Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını genişleterek düzlemde ve uzayda noktalar için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını tanımlamak için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yatay diğeri de düşey olarak seçilir; yatay olan eksene x-ekseni , düşey olana y-ekseni denir.

Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri arasında bire-bir bir eşleme olduğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta karşılık geldiği gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri ℝ2 = ℝℝ = {(a , b) : a , b  ℝ} kümesinin elemanlarıdır.

Örneğin, düzlemde kenar uzunluğu 1 birim olan karesel bölge Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi seçmek ne işe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel yöntemlerle çözmemize ve karşıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik olarak yorumlamamıza yardımcı olur. Örneğin, düzlemde kenar uzunluğu 1 birim olan karesel bölge y x (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 1 uygun bir Kartezyen koordinat sistemi seçimi ile (yukarıda sağdaki şekle bakınız) {(x,y)  ℝ2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1} nokta kümesi ile özdeşlenebilir.

x y (0,0) y (x ,y) d y - b b (a,b) x - a a x Koordinat sistemi seçiminin sağladığı en önemli kolaylıklardan biri düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın hesabıdır. x y (0,0) y (x ,y) d y - b b (a,b) x - a a x Örnek. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık:

İki değişkenli bir denklem; örneğin x2 + y2 = 1, verildiğinde, bu denklemi sağlayan reel sayı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sağlayan tüm (x , y) sayı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0) , ( 0,1) , sıralı ikililerinden her biri x2 + y2 = 1 denkleminin bir çözümüdür. Bu denk- lemin çözüm kümesi Kartezyen düzlemde bir nokta kümesi olarak düşünülünce elde edilen şekle o denklemin grafiği(grafik) denir. y Örnek. x2 + y2 = 1 denkleminin grafiği, orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekildir ki buna Kartezyen düzlemde birim çember denir. (1,0) x (0,0) x2 + y2 = 1

Her hangi bir denklem veya bağıntı verildiğinde, o denklem veya bağıntının grafiğini çizmek için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya bağıntıyı sağlayan –mümkün olduğunca çok- noktalar bulup o noktaları Kartezyen düzlemde işaretlemektir. İşaretlenen noktalar yardımıyla, grafik tahmin edilmeğe çalışılır. x y (0,10) (-1,9) (1,9) (2,6) (-2,6) (-3,1) (3,1) Örnek. y = 10 - x2 denkleminin grafiğini çizmek için bazı çözümler bulalım ve Kartezyen düzlemde işaretleyelim. (0,0) y = 10 - x2 Örnek. x2 + y2 < 1 in grafiği y x2 + y2 < 1 (1,0) x (0,0) x2 + y2 = 1

Kartezyen düzlemde koordinat eksenleri Düzlemde simetri. Düzlemde M ve N gibi iki nokta ile bir d doğrusu verilmiş olsun. Eğer d doğrusu M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesi ise, M ve N noktaları d doğrusuna göre simetrik noktalardır denir. Başka bir deyişle, M ve N nin d doğrusuna göre simetrik olmaları için gerek ve yeter koşul, d doğ-rusunun M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçmesi ve o doğru parçasına dik olmasıdır. M d O N |OM|=|ON| Eğer M ve N noktaları d doğrusuna göre simetrik noktalar ise, bu noktalardan her birine diğerinin d doğrusuna göre simetrik eşi ya da yansıması denir. y x Kartezyen düzlemde koordinat eksenleri ve bazı doğrulara göre simetri, noktaların koordinatları cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, Kartezyen düzlemde y=x (–x,y) (x,y) (x, –y) (y,x)   (x,y) ve (x,–y) noktaları x–eksenine göre simetriktir. (x,y) ve (–x,y) noktaları y–eksenine göre simetriktir. (x,y) ve (y,x) noktaları y=x doğrusuna göre simetriktir.

Düzlemde bir şeklin tüm noktalarının bir d doğrusuna göre yansımalarının (simetrik eşlerinin) oluşturduğu şekle başlangıçtaki şeklin d doğrusuna göre yansıması denir. Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) x–eksenine göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y–eksenine göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y

Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y=x doğrusuna göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y Eğer bir şeklin bir doğruya göre yansıması kendisi ile çakışırsa o şekil o doğruya göre simetriktir denir. Örnek. İlerde göreceğimiz mutlak değer fonksiyonunun grafiği ve kare fonksiyonunun grafiği y–eksenine göre simetriktir. Birim çember hem x–eksenine, hem y–eksenine, hem de y=x doğrusuna göre simetriktir.

Matematiksel Modelleme Matematiksel Modelleme. Gerçek yaşamdan bir problemi çözmek veya bir olayı açıklamak için matematik kullanılarak izlenen sürece matematiksel modelleme denir. Matematiksel modelleme üç adımda gerçekleştirilir. İlk adımda, problem veya olay tamamen matematiksel terimlerle yeniden ifade edilir. Yeni ifadeye problemin veya olayın matematiksel modeli denir. Matematiksel model oluşturulurken problemde veya olayda belirlenmesi istenen değer(ler) için değişken(ler) atanır; problem veya olayın veri ve koşulları atanan değişken(ler) cinsinden denklem veya eşitsizlikler olarak ifade edilir. İkinci adımda, matematiksel model çözülür. Matematiksel modelin çözümü başlangıçtaki gerçek yaşam probleminin çözümü veya olayın açıklanması hakkında fikir verir. Üçüncü adımda, matematiksel modelin çözümü yorumlanarak, başlangıçtaki problemin çözümü veya olayın açıklaması elde edilir.

Örnek. Toptan fındık ticareti yapan bir şirketin stoklarında kilogramı 7 TL den satışa sunulmuş olan 50 ton fındık bulunmaktadır. Şirket, gelecek ay fiyata kilogram başına 0.50 TL zam yapmaya karar vermiş olmakla beraber zam uygulanıncaya kadar satışlara devam ediyor. Diğer yandan, şirket gelecek ayın sonunda fındık satışından kasasına en az 365000 TL girmesini arzu ediyor. Stoktaki fındığın tamamının satılabileceği varsayılarak, şirketin arzusunun gerçekleşmesi için bu ay en çok kaç ton fındık satılmalıdır?

Örnek. Bir taşıma şirketi 20 araçtan oluşan 240 ton taşıma kapasiteli bir taşıma filosu oluşturmak için 6 tonluk, 9 tonluk ve 15 tonluk kamyonlardan her birinden en az 1 adet satın alacaktır. Şirket bu filoyu her tür kamyondan kaçar adet satın alarak gerçekleştirebilir?